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6.1 線性轉換介紹 6.2 線性轉換的核空間及論域空間 6.3 線性轉換矩陣 6.4 轉換矩陣及相似矩陣 6.5 線性轉換的應用

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1 6.1 線性轉換介紹 6.2 線性轉換的核空間及論域空間 6.3 線性轉換矩陣 6.4 轉換矩陣及相似矩陣 6.5 線性轉換的應用
第六章 線性轉換 6.1 線性轉換介紹 6.2 線性轉換的核空間及論域空間 6.3 線性轉換矩陣 6.4 轉換矩陣及相似矩陣 6.5 線性轉換的應用 Elementary Linear Algebra 投影片設計編製者 R. Larsen et al. (6 Edition) 淡江大學 電機系 翁慶昌 教授

2 6.1 線性轉換介紹 函數 (function) 函數T 映射一個向量空間到另一個向量空間 線性代數: 6.1節 p.450

3 若向量v在向量空間V中,向量w在向量空間W中使得
像、值域與反像 若向量v在向量空間V中,向量w在向量空間W中使得 (1) w 稱為在 T 映射下 v 的像(image) (2) 在 V 中所有向量的像的集合稱為 T 的值域(range) (3) 在 V 中所有可以使得 之向量v的集合稱為向量 w 的反像(preimage) 線性代數: 6.1節 p.450

4 範例 1:從R2 映射到R2 的函數 (a)求 的像 (b)求 的反像 解: 線性代數: 6.1節 p.451

5 線性轉換 (linear transformation)
線性代數: 6.1節 p.451

6 (1) 向量加法及純量乘法運算子無論在線性轉換之前或之後做運算均產生相同的結果
注意: (1) 向量加法及純量乘法運算子無論在線性轉換之前或之後做運算均產生相同的結果 在V上 的加法 在W上 在V上的純量相乘 在W上的純量相乘 (2) 從一個向量空間映射到自己本身的線性轉換 被稱為線性運算子(linear operator) 線性代數: 6.1節 pp

7 範例 2:證明T是從R2映射到R2的線性轉換 證明: 線性代數: 6.1節 p.452

8 故T為線性轉換 線性代數: 6.1節 p.452

9 範例 3:非線性轉換的函數 線性代數: 6.1節 pp

10 (1) 被稱作是線性函數(linear function), 因為它在圖形上是一條直線
注意:二個關於“線性”的觀念 (1) 被稱作是線性函數(linear function), 因為它在圖形上是一條直線 (2) 不是從向量空間R到R的線性轉換, 因為它沒保有向量加法及純量相乘的特性 線性代數: 6.1節 p.453

11 零轉換 (zero transformation)
相等轉換 (identity transformation) 線性代數: 6.1節 p.453

12 定理 6.1: 線性轉換的性質 線性代數: 6.1節 pp

13 範例 4:線性轉換與基底 令 為線性轉換,其使得 解: (T為線性轉換) 線性代數: 6.1節 p.454

14 範例 5:矩陣定義的線性轉換 函數 被定義為 解: (向量相加) (純量相乘) 線性代數: 6.1節 pp

15 定理 6.2:矩陣之線性轉換 令A為一mn矩陣,函數T 被定義為 是一從Rn到Rm的線性轉換 注意:
線性代數: 6.1節 pp

16 所表示的線性轉換 具有將R2中的向量以原點為基準逆時針旋轉角度的特性
範例 7:平面的旋轉 證明矩陣 所表示的線性轉換 具有將R2中的向量以原點為基準逆時針旋轉角度的特性 解: (極座標表示法) r: v的長度 :從正x軸以逆時針計算到v的角度 線性代數: 6.1節 p.458

17  +:從正x軸以逆時針計算到T(v)的角度
r: T(v)的長度  +:從正x軸以逆時針計算到T(v)的角度 因此,向量T(v)和v有相同的長度,除此之外,從正x軸到T(v)的角度為 + ,也就是T(v)將使v逆時針旋轉度 線性代數: 6.1節 p.458

18 範例 8:R3上的投影 下列矩陣表示的線性轉換 稱作 R3上的投影運算子 線性代數: 6.1節 p.459

19 因此,T是從Mmn到Mn m的線性轉換
解: 因此,T是從Mmn到Mn m的線性轉換 線性代數: 6.1節 pp

20 摘要與復習 (6.1節之關鍵詞) function: 函數 domain: 論域 codomain: 對應論域
image of v under T: 在T映射下v的像 range of T: T的值域 preimage of w: w的反像 linear transformation: 線性轉換 linear operator: 線性運算子 zero transformation: 零轉換 identity transformation: 相等轉換

21 6.2 線性轉換的核空間及值域 線性轉換之核空間 (kernel) 令 為一線性轉換
令 為一線性轉換 則向量空間V中滿足 的所有向量所構成的集合稱為T的核空間,並記作ker(T) 線性代數: 6.2節 p.465

22 範例 1:求線性轉換的核空間 解: 線性代數: 6.2節 p.466

23 (a)零轉換 的核空間包含了向量空間V中所有向量
範例 2:零轉換及相等轉換的核空間 (a)零轉換 的核空間包含了向量空間V中所有向量 (b)相等轉換 的核空間只包含了向量空間V中的零向量 線性代數: 6.2節 p.466

24 範例 3:求線性轉換的核空間 解: 線性代數: 6.2節 pp

25 範例 5:求線性轉換的核空間 解: 線性代數: 6.2節 p.468

26 線性代數: 6.2節 p.468

27 T的核空間亦可稱為T的零空間(null space)
定理 6.3:核空間為V的子空間 線性轉換 的核空間為V的子空間 證明: 注意: T的核空間亦可稱為T的零空間(null space) 線性代數: 6.2節 p.469

28 範例 6:求核空間的基底 線性代數: 6.2節 p.470

29 解: 線性代數: 6.2節 p.470

30 定理 6.3 的推論 線性代數: 6.2節 p.471

31 線性轉換之值域 (range) 線性代數: 6.2節 p.471

32 定理 6.4:T的值域為W的子空間 證明: 線性代數: 6.2節 p.471

33 注意: 定理 6.4 的推論 線性代數: 6.2節 p.472

34 範例 7:求線性轉換值域的基底 線性代數: 6.2節 p.473

35 解: 線性代數: 6.2節 p.473

36 線性轉換 T:V→W的核次數 (nullity)
線性轉換 T:V→W的秩 (rank) 線性轉換 T:V→W的核次數 (nullity) 注意: 線性代數: 6.2節 p.473

37 定理 6.5:秩與核次數的和 證明: 線性代數: 6.2節 pp

38 範例 8:求線性轉換的秩與核次數 解: 線性代數: 6.2節 p.474

39 範例 9:求線性轉換的秩與核次數 解: 線性代數: 6.2節 p.475

40 一對一 (one-to-one) 一對一 非一對一 線性代數: 6.2節 pp

41 映成 (onto) 線性代數: 6.2節 p.476

42 定理 6.6:一對一線性轉換 證明: 線性代數: 6.2節 pp

43 範例 10:線性轉換的一對一與非一對一 線性代數: 6.2節 p.476

44 定理 6.7:映成線性轉換 線性代數: 6.2節 p.476

45 定理 6.8:一對一與映成線性轉換 證明: 線性代數: 6.2節 p.477

46 範例 11: 解: T:Rn→Rm dim(T的論域) rank(T) nullity(T) 一對一 映成 (a)T:Rn→Rm 3 Yes
Yes (b)T:Rn→Rm 2 No (c)T:Rn→Rm 1 (d)T:Rn→Rm 線性代數: 6.2節 pp

47 同構 (isomorphism) 線性代數: 6.2節 p.478

48 定理 6.9:同構的空間及維度 證明: 線性代數: 6.2節 pp

49 線性代數: 6.2節 p.479

50 範例 12:同構的向量空間 線性代數: 6.2節 p.479

51 摘要與復習 (6.2節之關鍵詞) kernel of a linear transformation T: 線性轉換T的核空間
range of a linear transformation T: 線性轉換T的值域 rank of a linear transformation T: 線性轉換T的秩 nullity of a linear transformation T: 線性轉換T的核次數 one-to-one: 一對一 onto: 映成 isomorphism(one-to-one and onto): 同構 isomorphic space: 同構的空間

52 6.3 線性轉換矩陣 線性轉換 T:R3→R3 的二種表示法 以矩陣表示線性轉換的三個理由 易寫 易讀 比較適用於電腦
線性代數: 6.3節 p.482

53 定理 6.10:線性轉換的標準矩陣 (standard matrix)
線性代數: 6.3節 p.483

54 證明: 線性代數: 6.3節 pp

55 線性代數: 6.3節 p.484

56 範例 1:求線性轉換的標準矩陣 解: 線性代數: 6.3節 p.484

57 檢查: 注意: 線性代數: 6.3節 p.485

58 (1)從Rn到Rm的零轉換的標準矩陣為mn的零矩陣 (2)從Rn到Rn的相等轉換的標準矩陣為n階的單位矩陣In
範例 2:求線性轉換的標準矩陣 解: 注意: (1)從Rn到Rm的零轉換的標準矩陣為mn的零矩陣 (2)從Rn到Rn的相等轉換的標準矩陣為n階的單位矩陣In 線性代數: 6.3節 pp

59 T1:Rn→Rm 與 T2:Rm→Rp 的合成 (composition)
定理 6.11:線性轉換的合成 線性代數: 6.3節 pp

60 證明: 注意: 線性代數: 6.3節 p.487

61 範例 3:合成的標準矩陣 解: 線性代數: 6.3節 pp

62 線性代數: 6.3節 p.488

63 反線性轉換 (inverse linear transformation)
注意: 若T為可逆,則其反轉換是唯一的且記作T–1 線性代數: 6.3節 p.488

64 若T為可逆且其標準矩陣為A,則T–1的標準矩陣為A–1
定理 6.12:反線性轉換的存在 注意: 若T為可逆且其標準矩陣為A,則T–1的標準矩陣為A–1 線性代數: 6.3節 p.489

65 範例 4:求線性轉換的反轉換 解: 線性代數: 6.3節 p.489

66 線性代數: 6.3節 p.490

67 T 相對於基底 B 與 B’ 的轉換矩陣 T相對於基底B與B'的轉換矩陣 線性代數: 6.3節 p.490

68 非標準基底的轉換矩陣 線性代數: 6.3節 p.490

69 線性代數: 6.3節 p.491

70 範例 5:求一個相對於非標準基底的轉換矩陣 解: 線性代數: 6.3節 p.491

71 範例 6: 解: 檢查: 線性代數: 6.3節 pp

72 注意: 線性代數: 6.3節 p.492

73 摘要與復習 (6.3節之關鍵詞) standard matrix for T: T 的標準矩陣
composition of linear transformations: 線性轉換的合成 inverse linear transformation: 反線性轉換 matrix of T relative to the bases B and B' : T對應於基底B到B'的矩陣 matrix of T relative to the basis B: T對應於基底B的矩陣

74 6.4 轉移矩陣及相似性 線性代數: 6.4節 p.497

75 兩個從 到 的方法 線性代數: 6.4節 p.497

76 範例 1:求線性轉換矩陣 解: 線性代數: 6.4節 p.498

77 線性代數: 6.4節 p.498

78 範例 2:求線性轉換矩陣 解: 線性代數: 6.4節 pp

79 範例 3:線性轉換矩陣 解: 線性代數: 6.4節 pp

80 對於n階方陣A與A' ,若存在一可逆矩陣P使得 則稱A'相似於A
相似矩陣 (similar matrix) 對於n階方陣A與A' ,若存在一可逆矩陣P使得 則稱A'相似於A 線性代數: 6.4節 p.500

81 (3) 若A相似於B且B相似於C ,則A相似於C
定理 6.13:相似矩陣的性質 令A、B及C為n階方陣,則下列性質為真 (1) A相似於A (2) 若A相似於B,則B相似於A (3) 若A相似於B且B相似於C ,則A相似於C 證明: 線性代數: 6.4節 p.500

82 範例 4:相似矩陣 線性代數: 6.4節 p.501

83 範例 5:兩個線性轉換矩陣的比較 解: 線性代數: 6.4節 pp

84 線性代數: 6.4節 p.502

85 注意: 對角矩陣 在計算上的優點 線性代數: 6.4節 p.502

86 摘要與復習 (6.4節之關鍵詞) matrix of T relative to B: T 相對於B的矩陣
transition matrix from B' to B : 從B'到B的轉移矩陣 transition matrix from B to B' : 從B到B'的轉移矩陣 similar matrix: 相似矩陣

87 6.5 線性轉換的應用 線性代數: 6.5節 p.505

88 線性代數: 6.5節 p

89 線性代數: 6.5節 p.506

90 線性代數: 6.5節 p

91 線性代數: 6.5節 p.507

92 線性代數: 6.5節 p.508

93 線性代數: 6.5節 p.508

94 線性代數: 6.5節 p.509

95 線性代數: 6.5節 p

96 線性代數: 6.5節 p.510

97 線性代數: 6.5節 p

98 線性代數: 6.5節 p.511

99 線性代數: 6.5節 p.512

100 線性代數: 6.5節 p.512

101 線性代數: 6.5節 p.513

102 線性代數: 6.5節 p.513


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