CHAPTER 4 微 分.

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1 CHAPTER 4 微 分

2 4-1 導數

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4 p.124 例1:

5 切線斜率

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8 p.126 例2:

9 瞬時速度 速度的意義是指在一段時間內物體移動了多少距離，以 S 表示位移，t 表示時間，則平均速度=位移變化量/時間變化量，可用符號表示為 。但在現實生活中，我們更 想知道在某一瞬間 (t=t0)的瞬時速度 v，一瞬間指時間變化量趨近於 0 (△ t →0)

10 p.127 例3:

11 邊際成本 邊際效應指的是最後加上去的單位所產生的效應， 邊際觀念用於成本，就產生了邊際成本，指的是再增加 1 單位商品的生產所需的成本；
邊際觀念用於收入，就產生了邊際收入，指的是再增加 1 單位商品的銷售所得到的收入； 邊際的概念代表著單量的變化，比總量更具有經濟的意義。

12 例:有個大胃王，一次可吃下二十碗飯， 這二十碗飯就是總量， 吃這二十碗飯的過程中，每一碗所帶來的效果就屬於邊際問題， 吃第一碗飯時有一種從無到有的滿足感，漸漸的當吃到第二十碗時，其滿足感就與第十九碗相差不大， 邊際效用遞減的結果，讓人們即使在無預算限制下，也不會永無止盡的消費下去。

13 邊際成本(Marginal Cost)指的是當產量為 x0 時，再增加 1 單位商品的生產所需之實際成本。
廠商生產一種商品的總成本 (Total Cost)分為兩大項，一項是不因生產量變動而變動的固定成本(Fixed Cost)，另一項是生產一單位產量所需的成本稱為可變成本(Variable Cost)，故總成本函數 C(x)=固定成本+(平均可變成本) ×(產量) 邊際成本(Marginal Cost)指的是當產量為 x0 時，再增加 1 單位商品的生產所需之實際成本。

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16 p.129 例4:

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20 電流變化 電流是指在一段時間之內通過導線橫截面之電量

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22 p.131 例5:

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25 極限存在  左極限=右極限 導數存在  左導數=右導數

26 p.133 例6:

27 從圖形來觀察函數到底在那些地方有導數(可以微分)或那些地方沒有導數(不可微分)。
函數不可微分的點有三類: (1) 角點 (2) 具有垂直切線的點 (3) 不連續點

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31 導函數就是函數 f (x) 的所有導數的集合 導函數本身也是函數的一種，故導函數也存在著定義域和值域的對應關係， 導函數的定義域與函數的定義域兩者不一定完全相同 函數 f (x) 在其定義域中的每一個點都可微分，此時兩者的定義域才會完全相同

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33 p.136 例7:

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38 微分與連續之關係 若函數 f 在 x0 可微分，則 f 在 x0 連續 若函數 f 在 x0 為連續，則 f 在 x0 不一定可微分

39 p.138 例8: 試證「若函數 f 在 x0 可微分，則 f 在 x0 連 續」

40 4-2 微分公式 介紹常見的微分公式，以利我們很快的求出導函數，更進一步求出在 x0 的導數值。 以下的微分公式皆可用導函數的定義求出。

41 p.143例9: 試微分下列函數 y=f (x)，求出導函數 y’? (1) y=π (2) y=-100 (3) y=100

42 在冪次公式中，當 n 推廣為任意實數時，結果仍可成立

43 p.144 例10:

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45 p.145 例11:

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47 p.146 例12:

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50 p.148 例13:

51 4-3 連鎖法則

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54 p.152 例14:

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56 p.152 例15:

57 p.153 例16:

58 p.154 例17:

59 p.154 例18:

60 p.155 例19:

61 4-4 隱微分法

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65 p.159 例20:

66 p.159 例21:

67 p.160 例22:

68 p.160 例23:

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70 4-5 高階導函數

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72 p.164 例24:

73 p.165 例25:

74 p.165 例26:

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76 p.166 例27:

77 在物理學上有所謂的瞬時速度和瞬時加速度，瞬時速度是指位移對時間的變化率，瞬時加速度是指瞬時速度對時間的變化率，對導數而言，瞬時速度是一階導函數，瞬時加速度是二階導函數。

78 p.167 例28:

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80 4-6 三角函數的導函數 導數的幾何意義就是切線斜率

81 若將上表之對應關係在座標平面上標示出來，並將這些點以平滑的曲線連接起來，其結果如圖 4-7 所示，這似乎是一個 cos 函數的圖形。
sin 函數的導數列表如下: x -2π -3π/2 –π –π/ π/2 π 3π/2 2π (sinx)’ 若將上表之對應關係在座標平面上標示出來，並將這些點以平滑的曲線連接起來，其結果如圖 4-7 所示，這似乎是一個 cos 函數的圖形。

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86 p.172 例29:

87 p.172 例30:

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89 p.173 例31:

90 p.174 例32:

91 補充:

92 p.1734 例33:

93 4-7 對數函數與指數函數的導函數 常數 e 是一個不循環的無限小數，其定義如下:

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95 p.178 例34:

96 p.178 例35:

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99 p.179 例36:

100 p.179 例37:

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104 p.181 例38:

105 p.181 例39:

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108 p.182 例40:

109 p.183 例41:

110 p.183 例41: