能量 守恆量.

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1 能量 守恆量

2 牛頓定律加上力的描述給定運動方程式Equation of Motion,加上起使條件(起始位置與速度),便能決定此系統未來任一時間的狀態!
不是所有的問題都解決了嗎?

3 運動方程式不容易解,守恆量可以提供有用的有限資訊。
守恆量的適用範圍超越運動方程式。

4 彈簧

5 守恆量 守恆量 位置 U 運動 K

6 自由拋體 守恆量 運動 K 位置 U 物體在某位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動 Ui Ki Uf Kf

7 Energy Diagram 由起始條件可以得到守恆的總能量 E 運動過程中任意位置 y 的動能可以求出, 速度與位置的關係可以立刻得到。

8 Turning point: 位能線與總能線交會處,動能為零,粒子轉向。

9

10 簡諧運動兩端都有turning point,因此運動就被拘限在一個範圍內。

11 其它的力是不是也有這樣的 U ?

12 彈簧 守恆量 位置 U 運動 K 自由拋體 守恆量 運動 K 位置 U

13 研究 的變化 考慮一個無限小的過程:

14 功造成動能的變化

15 x 將無限多無限小的過程組合起來,即成為一個有限的過程:

16 W 功等於動能變化,功與動能原理

17 其它的力是不是也如彈力有U 使得 U 與 K 的和是守恒量 ?
先決條件是力所作的功必須可以寫成一個物理量的前後差!

18 考慮一維運動 x 如果外力只與位置有關, 功就可以寫成一個物理量的前後差,位能就會存在。

19 x 考慮一維運動 如果外力只與位置有關 功就是力曲線下的面積

20 x 功即是力對位置的積分 功是力函數曲線下的面積 積分值只與函數及端點值有關 定積分,它是一個值,不是函數

21 一維運動的位能 x F 的反微分函數 功可以寫成 H 這個物理量的前後差! H 只與位置有關

22 現在重新用另一個將來會比較方便的寫法來寫
c i f 功可以寫成 這個物理量的前後差! 定義位能

23 x xi xf 一維運動,如果外力只與位置有關, 功就可以寫成一個物理量的前後差,位能就會存在。 守恆 物體在某位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動 Ui Ki Uf Kf

24 是守恆量 位能 Potential Energy 定義中積分的下限是一個任意常數,c使位能為零: 但其值可以任意,可見位能的定義並不是唯一。 可以唯一定義的是位能差: 位能差洽為此力 F 從起點運動到末點所作功的負號 因為物理現象只與位能差有關,所以常數可以任意選取。

25 W 以位能來描述力的作用,即以位能差來代替功, 將粒子與施力者視為一個系統,原本是外力所做的功,就變身為系統內部狀態的變化 Ui Ki Uf Kf

26 力學中的功 x xi xf x xi xf 功 W 是一個過程的物理量。 原則上可能與過程的細節相關! 對一維的力,一個過程的功是一個物理量的前後差: 位能 U 則是屬於狀態的物理量! 功只與前後狀態有關!

27 W 功 W 是一個過程的物理量。 Ui Ki Uf Kf 位能 U 則是屬於狀態的物理量!

28 將粒子與施力者視為一個系統,所施的力變為系統的內力
其它的外力也可對此系統做功

29 推廣後的功與動位能原理 W 系統的外力所作功等於動能變化加位能變化。 Ui Ki Uf Kf

30 如無外力: Ui Ki Uf Kf 機械能守恆

31 位能 Potential Energy 位能是由參考點 c 運動到 x 的過程中此力所作的功負號。
位能差是由起點運動到末點的過程中此力所作的功的負號。

32 此定義只定了位能差,事實上在位能函數上加入一個常數並不影響物理結果!
方便起見,我們可以自由選擇位能為零的位置 c

33 彈力位能 Elastic Potential Energy

34 守恆量

35 由位能求力 力是位能函數的微分的負號

36 動能就是兩線的間隔

37 折返點 Turning point 粒子無法進入 折返點

38 自由態:運動範圍並沒有被限制於一個區域內,
機械能必須大於無限遠處的位能

39 束縛態:機械能小於無限遠處的位能 兩端都有 turning point,所以只能拘限在這兩點之間運動。

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41 平衡點 Equilibrium Point 束縛態的運動範圍一定有一個平衡點

42 在平衡點附近不遠處震盪的束縛態,他所感覺的位能近似於一拋物線,因此近似於一個以平衡點為中心的簡諧運動!

