微积分的思想与方法 王显花 临夏分校 内容介绍 微分学包含两个系统：概念系统和算法系统。 概念系统中最重要的概念是导数和微分。在算法系 统中包含求导运算与微分运算。 微分是微分学中除了导数之外的另一个基本概念， 它与导数概念密切相关。微分概念是在解决直与曲 的矛盾中产生的，具体说来，它在微小局部可以用.

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2 微积分的思想与方法 王显花 临夏分校

3 内容介绍 微分学包含两个系统：概念系统和算法系统。 概念系统中最重要的概念是导数和微分。在算法系 统中包含求导运算与微分运算。 微分是微分学中除了导数之外的另一个基本概念， 它与导数概念密切相关。微分概念是在解决直与曲 的矛盾中产生的，具体说来，它在微小局部可以用 直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线 性化。微分具有双重意义，它表示一个微小的量， 同时又表示一种与求导密切相关的运算，微分是微 分学转向积分学的一个关键概念。不定积分就是微 分运算的逆运算。

4 明 确 思 路明 确 思 路明 确 思 路明 确 思 路 二、重、难点内容提示 二、重、难点内容提示 二、重、难点内容提示 一、学习本章内容需要弄清楚的问题 一、学习本章内容需要弄清楚的问题 一、学习本章内容需要弄清楚的问题 四、练习题及其答案 四、练习题及其答案 四、练习题及其答案 三、本章内容辅导 三、本章内容辅导 三、本章内容辅导 五、自学资源 五、自学资源 五、自学资源 五、自学资源 六、师生互动，交流反馈 六、师生互动，交流反馈 六、师生互动，交流反馈 六、师生互动，交流反馈

5 １、微分学基本问题是什么？ ２、函数的微分和导数是什么关系，它们的几 何意义是什么？ ３、微分学的基本运算。 ４、何谓函数的一阶微分形式不变性？ ５、微分的线性化有什么应用？

6 二、重、难点内容提示 １、重点内容： １、重点内容：一阶微分形式不变性和基本初 等函数的微分法。 ２、难点内容： ２、难点内容：运用微分公式求函数的微分。

7 1 、微分的定义 设 y=f （ x ）在点 x 处可导，则 f ’ （ x ） Δx 称为函数 y=f （ x ） 在点 x 处的微分，记 dy=f′ （ x ） dx 。 2 、微分公式 定理 7.1 设函数 u=u （ x ）， v=v （ x ）均在点 x 处可微， 则有（表中 u=u （ x ）， v=v （ x ）， α ， β ∈ R ） 1 d （ cu ） =cdu ， c 是常数 2 d （ αu±βυ ） =αdu ， αβ 是常数 3 d （ uυ ） =υdu+udυ 4 d （ u/υ ） = （ υdu-udυ ） /υ2

8 3 、复合函数的微分公式（一阶微分形式不变性） 定理 7.2 设函数 u=φ （ x ）在点 x 处可微， y=f （ x ）在对 定理 7.2 设函数 u=φ （ x ）在点 x 处可微， y=f （ x ）在对 应点 u 处可微，则复合函数 y=f[φ （ x ） ] 在点 x 应点 u 处可微，则复合函数 y=f[φ （ x ） ] 在点 x 处可微，且 dy=f′ （ u ） du ，其中 du=φ （ x ） dx 处可微，且 dy=f′ （ u ） du ，其中 du=φ （ x ） dx 由微分定义和复合函数求导公式，得 由微分定义和复合函数求导公式，得 dy=[fφ （ x ） ]′du=f′(u)φ′(x)dx=f′ （ u ） du dy=[fφ （ x ） ]′du=f′(u)φ′(x)dx=f′ （ u ） du 由此可见，无论 u 是自变量，还是另一变量的可 由此可见，无论 u 是自变量，还是另一变量的可 微函数，微分形式 dy=f′ （ u ） du 保持不变，这 微函数，微分形式 dy=f′ （ u ） du 保持不变，这 一性质称为一阶微分形式的不变性。 一性质称为一阶微分形式的不变性。

