五 、商群 设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H，记为ab(mod H)。

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1 五 、商群 设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H，记为ab(mod H)。
[a]={x|xG,且xa(mod H)}= {x|xG,且 xa-1 H}, Ha=[a]={ha|hH} 设“~”为S上的等价关系，“*” 为S上的二元运算。 若对任意a,b,c,dS ，当a~b,c~d时，必有ac~bd，则称等价关系~与运算 是相容的，称~为代数系统[S;]的相容等价关系。

2 [H1 ,]为三次对称群[S3 ,]上的子群, H1={e,1}, “~”为模H1同余关系 则2~ 4, 3~ 5, 但23与45不是模H1同余的 该等价关系关于运算是不相容的 事实上主要是因为[H1 ,]不是正规子群

3 引理(一)：[H;]是群[G;]的正规子群，定义关系~如下：对任意a,bG，a~b当且仅当ab-1H。则“~”关于为相容等价关系。
分析:关键是证明对任意a,b,c,dG,若a~b, c~d,必成立ac~bd. 就是要证明 (ac)(bd)-1H 应利用ab-1H和cd-1H 特别还要用到正规子群这个条件 定义13.16:把“~”下的等价类全体构成的集合，即子群H的所有右陪集全体构成的集合，称为商集，记为G/H。

4 对任意[g1]=Hg1,[g2]=Hg2G/H, Hg1Hg2=H(g1*g2)
在相容条件下，我们定义如下： 对任意[g1]=Hg1,[g2]=Hg2G/H, Hg1Hg2=H(g1*g2) 引理13.3: [H;]是群[G;]的正规子群，则是G/H上的运算。 对任意[a],[b]Š, [a][b]=[ab]，则由~关于的相容性，保证运算的结果与等价类的选取无关。 引理13.4：[H;]是群[G;]的正规子群，则[G/H;]是群。 证明:结合律 单位元:设e为群[G;],则He=HG/H为 [G/H;]的单位元 逆元:对任意HaG/H,有逆元Ha-1G/H

5 关于H的商群 定义13.17:[G;*]为群,[H;*]为其正规子群, G/H为G关于H的商集合,为G/H上关于陪集的运算, 则 [G/H;]是群,称为G关于H的商群。 在G是有限阶的群时,G/H的阶必有限, 且等于正规子群H在G中的指数,即|G|/|H|。

6 §4 群的同态与同态基本定理 一、群同态 设有两个代数系统[S;*]与[T;], 如果存在到上映射:ST,使得对任意的a,bS,有:(a*b)=(a)(b)，称[S;*]与[T;]两 个系统同态。如果是双射,则[S;*]与 [T;]同构。

7 例(Cayley(凯莱)定理)：任一有限群必同构于一个同阶的置换群。
证明:设[G;]为有限群. 若[G;]是置换群, 则[G;]与自己当然同构. 下面考虑[G;]不是置换群,那么就应构造与[G;]有一定联系的置换群,使得它们同构. 对任意gG,定义映射g:GG,使得对任意g'G,有g(g') =gg'。设={g|gG} 则由例13.13知[;]是置换群。 下面证明G与[;]同构 构造G的同构映射:(g)=g

8 二、群同态基本定理 1.同态核与同态象 在群G中，a,bG,若ab=a，则b=e(单位元) ab=a=ae，由消去律可得b=e。
引理：[G;*]和[G';]为群, 为GG'的同态映射(不一定满射),则(e)一定是[G';]的单位元. 证明:因为(G),设x(G)G', 存在aG,使得x=(a) 因为x(e)=x=xeG', 利用群满足消去律即得(e)=eG'. 该结论对不是群的代数系统不一定成立.

9 定义13.18: 为群GG'的同态映射,e,e'分别为G,G'之单位元。集合K={xG| (x)=e'},称K为同态映射的核,又称同态核, 记为Ker, 简记为K()。
K,这是因为(e)=e',即eK. 例:[R-{0};*]和[{-1,1};*]为群

10 定理：为群[G;*][G';]的同态映射,则
(1)[Ker; *]为[G;*]的正规子群。 (2)为一对一当且仅当K={eG} (3)[(G); ]为[G';]的子群。 证明:(1)先证明Ker是子群 封闭:对任意a,bKer,有a*b?Ker, 即证(a*b)=?eG' 逆元:对任意aKer,它在G中的逆元,a-1? Ker 然后证明对任意gG,aKer有 g-1*a*g?Ker

11 作业P172 34，40 测验： 1.在NN上定义运算“&”如下：(a,b)&(c,d)=(a*c,b*d)
这里N={a|aZ,a0}，“*"为普通乘法 (1)[NN;&]是否存在单位元、零元？每个元素是否有逆元？哪些元素有逆元? (2)[ NN;&]是否为拟群、群？是否满足交换律？ 2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。 作业P172 34，40