43 原子力的位能

44 原子力

45 原子力 Lennard-Jones F(x) x 與萬有引力定律不同,此式只是一個近似!

46 原子力是由電磁力產生

47 原子力的位能 原子力遠距吸引,近距排斥,有一個平衡點。

48 束縛態 r 如果兩粒子總能量小於零(無限遠處位能),就能形成束縛態。 束縛態一形成,能量會慢慢在束縛範圍被熱消耗掉, 最後束縛態的兩粒子大致就停在平衡點。 束縛能:拆散束縛態所需的能量,平衡點位能與無限遠處位能的差!

49 原子力 束縛能只有約 0.001eV, 而室溫時熱擾動能量 kT ~ 0.02eV,束縛態會被熱拆散。
要形成束縛態,必須增加平衡態附近的谷深,即在近距離減低能量

50 - + - 離子束縛態 形成離子雖然耗能,但兩個相反電荷的離子,靠近時會降低能量 需能5.1eV 釋能3.8eV Na Cl
因此降低的能量可以彌補形成離子所耗的能量 - + r 若束縛可釋得1.3eV以上能量,則束縛態能量較低

51 離子束縛態 束縛能3.6eV已大於室溫的熱擾動能量,故為穩定的束縛態。

52 3D空間的功 沿某一路徑

53 研究 的變化 有外力: 功是力向量與位移向量的內積!

54 x 將無限多無限小的過程組合起來,即成為一個有限的過程: 線積分

55 3D空間的功與動能 W 功造成動能的變化

56 正向力與位移垂直,因此完全不作功 因正向力未知,以牛頓定律計算會相當困難 以能量守恆來討論,正向力根本不會出現在問題中。

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58 3D 空間的位能 3D運動功的計算必須標明沿哪一條路徑 3D運動的功可不可以寫成一個物理量的前後差? 前後差必與路徑無關,因此若答案是肯定的,功必定與路徑無關! 位能存在的條件

59 這個條件可以寫成另一個形式 若是位能定義要唯一 對任意兩路徑 沿任一條封閉路徑,力所作的功必為零! 保守力條件 保守力才能定義位能!

60 若是保守力: 功就可以寫成一個物理量的前後差,位能就會存在。 守恆 物體在某位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動 Ui Ki Uf Kf

61 x xi xf 一維的,由位置決定的力是保守力!

62 靜電力是不是保守力?

63 考慮一固定電荷 Q 旁一可運動的小電荷 q A’ 垂直於 r 的運動不作功 與 A、B 的方向無關

64 沿任一封閉曲線,庫倫靜電力所作的功必為零!
靜電力為保守力,可以定義電位能 同樣的證明適用於任何中心力,任何中心力都是保守力! 中心力是力的方向沿著半徑方向,大小由距離決定 原子力、萬有引力也是保守力

65 電位能

66 摩擦力是否是保守力? 動摩擦力大小是常數,但方向與速度有關 動摩擦力與位移永遠反向,所作必為負功 將方塊在斜面上移到高處後,再移回到原位 摩擦力不是保守力

67 在三度空間中也是如此: 摩擦力不是保守力

68 非保守力所作的功無法寫成一個物理量的前後差,只能以功來處理
W Ui Ki Uf Kf 保守力的功可以寫成位能差! 推廣後的功與動能原理 機械能並不守恆

69 將摩擦力視為外力

70 位能可以自然轉為動能,摩擦力會慢慢消耗機械能。
自然界有一個傾向趨向最低位能處!

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72 有摩擦,似乎機械能就不守恒! 但!焦耳的實驗發現 摩擦力的功也可以寫成一個物理量的前後差! 只是這個物理量與位置無關而與溫度有關!

73 如果將溫度考慮進來, 摩擦作的功,也如位能,可以寫成一個物理量在前後狀態的改變! 內能是溫度的函數 守恆量

74 機械能如果被擴展到包括內能,能量還是會守恆!
Uf Kf Eint f Ui Ki Eint i

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76 每次遇到新的現象,能量似乎就不守恆, 但仔細研究就會發現減少的部分一樣可以寫成一個物理量的前後差, 將此物理量設成新的能量形式,加入新的能量形式,能量依舊守恆! 流量=密度×流速 電磁波帶走的能量

77 質能守恆 原子核分裂中,末動能顯然大於起始動能 相對論更改了能量的形式,質量是帶著能量的: 能量是一個守恆量


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