第 4 章 不定积分 4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法.

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1 第 4 章 不定积分 4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法

2 第 4 章 不定积分 基本要求 了解原函数提出的背景； 理解并掌握不定积分概念, 了解不定积分的几何意义； 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的直接积分法, 凑微分法, 第二换元积分法 ( 根号 中为一次函数 ) 、分部积分法，会求不定积分。

3 前面我们研究了一元函数微分学的基本问题，即已知一 个可导函数 F(x), 求它的导数 但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题： 教学内容 : 不定积分的概念与基本积分公式 即已知某函数的导数 ，求原函数 ， 这就是我们要学习的原函数与不定积分问题。 引入

4 已知曲线上任意一点 p(x,y) 处的切线斜率为 k=2x, 求此曲线的方程 y=f(x) 。 题意为：什么样的曲线在 x 处的切线斜率为 2x ，即 由 ，求 。 例如

5 不难看出 : 一. 原函数与不定积分的概念

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7 或 (1) 称 是函数 在 上的一个原函数． 1. 定义 : 设函数 在区间 上有定义． 如果存在可导函数 ，使对于任意的, 都有 则

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9 什么样的函数有原函数存在呢？ ? 2. 结论：如果函数 在某区间 I 上连续，则其原 函数必存在

10 例. 计算下列不定积分

11 所以 当 时， 所以 合并为 思考题 当 时， 解 解

12 表示坐标平面上的一条确定曲线, 称为一条积分曲线． 因此不定积分 表示 的一族 ( 积分 ) 曲线, 由曲线 Y=F(x) 沿 y 轴任意平移得到, 这族积分曲线在相同点处切线平行。 4. 不定积分的几何意义

13 1. 求不定积分与求微分 ( 或求导数 ) 运算互为逆运算，即 二. 不定积分的性质

14 例如

15 练习：

16 性质（运算法则）.... 推广

17 由于 启示根据求导公式得出积分公式 结论 根据不定积分运算和微分运算是互逆的， 可以根据导数基本公式可得到对应的不 定积分基本公式. 三. 不定积分的基本公式

18 导数公式 基本积分表 练习

19 练习 : 求不定积分

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23 基本积分公式