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2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.

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1 2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用

2 1 微分的定义 定义 设函数 在点 处可导,则 叫作 在点 处的微分,记作 即 此时,也称函数 在点 处可微 例 1 求函数 当 时的增量及微分微分 解 函数的增量为 函数在点 处的微分为 所以当 时有 时有

3 由上面的结果可以看出 误差 是 0.0001 2. 微分的几何意义 P T N M ) 的纵坐标对应于 的增量. 函数在点 处的切线 的微分就是曲线 在点

4 3. 微分公式与微分运算法则 ( I ). 微分的基本公式

5 ( 2 )微分的运算法则 设函数 都可微,则

6 例 3 求函数 的微分 解 另解 所以

7 ( 3 )复合函数的微分 设函数 均可微,则复合函 数 也可微,其微分为 由于 ,所以上式又可写成 这表明,不论 是自变量还是中间变量, 函数 的微分形式 保持不变,这一性质称为一阶微分形式不 变性

8 例 4 求函数 的微分 解 利用微分形式不变性,有 而 ,所以 另解 所以

9 三微分在近似计算中的应用 对于一元函数 当 很小时, 有近似计算公式 可用他来计算计算函数增量的近似值 又 则公式又可写成 即 可用这公式来计算函数在某一点附近的函 数值的近似值

10 例 5 (书 例 7 )半径为 15cm 的金属球,遇热后 半径伸长了 2mm ,求球的体积约增大了多少? 解 球的体积公式为 所以 将 代入上式,得体 积近似增大了 课外练习


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