皮亚诺公理 皮亚诺公理.

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1 皮亚诺公理 皮亚诺公理

2 Giuseppe Peano 意大利数学家、语言学家
数理逻辑（Mathematical Logic）与集合论（Set Theory）创始人之一 皮亚诺公理 (国际语创始人)

3 什么是自然数？

4 皮亚诺公理是什么？ 皮亚诺公理（英语：Peano axioms；意大利语：Assiomi di Peano），也称皮亚诺公设，是意大利数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。 ——维基百科 Customers 11

5 内容 (参考：https://zh. wikipedia
内容 (参考： ） 1 0是一个自然数 2 每一个确定的自然数a都有一个确定的后继a’，a’也是自然数 3 对于每一个自然数𝑏,𝑐，𝑏=𝑐当且仅当 𝑏 ′ =𝑐′ 4 0不是任何自然数的后继 后继是injective 第5条是数学归纳法的基础 5 任意关于自然数的命题，若证明了它对0是对的，又假设它对𝑛为真时可证对𝑛′也为真，则对所有自然数为真 如果从1开始需要9条公理（初始版Peano Axioms）： 5

6 谓词逻辑表示 戴德金-皮亚诺结构可以描述为满足所有以下条件的三元组 (𝑆, 𝑓, 𝑒) 𝑒∈𝑆 (∀𝑎∈𝑆)(𝑓 𝑎 ∈𝑆)
1 𝑒∈𝑆 2 (∀𝑎∈𝑆)(𝑓 𝑎 ∈𝑆) 3 (∀𝑏∈𝑆)(∀𝑐∈𝑆)(𝑓 𝑏 =𝑓 𝑐 →𝑏=𝑐) 4 (∀𝑎∈𝑆)(𝑓 𝑎 ≠𝑒) 5 (∀𝐴⊂𝑆)( 𝑒∈𝐴 ∧ ∀𝑎∈𝐴 𝑓 𝑎 ∈𝐴 → 𝐴=𝑆 ) 6 6

7 加法与乘法 由此定义加法： ∀𝑛∈𝑁, 𝑛+0=𝑛 ∀𝑛,𝑚∈𝑁, 𝑛+ 𝑚 ′ =(𝑛+𝑚)′ 可以找到𝑚吗？ 7

8 如果𝑛∈𝑁且𝑛≠0，则存在𝑚∈𝑁使得 𝑚 ′ =𝑛。
Lemma 1 如果𝑛∈𝑁且𝑛≠0，则存在𝑚∈𝑁使得 𝑚 ′ =𝑛。 𝑆= 𝑛∈𝑁 𝑛=0 𝑜𝑟 ∃𝑚∈𝑁,𝑛=𝑚′} (I) 0∈𝑆 若自然数𝑛满足𝑛∈𝑆，由定义可知其后继𝑛′满足 𝑛 ′ ∈𝑆 由第五条公理可知，∀𝑛∈𝑁, 𝑛∈𝑆 8

9 加法与乘法 由此定义加法： ∀𝑛∈𝑁, 𝑛+0=𝑛 ∀𝑛,𝑚∈𝑁, 𝑛+ 𝑚 ′ =(𝑛+𝑚)′ 还可以定义乘法： ∀𝑛∈𝑁, 𝑛⋅0=0
∀𝑛,𝑚∈𝑁, 𝑛⋅ 𝑚 ′ =𝑛⋅𝑚+𝑛 Lemma 1保证了两个自然数相加时，一个自然数确实能够被写成m’ 0和1分别是加法、乘法的identical element 9

10 奇妙的性质 任取𝑥,𝑦,𝑧∈𝑁，若𝑥+𝑧=𝑦+𝑧，则𝑥=𝑦。 任取𝑥,𝑦,𝑧∈𝑁，𝑥⋅ 𝑦+𝑧 =𝑥⋅𝑦+𝑥⋅𝑧。
任取𝑥,𝑦,𝑧∈𝑁，𝑥 𝑦𝑧 = 𝑧𝑦 𝑧。 任取𝑥,𝑦∈𝑁，𝑥𝑦=𝑦𝑥。 更多有趣性质见 10

11 集合表示 0=∅ 1= 0 ′ =∅∪ ∅ = ∅ ={0} 2= 1 ′ = 0 ∪ 0 ={0,1} ⋯⋯ 𝑛 ′ =𝑛∪{𝑛}
2= 1 ′ = 0 ∪ 0 ={0,1} ⋯⋯ 𝑛 ′ =𝑛∪{𝑛} 可以研究一下ZF体系 延伸阅读：Deducing PA's axioms in ZFC 11

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13 如何告诉Haskell什么是“自然数”？
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14 Contact: judy9906@gmail.com
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