第八节 函数图形的描绘. 一、渐近线 定义 : 1. 铅直渐近线 例如 有铅直渐近线两条 : 2. 水平渐近线 例如 有水平渐近线两条 :

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1 第八节 函数图形的描绘

2 一、渐近线 定义 : 1. 铅直渐近线

3 例如 有铅直渐近线两条 :

4 2. 水平渐近线 例如 有水平渐近线两条 :

5 3. 斜渐近线 斜渐近线求法 : 注意 :

6 例1：例1： 解：

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8 二、图形描绘的步骤 利用函数特性描绘函数图形. 第一步 第二步

9 第三步 第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势 ; 第五步

10 三、作图举例 例2例2 解 非奇非偶函数, 且无对称性.

11 列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点和拐点 : 不存在 拐点 极值点 间断点间断点

12 作图

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14 例3例3 解 偶函数, 图形关于 y 轴对称.

15 拐点 极大值 列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点 : 拐点

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17 四、小结 函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用. 凹的 凸的 单增 单减

18 思考题 思考题解答 （水平渐近线）

19 第九节 曲率

20 一、弧微分 规定：   为单调增函数 因此

21 如图，   弧微分公式

22 弧微分公式的各种形式： 直角坐标方程： 参数方程： 极坐标方程：

23 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． ) ) 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1 、曲率的定义 )

24 ) y xo （ 设曲线 C 是光滑的， （ 定义 曲线 C 在点 M 处的曲率

25 2 、曲率 的计算公式 注意 : (1) 直线的曲率处处为零 ; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数, 且 半径越小曲率越大.

26 用参数方程表示的曲线的曲率公式：

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28 1. 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 注意 : 2. 曲线上一点处的曲率半径越大, 曲线在该点处 的曲率越小 ( 曲线越平坦 ); 曲率半径越小, 曲率 越大 ( 曲线越弯曲 ). 3. 曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧 ( 称为曲线在该点附近的二次近似 ).

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30 例3例3   解 如图, 受力分析 视飞行员在点 o 作匀速圆周运动, O 点处抛物线轨道的曲率半径  

31 得曲率为 曲率半径为 即 : 飞行员对座椅的压力为 641.5 千克力.

32 小结：弧微分 曲率 曲率圆 曲率的计算公式 曲率圆的半径

33 思考题 椭圆 上哪些点处 曲率最大？ 思考题解答 要使 最大， 必有 最小， 此时 最大。

34 第十节 方程的近似根

35 第二步 求近似根 1 ．二分法 ； 2 ．切线法（具体解法见教材 P 。 219-222 ）

36 本章总复习

37 洛必达法则 Rolle 定理 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 Taylor 中值定理 单调性, 极值与最值, 凹凸性, 拐点, 函数 图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 单调性, 极值与最值, 凹凸性, 拐点, 函数 图形的描绘 ; 曲率 ; 求根方法. 导数的应用 本章主要内容

38 解 总习题三（ P 。 223 ）讲解： 例1例1

39 这就验证了命题的正确性.

40 大陸西南科技大學 徐明民的主頁 http://person.swust.edu.cn/xmm/