第一部分：空间曲面 第二部分：空间曲线.

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1 第一部分：空间曲面 第二部分：空间曲线

2 定义： 如果曲面S与三元方程 有下述关系： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程，

3 y z x M(x,y,z) 解 根据题意有 即有： 所求方程为

4 一、柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之为柱面. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.
如果母线是平行于 轴的直线，

5 柱面上任取一点P(x,y,z) 沿母线与xoy平面的交点是P(x,y,0) P(x,y,0)在准线上，从而柱面上
准线方程 柱面上任取一点P(x,y,z) 沿母线与xoy平面的交点是P(x,y,0) P(x,y,0)在准线上，从而柱面上 任一点P的坐标均满足方程 F(x,y)=0. P(x,y,z) 柱面方程：F(x,y)=0 P(x,y,0)

6 从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 例如： 椭圆柱面 // 轴 双曲柱面 // 轴 抛物柱面 // 轴

7 柱面图形： 抛物柱面 双曲柱面

8 椭圆柱面 圆柱面

9 二、旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面称之为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴.
定义：以一条平面曲线绕 其平面上的一条直线旋转 一周所成的曲面称之为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 平面上的曲线称为母线.

10 设 为曲线 上的任一点，那么有 曲面上任取一点， 则点M是由曲线上点M1旋转得来。 旋转过程中的特征： 因此 将 代入 得方程

11 将 代入 得方程 yoz 坐标面上的已知曲线 ) , ( = z y f 绕 轴 旋转一周的 旋转曲面方程 .

12 例2:将坐标平面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．
同理，所给双曲线绕 轴旋转一周形成的旋转曲面的方程为 这两种曲面都称为旋转双曲面．类似地，我们还可以得旋转椭球面和旋转抛物面．图形如下：

13 （1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面

14 与平面解析几何中的二次曲线概念相类似，在空间解析几何中把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面．前面提到的球面、旋转椭球面、双曲柱面等都是二次曲面．为了了解由三元二次方程所表示的空间曲面的形状，常用坐标平面和平行于坐标平面的平面与空间曲面相截．考察其交线(即截痕)的形状，然后加以综合，从而得知曲面的全貌，这种方法叫做截痕法． 下面我们利用截痕法来讨论几种常用的二次曲面．

15 1. 椭球面 图形有界，并且关于坐标面对称。 椭球面与三个坐标面的交线：

16 椭球面与平面 的交线为椭圆 当k由0变到c时,椭圆由大变小,最后缩成一点。 同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.

17 椭球面的几种特殊情况： 旋转椭球面 由椭圆 绕 轴旋转而成． 球面

18 2. 椭圆抛物面 （ 与 同号） 椭圆抛物面 同样用截痕法讨论. 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面
（ 与 同号） 椭圆抛物面 图形位于xoy平面的上方，并关于yoz及zox坐标面对称。 同样用截痕法讨论. 特殊地：当 时，方程变为 旋转抛物面

19 椭圆抛物面的图形如下： z x y o x y z o

20 3. 锥面 表示锥面 同样用截痕法来讨论,其形状如右图

21 三、小结 曲面方程的概念 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线).

22 思考题 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？

23 思考题解答 方程 平面解析几何中 空间解析几何中 斜率为1的直线

24 一、空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程 特点：
曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.

25 例1 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆.

26 例2 方程组 表示怎样的曲线？ 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图.

27 二、空间曲线的参数方程 空间曲线的参数方程

28 取时间t为参数， 动点从A点出发，经过t时间，运动到M点 解 螺旋线的参数方程

29 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的角度成正比． 即 上升的高度 螺距

30 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： 消去变量z后得： 曲线关于 的投影柱面 投影柱面的特征：
曲线关于 的投影柱面 投影柱面的特征： 以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.

31 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影柱面 投影曲线

32 空间曲线在 面上的投影曲线 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线, 面上的投影曲线,

33 例4 求曲线 在坐标面上的投影. （1）消去变量z后得 解 在 面上的投影为

34 （2）因为曲线在平面 上， 所以在 面上的投影为线段. （3）同理在 面上的投影也为线段.

35 解 截线方程为 如图,

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37 补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面

38 例6 解 半球面和锥面的交线为

39 一个圆,

40 四、小结 空间曲线的一般方程、参数方程． 空间曲线在坐标面上的投影．

41 思考题

42 思考题解答 交线方程为 在 面上的投影为