Introductory Econometrics for Finance 回归分析的基本概念

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1 Introductory Econometrics for Finance 回归分析的基本概念
计量经济学 第 2 章 回归分析的基本概念 Copyright 2002, Chris Brooks

2 §2.1 回归分析概述 一、变量间的关系及回归分析的基本概念 1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类：
§2.1 回归分析概述 一、变量间的关系及回归分析的基本概念 1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类： （1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。 （2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。

3 2、回归分析的基本概念 回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。
其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。 这里：前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable）或应变量（Dependent Variable），后一个（些）变量被称为解释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括： （1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程； （2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。

4 二、总体回归函数 由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。 例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。

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6 分析： （1）由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同； （2）但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的， 如： P(Y=561|X=800）=1/4。 因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值（conditional mean）或条件期望（conditional expectation）： E(Y|X=Xi) 该例中：E(Y | X=800)=561

7 描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入X（元） 每 月 消 费 支 出 Y （元）

8 概念： 相应的函数： 称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线（population regression curve）。 相应的函数： 称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。

9 回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。
含义： 回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。 函数形式： 可以是线性或非线性的。 例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时: 为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数（regression coefficients）。 。

10 讨论：寻找一条最优拟合直线 对于一条直线，我们可以用以下的方程, y=a+bx 来拟合数据。
这符合实际情况吗? 不符合。所以我们要在这个方程里加入一个挠动项， u。 yt =  + xt + ut 式中 t = 1,2,3,4,5

11 为什么要加入挠动项? 挠动项能够反映数据的一些特征: - 我们经常会忽略一些影响 yt 的某些确定的因素。

12 三、随机扰动项 总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。
但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。 记 称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项（stochastic error）。

13 由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。
例2.1中，个别家庭的消费支出为： (*) 即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和: （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分。 （2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。 （*）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。 由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。

14 随机误差项主要包括下列因素的影响： 1）在解释变量中被忽略的因素的影响； 2）变量观测值的观测误差的影响； 3）模型关系的设定误差的影响；
4）其它随机因素的影响。 产生并设计随机误差项的主要原因： 1）理论的含糊性； 2）数据的欠缺； 3）节省原则。

15 四、样本回归函数（SRF） 问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？
总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在一次观测中得到总体的一个样本。 问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本， 问：能否从该样本估计总体回归函数PRF？ 回答：能

16 核样本的散点图（scatter diagram)：
样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。该线称为样本回归线（sample regression lines）。 记样本回归线的函数形式为： 称为样本回归函数（sample regression function，SRF）。

17 样本回归函数的随机形式/样本回归模型： 同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：
由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（sample regression model）。

18 ▼回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。
即，根据 估计 注意：这里PRF可能永远无法知道。

19 简单回归: 例1 假设对于一个管理基金的投资组合 (“基金 XXX”)的超额回报和股市指数的超额回报，我们有如下的数据:
我们在直觉上认为该基金的beta应该是一个正数（理论是回归分析的导引） 因此，我们希望利用手上的数据来证实它们之间的确有这种关系。第一步，是画这2个变量的散点图。

20 散点图

21 例2 资本性资产定价模型(CAPM) yt =  + xt + ut t = 1,…,T yt : 一个股票的回报
一个投资者希望找到一个具有正的股票进行投资（在金融理论中，如果市场是有效（均衡）的话， =0。 > 0 ，意味着现价低于均衡价格，股票定价过低；  <0,意味着现价低于均衡价格，股票定价过低）。

22 例2 (续)  度量股票对市场指数回报的反应 :
如果  >1，当市场指数回报上升时，该股票的回报比市场上升得快，当市场指数回报下降时，该股票的回报比市场下降得快，我们称这种股票为进攻性股票。 如果  < 1，当市场指数回报上升时，该股票的回报比市场上升得慢，当市场指数回报下降时，该股票的回报比市场下降得慢，我们称这种股票为防御性股票。 如果  = 1，这种股票的回报的变化，就平均而言，与市场指数是一致的，我们称这种股票为中性股票。

23 确定回归系数 怎样决定  和 ? 选取  和使得数据点到拟合直线的垂直距离最小 (这样拟合直线就可以尽可能靠近数据点):

24 普通最小二乘法 用直线来拟合数据最常用的方法是普通最小二乘法 (ordinary least squares， OLS).
令 yt 为第t次观测到的实际数据值 回归线的拟合值 为残差（第t次观测到的实际数据值与回归线的拟合值之差）,

25 实际和拟合值

26 怎样做OLS？ 最小化 , 或者最小化 （残差的平方和）。 什么是 ? 它是第t次观测到的实际数据值与回归线的拟合值之差, yt -
最小化 , 或者最小化 （残差的平方和）。 什么是 ? 它是第t次观测到的实际数据值与回归线的拟合值之差, yt - 所以，最小化 等价于选择 和 ，使得 最小。

27 OLS估计式的推导 有 , 令 选择 和 ，使得 L 最小。L 对 和 求偏导，令其为0， (1) (2) (1)推出 有 和 。

28 OLS估计式的推导(续) 所以 或 (3) 由(2), (4) 由 (3), (5) 把(5)带入 (4),

29 OLS估计式的推导(续) 整理, 所以，有 这就是所谓的最小二乘法

30 如果一个分析家告诉你，他预期下一年的市场回报将会比无风险回报高20%，那么你预期基金 XXX 的回报将会是多少?
和 的用途 在例1中，把数据代入公式得： = 和 = 拟合直线可以写成: 如果一个分析家告诉你，他预期下一年的市场回报将会比无风险回报高20%，那么你预期基金 XXX 的回报将会是多少? 基金XXX 回报的期望值 y = * x的值, 把 x = 20 代入得: