第三章 数值积分与数值微分 3.5 数值微分 3.5.3 数值微分的外推算法 3.5.2 3.5.2 三次样条求导 3.5.1 插值型求导公式.

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1 第三章 数值积分与数值微分 3.5 数值微分 3.5.3 数值微分的外推算法 3.5.2 3.5.2 三次样条求导 3.5.1 插值型求导公式

2 第三章 数值积分与数值微分 3.5 数值微分 学习目标： 掌握几个数值微分计算公式 。

3 第三章 数值积分与数值微分 数值微分就是用离散方法即使的近似地求出函数在某点的导数 值. 按照 Taylor 展开原理可得 其中 h 为一增量。上面几个公式是很实用的，下面我们再讨论一 些常用方法。 3.5 数值微分

4 第三章 数值积分与数值微分 3.5.1 插值型求导公式 设 f （ x ）是定义在 [a ， b] 上的函数，并给定区间 [a ， b] 上的函数， 并给定区间 [a ， b] 上的 n+1 个节点 出的函数值 这样, 我们可以建立函数 的 n 次插值多项式 多项式的求导是容易的, 称 (3.5.1) 为插值型求导公式。

5 第三章 数值积分与数值微分 应当指出，即使 和 的值相差不多，导数的近似值 与导数的值 仍然可能相差很大。因而在使用求导公式 （ 3.5.1 ）时，应注意误差的分析。 依据插值余项定理，求导公式（ 3.5.1 ）的余项为 式中 在上述余项公式中，由于 是 x 的未知函数，我们无法对右端的 第二项作出进一步的说明。因此，对于随意给出的点 x ，求导公式 的余项是很难估计的。

6 第三章 数值积分与数值微分 然而，如果我们限定求节点上的导数值，那么有余项公式 （ 3.5.2 ） 下面我们考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的， h 是步长。 1. 两点公式 当 n=1 时，由（ 3.5.2 ）得带余项的两点公式 （ 3.5.3 ） （ 3.5.4 ）

7 第三章 数值积分与数值微分 2. 三点公式 当 n=2 时，由（ 3.5.2 ）的带余项的三点公式 （ 3.5.5 ） （ 3.5.6 ） （ 3.5.7 ） 3. 五点公式 当 n=4 时，由（ 3.5.2 ）不难导出带余项的五点求导公式。这里给出 其中常用五点公式 （ 3.5.8 ）

8 第三章 数值积分与数值微分 例 3.9 值。 例 3.9 设 ，对 h=0.01 ，计算 的近似值。 解 解 由（ 3.5.5 ）式有 由（ 3.5.6 ）有 由（ 3.5.7 ）式有 由（ 3.5.8 ）式有 精确值 。计算结果显然与它们的余项相一致，由（ 3.5.8 ）式计 算所得的结果最精确。

9 第三章 数值积分与数值微分 然而，对于用插值法建立的数值求导公式通常导数值的精确度比 用插值公式求得的函数值的精确度差，高阶导数值的精度比低阶 导数值的精度差。所以，不宜用次方法建立高阶数值求导公式。 用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立高 阶数值微分公式

10 第三章 数值积分与数值微分 3.5.2 3.5.2 三次样条求导 我们知道，三次样条函数 S(x) 作为 f （ x ）的近似函数，不但彼此的函数值 很接近，导数值也很接近。因此用样条函数建立数值微分公式是很自然的。 设在区间 [a ， b] 上，给定一种划分 及相应的函数值 再给定适当的边界条件，按三次样 条函数的算法，建立关于节点上的一阶导数 或二节导数 的样条方程组。求得 或 从而得到三次样条插值 函数 S(x) 的表达式。这样，可得数值微分的公式

11 第三章 数值积分与数值微分 与前面插值型数值微分公式不同，样条数值微分公式（ 3.5.9 ）可以用来计 算插值范围内任何一点（不仅是节点）上的导数值。误差估计由（ 2.3.21 ）给出。 对节点上的导数值，若求得的是则由 S(x) 的表达式有 若求得的是 则由 S(x) 的表达式有

12 第三章 数值积分与数值微分 3.5.3 数值微分的外推算法 由此看见，仅有两位有效数字。利用 Richardson 外推法可以提高计算精度。 先看一个简单的例子。求 在 x=0.004 出的一阶 导数值。采用中点微分公式（ 3.5.6 ），即 取 h=0.0016 ，那么得 而 对于中心差商，记 由 Taylor 级数展开有

13 第三章 数值积分与数值微分 利用 Richardson 外推公式，取 则有 外推公式（ 3.5.9 ）的终止标准是 是预先给定的 误差小量。 例 3.10 设 设 h 分别取 0.1,0.05,0.025 时求出 x=0.5 出的一阶导 数的中心差商, 进行外推, 并与精确值进行比较。 解 先分别取 h=0.1,0.05,0.025, 求出节点 x=0.5 处的中心差商值，见 表 3-6 ，再按（ 3.5.9 ）式进行外推，外推两次，结果列于表 3-6 中。 从表 3-6 可见， h=0.025 时的中心差商值只有 3 位有效数字，外推一 次达到 5 位有效数字，外推两次达到 9 位有效数字。

14 第三章 数值积分与数值微分 表 3-6 0.45469262880.025 0.45489811520.45407616930.05 0.454897994 0.45489992310.45160490810.1 h