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2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.

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1 2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂

2 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法 : 两边对 x 求导 ( 含导数 的方程 ) 第二章 第二章

3 注 : 隐函数求导的四个步骤: 第一步:把 作为 的可微函数处理,方程两边 对 求导数. 第二步:对 并项到等式的一边. 第三步:提出因子. 第四步:解出. 第二章 第二章

4 例.例. 解:解: 解得 第二章 第二章

5 例. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解 : 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0, 故 确定的隐函数 第二章 第二章

6 例. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解 : 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 第二章 第二章

7 例.例. 解:解: 所求切线方程为 显然通过原点. 第二章 第二章

8 , 求 解:解: 方程组两边同时对 t 求导, 得 例. 设 第二章 第二章

9 例. 求证抛物线 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于 a 证 故曲线上任一点处切线的斜率为 第二章 第二章

10 切线方程为 故在两坐标轴上的截距之和为 第二章 第二章

11 例. 设 由方程 确定, 解:解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时,时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 ① 二、高阶导数 隐函数微分法也可以用来求高阶导数 第二章 第二章

12 例.例. 解:解: 第二章 第二章

13 总结 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 求高阶导数时, 从低到高每次都用隐函数求 导公式 第二章 第二章


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