第2章 投影的基本知识 2.1 投影的概述 2.2 正投影的特征 2.3 三面投影图 2.4 点的投影 2.5 直线的投影

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1 第2章 投影的基本知识 2.1 投影的概述 2.2 正投影的特征 2.3 三面投影图 2.4 点的投影 2.5 直线的投影
第2章 投影的基本知识 2.1 投影的概述 2.2 正投影的特征 2.3 三面投影图 2.4 点的投影 2.5 直线的投影 2.6 平面的投影

2 2.1 投影的概述 2.1.1 投影的概念 1、什么是影子？ 一个物体在光源的照射下，必定在地面或墙面上留有阴影，我们称其为影子。
2.1 投影的概述 投影的概念 1、什么是影子？ 一个物体在光源的照射下，必定在地面或墙面上留有阴影，我们称其为影子。 投影与影子关系？ 2

3 投影：用假想的光线（投射线）将空间几何元素（点、直线、平面、立体）投射到一个平面上去，在该平面上得到图形叫作投影
2、什么是投影？什么是投影法？ 投影：用假想的光线（投射线）将空间几何元素（点、直线、平面、立体）投射到一个平面上去，在该平面上得到图形叫作投影 投影法：在投影面上作出形体的投影，以表示形体的形状和大小，这种方法叫做投影法 构成投影的三个要素： （1）形 体 （2）投影面 （3）投射线 3

4 2.1.2、投影的分类 投影可分为中心投影和平行投影两类。 投影 中心投影 平行投影 斜投影 正投影 4

5 1、中心投影 投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差 物体位置改变，投影大小也改变 投射中心
投射线 物体 投影 投影面 投影特性 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差 5

6 2、平行投影 投 影 特 性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。
投射线互相平行且垂直于投影面 投射线互相平行且倾斜于投影面 （1）正投影 （2）斜投影 投 影 特 性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。 6

7 2.2 正投影的特性 1、类似性（相仿性） 2、全等性（显示性、度量性） 3、积聚性 4、平行性 5、定比性 6、从属性 7

8 2.2 正投影的特性 类似性 全等性（显实性） 积聚性

9 2.2 正投影的特性 从属性 定比性 平行性

10 2.3 三面投影图 单面投影体系 两面投影体系 三面投影体系 多面投影图 10

11 单面投影体系 结论：物体的一个投影不能唯一确定 该物体的空间形状。 11

12 两面投影体系 能否唯一确定物体的空间形状？ 不一定！ V H 12

13 2.3.1 三面投影体系 是否唯一确定物体的空间形状？ V H W 唯一确定！ 13

14 2.3.1 三个投影面的形成 投影面 投影轴 砖的三个不同方向的正投影 正面投影面（简称正面或V面） 水平投影面（简称水平面或H面）
三个投影面的形成 砖的三个不同方向的正投影 投影面 正面投影面（简称正面或V面） 水平投影面（简称水平面或H面） 侧面投影面（简称侧面或W面） 投影轴 OX轴：V面与H面的交线 OY轴：H面与W面的交线 OZ轴：V面与W面的交线 14

15 2.3.2 三个投影面的展开 投影体系的展开方法： Z ★ 保持V投影面不动。 V ★ 将H投影面绕OX轴向下旋转90，使H面与V面共面。
W Z Y X O ★ 保持V投影面不动。 ★ 将H投影面绕OX轴向下旋转90，使H面与V面共面。 ★ 将W投影面绕OZ轴向右旋转90，使W面与V面共面。 15

16 YH YW Z X O H W V H W V 去除投影面边框后即为：三面投影图 16

17 2.3.3 投影图的基本规律 Z 投影规律： 绘制物体的三投影图时，通常省略投影轴。 长对正 高平齐 宽相等 V W YW X 方位关系：
H W V YH YW Z X O 投影规律： 绘制物体的三投影图时，通常省略投影轴。 上 下 长对正 高度 高平齐 宽相等 左 右 前 后 宽度 长度 方位关系： 上下关系 左右关系 前后关系 17

