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复习 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 转化 成立的条件？
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4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 求高阶导数时, 从低到高每次都用参数方程求导公式
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第五节 函数的微分 二、微分运算法则 三、微分在近似计算中的应用 一、微分的定义
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引例 : 正方形金属薄片受热后面积的增量. 边长由 变到 时， 面积的改变量为 的线性函数，为 的主要部分 当 时, 为 的高阶无穷小, 可忽略 ;
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再例如, 设函数 在点 处的增量为 求 既容易计算又是较好的近似值 的线性函数，为 的主要部分 当 时, 为 的高阶无穷小, 可忽略 ; 微分的实质：函数增量的线性主部
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定义：设函数 在某区间内有定义， 及 在该区间内， 可表示为 其中 是与 无关的常数 如果函数的增量 则称函数 在点 处可微， 称 为 在点 相应于自变量增量 的微分， 记作 即： 问题 : 函数满足什么条件才可微 ? 如何求微分 ?
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证 (1) 必要性 定理： 在点 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 即： (2) 充分性 在 可导， 由定义知：
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综上 : (1) dy 是自变量增量 的线性函数； (2) 是比 高阶的无穷小； (3) 当 时， (4) 当 时， 即：可以用微分近似增量.
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微分的几何意义 当 很小时, 则有 从而 导数也叫作微商 切线纵坐标的增量 记作 称 为自变量的微分, 当 时,
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二、基本初等函数的微分和微分运算法则 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式
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二、 微分运算法则 设 u(x), v(x) 均可微, 则 (C 为常数 ) 分别可微, 5. 复合函数的微分, 设 的微分为 则复合函数 微分形式的不变性： 函数的微分形式总是 无论 x 是自变量还是中间变量,
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例 1. 求 解:解:
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例2例2 解法 2 解法 1
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解 例3例3 解 设 例4例4 设
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例5例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.
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注:注: 数学中的反问题往往出现多值性, 例如 说明 : 微分的反问题是不定积分要研究的内容.
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三、微分在近似计算中的应用 1. 计算函数增量的近似值 例 6 半径 10 厘米的金属圆片加热后，半径伸长了 0.05 厘米， 问面积增大了多少？ 解 当 且 时，
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2. 计算函数的近似值 使用原则 : 1. 计算函数 在点 附近的近似值 特别地， 当 很小时，
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例 7 计算 解设 则 ( x 为弧度 )
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常用近似公式 : 很小 ) 证明 : 令 得 当 很小时，
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例 8 计算下列各数的近似值 解
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为了提高球面的光 每只球需用铜多少克. 估计一下, 洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为 0.01cm, ( 铜的密度 : ) 例 9. 有一批半径为 1cm 的球, 解 : 已知球体体积为 镀铜体积为 V 在 时体积的增量 因此每只球需用铜约为 ( g )
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由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差. 3 、误差估计 若某量的精确值为 A, 其近似值为 a, 称为 a 的绝对误差 称为 a 的相对误差
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则 称为测量 A 的绝对误差限 称为测量 A 的相对误差限 问题 : 在实际工作中, 绝对误差与相对误差无法求得 ? 办法 : 将误差确定在某一个范围内. 若某个量的精确值为 A ， 测得它的近似值为 a, 又 知道它的误差不超过 即
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误差传递公式 : 若直接测量某量得 x, 已知测量误差限为 按公式计算 y 值时的误差 故 y 的绝对误差限约为 相对误差限约为
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解 : 计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为 (mm 2 ) 测量 D 的 绝对误差限 欲利用公式 圆钢截面积, 试估计面积的误差. 计算 例 10. 设测得圆钢截面的直径
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内容小结 1. 微分定义 微分的定义及几何意义 可微 可导 2. 微分运算法则 微分形式不变性 : ( u 是自变量或中间变量 ) 3. 微分的应用 近似计算 估计误差
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微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 称为 微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 称为微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★
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导数与微分的区别 : ★ 1. 函数 在点 处的导数是一个常数 而 微分 是 的一个线性函数， 它的定义域是 R ， 实际上，它是无穷小. 2. 从几何意义上看， 是曲线 在点 处切线的斜率，而微分 是曲线 在点 处的切线的纵坐 标增量.
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思考与练习 1.
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4. 设 由方程 确定, 解:解: 方程两边求微分, 得 由上式得 求 当 时 5. 设 且则
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作 业 作业提交时间： 2012 年 11 月 5 日上午 8:00am. P123. 3(3,7,8,9,10), 4(3), 5, 8(1), 12
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