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§4.3 常系数线性方程组
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一阶常系数线性微分方程组: 本节主要讨论(5.33)的基解矩阵的求法.
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一、矩阵指数expA的定义和求法 1 expA的定义 定义 注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的. 由于 而数项级数 收敛 .
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注2: 级数 在t的任何有限区间上是一致收敛的. 由于 而数项级数 收敛 .
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2 矩阵指数的性质 由于: 绝对收敛级数的乘法定理 由于:
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由于:
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3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1)定理9 矩阵 是(5.33)的基解矩阵,且 证明: 又因为
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例1 如果A是一个对角矩阵 解 由(5.34)得
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例2 解 因为 而后面两个矩阵是可交换的
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故
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(2) 基解矩阵的一种求法 则 其中 注1:
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二 基解矩阵的计算公式 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系 类似第四章4.2.2,寻求 形如 将(5.43)代入(5.33)得
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方程(5.44)有非零解的充要条件是: 结论 即 例3 解 的根,
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解得 解得
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例4 解 特征方程为 为求其对应的特征向量 考虑方程组 解得
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2 基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法
(1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时 定理10 是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵.
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证明: 由上面讨论知,每一个向量函数 都是(5.33)的解,因此矩阵 是(5.33)的解矩阵, 所以
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例5 解 由例3知 由定理10,矩阵 就是一个基解矩阵.
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注: 但由于 有 从而 例6 试求例5的实基解矩阵. 解 由于基解矩阵为 故实基解矩阵为
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求例5满足初始条件 的解
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解 由于基解矩阵为 故该方程的通解为 从而 由初始条件有 故
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例7 求方程组 的通解. 解 因此特征根为 它们相的特征向量为
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故基解矩阵为 故通解为
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(2) 矩阵A的特征根有重根时 分量是无穷级数 难! 分量表为t的指数函数与幂函数乘积有限项组合
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由(5.49)有 的解产生的, 由于
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由(5.51)有
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注1: 故 注2: 其中
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例8 试解初值问题 解 从例4知,
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利用公式(5.53)即得 或者分别令
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例9 如果 解 直接计算可得 因此由公式(5.53)可得
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例10 求方程组 满足初始条件 解 这里系数矩阵
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特征根为 由(5.48)我们需要考虑下面方程 和 首先讨论 这个方程组的解为
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其次 这个方程组的解为
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解之得
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代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得
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(3) 非齐线性方程的解 下面研究非齐线性微分方程组 由于(5.60)对应齐次方程组 的基解矩阵为 故由常数变易公式,
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例10 设 的解. 解 由例6知 故初值问题的解为
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三 拉普拉斯变换的应用 1用拉普拉斯变换解微分方程组 (1)定义 定义其拉普拉斯变换为 常系数线性微分方程组:
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(2)定理12
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(3) 推论
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例11 利用拉普拉斯变换求解例10. 解 将方程写成分量形式,即
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即 由此解得 故
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例12 试求方程组 满足初始条件 解 对方程组取拉普拉斯变换得
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即 解得 故
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例12 试求方程组 满足初始条件 解
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整理后得 解得 再取反变换得
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2 用拉普拉斯变换求基解矩阵 对常系数齐线性微分方程组
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例12 试构造方程组 的一个基解矩阵,其中 解 即 也即
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由克莱姆法则,有
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从而
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故基解矩阵 且
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作业 P236 2, 4(b),5(a) P236 5(c),6(a),7, P237 8, 10(a),11
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