9 例 1 ：求函数 y=e x 分别在点 x=0 与点 X=1 处的微分。 解： dy= （ e x ） ′| x=0 dx=dx 解： dy= （ e x ） ′| x=0 dx=dx dy= （ e x ） ′| x=1 dx=edx dy= （ e x ） ′| x=1 dx=edx 例 2 ：求函数 y=sin （ 2x+1 ）微分 解： dy=d[sin(2x+1)]=cos(2x+1)d(2x+1) 解： dy=d[sin(2x+1)]=cos(2x+1)d(2x+1) =2cos(2x+1)dx =2cos(2x+1)dx 例 3 ：计算 y=e -ax sinbx 微分 解： d(e -ax sinbx)=sinbxd(e -ax )+e -ax d(sinbx) 解： d(e -ax sinbx)=sinbxd(e -ax )+e -ax d(sinbx) = sinbxe -ax d(-ax)+e -ax cosbx · d(bx) = sinbxe -ax d(-ax)+e -ax cosbx · d(bx) =e -ax (bcosbx-asinbx)dx =e -ax (bcosbx-asinbx)dx

10 基本初等函数微分法表

11 4 、微分的几何意义： 为了对微分有直观的了解, 现在说明微分的几 何意义, 如图 7.2 所示，函数 y=f （ x ）的图形是 一条曲线, 对于某一固定的 x 0 值, 曲线上有一定 点 M(x 0,y 0 ), 当自变量 x 有微小增量 Δx 时, 得到曲 线上另一点 N(x 0 +Δx,y 0 +Δy) ， MT 是曲线在点 M 处的切线，从图中可知 为了对微分有直观的了解, 现在说明微分的几 何意义, 如图 7.2 所示，函数 y=f （ x ）的图形是 一条曲线, 对于某一固定的 x 0 值, 曲线上有一定 点 M(x 0,y 0 ), 当自变量 x 有微小增量 Δx 时, 得到曲 线上另一点 N(x 0 +Δx,y 0 +Δy) ， MT 是曲线在点 M 处的切线，从图中可知 MQ=Δx ， QN=Δy ， MQ=Δx ， QN=Δy ， QP=f′(x 0 )Δx=dy 。 QP=f′(x 0 )Δx=dy 。

12 由此可见，对于可微函数 y=f (x) ，可言， Δy 是 曲线 y=f (x) 上的纵坐标的增量时， dy 就是曲线的 切线上的纵坐标的相应增量： QP=f′(x 0 )Δx=dy 这 就是微分的几何意义。 由此可见，对于可微函数 y=f (x) ，可言， Δy 是 曲线 y=f (x) 上的纵坐标的增量时， dy 就是曲线的 切线上的纵坐标的相应增量： QP=f′(x 0 )Δx=dy 这 就是微分的几何意义。 由图 7.2 可见，当 dx 很小时， Δy=NQ≈dy=QP ， 这就是说 “ 曲线 ” y=f (x) 的改变量 Δy 可以用 “ 直线 ” （即切线）的改变量求近似地代替。 由图 7.2 可见，当 dx 很小时， Δy=NQ≈dy=QP ， 这就是说 “ 曲线 ” y=f (x) 的改变量 Δy 可以用 “ 直线 ” （即切线）的改变量求近似地代替。

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15 答案：

16 1 、课本主教材及其配套练习册。 2 、学员注册登陆中央电大网站： http://www.open.edu.cn 根据本课程的辅导时间安排自助学习。 根据本课程的辅导时间安排自助学习。 3 、甘肃电大： http://www.gsrtvu.cn 4 、临夏电大： http://www.lx.gsrtvu.cn

17 E—mail ： Wangxh@163.com QQ: 412990843 TEL ： 13519003429 师生互动 交流反馈