一、问题提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、 微分的求解 六、 微分的应用 七、 小结.

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1 一、问题提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、 微分的求解 六、 微分的应用 七、 小结

2 一、问题提出 实例 : 正方形金属薄片受热后面积的改变量.

3 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题 : 这个线性函数 ( 改变量的主要部分 ) 是否 所有函数的改变量都有 ? 它是什么 ? 如何求 ?

4 二、微分的定义 定义 ( 微分的实质 )

5 由定义知 :

6 三、可微的条件 定理 证 (1) 必要性

7 (2) 充分性

8 例1例1 解

9 四、微分的几何意义 M N T ） 几何意义 :( 如图 ) P

10 五、微分的求法 求法 : 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1. 基本初等函数的微分公式

11 2. 函数和、差、积、商的微分法则

12 例2例2 解 例3例3 解

13 微分形式的不变性 结论： 微分形式的不变性

14 例4例4 解 例3例3 解

15 例5例5 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数, 使 等式成立.

16 导数与微分的区别 : ★

17 1. 计算函数增量的近似值 例1例1 解 六、微分的应用

18 2. 计算函数的近似值 例1例1 解

19

20 常用近似公式 证明

21 例2例2 解

22 3. 误差估计 由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差， 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差，我们把它叫做间接测量误差. 定义： 问题 : 在实际工作中, 绝对误差与相对误差无法求得 ?

23 办法 : 将误差确定在某一个范围内. 通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差.

24 例3例3 解

25 七、小结 微分学所要解决的两类问题 : 函数的变化率问题 函数的增量问题微分的概念 导数的概念 求导数与微分的方法, 叫做微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫 做微分学. 导数与微分的联系 : ★ ★

26 近似计算的基本公式 ★

27 思考题

28 思考题解答 说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念.