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工職數學 第四冊 第一章 導 數 1 - 1 函數的極限與連續 1 - 2 導數及其基本性質 1 - 3 微分公式 1 - 4 高階導函數.

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2 工職數學 第四冊 第一章 導 數 1 - 1 函數的極限與連續 1 - 2 導數及其基本性質 1 - 3 微分公式 1 - 4 高階導函數

3 1. 區間表示法1. 區間表示法 2. 函數極限的定義2. 函數極限的定義 3. 函數極限的求法3. 函數極限的求法 4. 左、右極限4. 左、右極限 5. 函數的連續性5. 函數的連續性 1-1 函數的極限與連續

4 區間表示法 若 a 、 b 、 x 為實數,且 a < b (1) 閉區間: x 在區間 [ a, b ] 中 (2) 開區間: x 在區間 ( a, b ) 中 (3) 半開區間 ( 或半閉區間 ) : x 在區間 [ a, b ) 中 x 在區間 ( a, b ] 中

5 函數極限的定義 當函數 f (x) 定義域中的 x 逐漸趨近於定數 a 時 則對應的函數值 f (x) 也逐漸趨近於 ,即 若 x →a, 則 f (x) → 此時我們稱為 x 趨近 a 時, f (x) 的極限為 ,記為

6 函數極限的求法 計算 之值: (1) 以 x = a 直接代入 f (x) ,函數值不會出現分母為 0 的情形,則 (2) 以 x = a 直接代入 f (x) ,函數值出現 的情形, 通常要把使分子、分母產生 0 的公因式約去之 後,再把 x = a 代入,便可求得極限。

7 左、右極限 當 x > a 且 x →a ,我們稱為 f (x) 於 a 的右極限, 記作 當 x < a 且 x →a ,我們稱為 f (x) 於 a 的左極限, 記作

8 函數的連續性 函數 f (x) 若滿足下列三條件,則稱函數 f (x) 於點 x = a 為連續: (1) f (a) 存在 (2) 存在 (3)

9 1-2 導數及其基本性質 1. 導數的定義1. 導數的定義 2. 導數與切線2. 導數與切線 3. 導數的物理意義3. 導數的物理意義

10 導數的定義 a 為函數 f (x) 定義域內一點,我們稱極限值 為 f (x) 在 x = a 處的導數,以 表示之,即

11 導數與切線 曲線 y = f (x) 在 x = a 的導數 ,即為此曲線在 點 (a, f (a)) 的切線斜率。 我們可得曲線 y = f (x) 上一點 (a, f (a)) 的切線方程 式為

12 導數的物理意義 位移函數 f (t) 在 t = a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時速度。 速度函數 v ( t ) 在 t = a 處的導數 為此運動物體在時刻 a 的瞬時加速度。

13 1. 微分公式 (1)(2)1. 微分公式 (1)(2) 2. 連鎖規則2. 連鎖規則 1-3 微分公式

14 微分公式 (1) 公式 1 :若 f (x) = x n ,則 ( n 為實數 ) 公式 2 :若 f (x) = k ,則 ( k 為常數 ) 公式 3 :若 y = kf (x) ,則 ( k 為常數 ) 公式 4 :若 y = f (x) + g(x) ,則

15 微分公式 (2) 公式 5 :若 y = f (x) – g(x) ,則 公式 6 :若 y = f (x)g(x) ,則 公式 7 :若 y = ,則

16 連鎖規則 (1) 設 y = g ( f (x) ) ,且 、 均存在, 又 ,則 (2) 設 n 為有理數, f (x) 為可微分函數,若 則

17 1-4 高階導函數 高階導函數的表示法 第一階導函數: 第二階導函數: 第三階導函數: 第 n 階導函數:


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