18 2.3.4 三面正投影图的作图方法 X X 45 18

19 多面投影图：五个投影面 W1 投影 V1 投影 19

20 2.4 点 的 投 影 2.4.1 点的三面投影 2.4.2 两点的相对位置 20

21 2.4.1 点的三面投影 1、三面投影体系的形成 若已知一个空间点，则在给定的投影面上，可以得到该点唯一的投影。
点的单面投影 A B 若已知点的一个投影，则不能确定该点的空间位置。 a (b) H 解决办法？ 采用多面投影 21

22 点的两面投影 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。 两面投影规律： 两投影连线垂直于投影轴；即：a a ’⊥ OX 。
V a’ ax A ax V H X o o X a 空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。 H 两面投影规律： 两投影连线垂直于投影轴；即：a a ’⊥ OX 。 点的一投影到投影轴的距离等于该空间点到另一 投影面的距离。即 a’ax = Aa ；aax = Aa’。 22

23 2、点的三面投影规律 (1) 点的V面投影 a'和H面投影a的连线垂直于OX轴(aa'⊥OX)。
(2) 点的V面投影a'和W面投影a"的连线垂直于OZ轴(a'a"⊥OZ)。 (3) 点的H面投影a到OX轴的距离等于点的W面投影a"到OZ轴的距离(aax=a"az)。 23

24 点的投影与坐标关系 1. aaz = aay =Aa = xA （空间点A到W面的距离）
2. aax = aaz =Aa = yA （空间点A到V面的距离） 3. aax =aay = Aa= zA （空间点A到H面的距离） 24

25 特殊位置点的投影 c ˊ c aˊ a" aˊ a" dˊ d" d" c" cˊ b´ b" C c" b´ d a a d c b" b
投影面上的点 投影轴上的点 Z Z aˊ a" V aˊ a" A dˊ d" D dˊ d" c" cˊ c ˊ W b´ b" X Yw O C c" b´ d X O a a d c c b" B b b H Y YH 25

26 2.4.2 两点相对位置 aˊ a" aˊ a" a a Z V Z A bˊ b" bˊ W X O b" B b H b Y △Z △X
26

27 1、两点的相对位置 判断方法： 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。 ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前
Z a a ● b b X YW 判断方法： a b YH ▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 B点在A点之前、之右、之下。 ▲ z 坐标大的在上 27

28 2、重影点 及其可见性 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。 A、C为H面的重影点
2、重影点 及其可见性 A、C为H面的重影点 a a ● 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。 c c a c ( ) A、C为哪个投影面的重影点呢？ 被挡住的投影加( ) 28

29 重影点的投影 e"(f") c'(d') a(b) c'(d') e"(f") a(b) 29

30 [例]已知点的两个投影，求第三投影。 解法一: 通过作45°线使aaz=aax a 解法二: 用圆规直接量取aaz=aax a az
● a ● ax a ● ● a a ax 解法二: az a ● 用圆规直接量取aaz=aax 30

31 [例题]已知点的两个投影，求第三投影。 b′ b″ Z c′ c″ a′ a″ X YW b a c YH 31

32 [例题] 已知A点的坐标为x=20mm， y=10mm，z=15mm，求作A点的三面投影图。
yH a yw 20 a x 10 a 32

33 [例题] 已知点A的三面投影，试确定点A 的空间位置。
x=12 z=20 A(12,18,20) 20 12 y=18 18 33

34 [例题] 已知点A在H面上，点B在W面上，点C在V面上，试求各点的三面投影。
Cc' c' c" c c" c b" b' b b' b Bb" a' a" a' a a" O Aa 34

35 [例题]已知点A的坐标为A(35,20,10)，点B位于A点右边20、上方15、后方10，求A、B两点的投影。
△Z=15 a′ a″ Z=10 △X=20 X=35 b Y=20 △Y=10 a 35

36 [例题] 立体上的重影点 D a'(e') c'(d') e"(d") a"(c") C E A b' b" e d B a(b) c
[例题] 立体上的重影点 D a'(e') c'(d') e"(d") a"(c") C E A b' b" e d B a(b) c (a) (b) (c) 36

37 2.5 直线的投影 2.5.1 特殊位置直线 1、投影面平行线 2、投影面垂直线 2.5.2 一般位置直线 1、一般位置直线的投影特性
2.5 直线的投影 特殊位置直线 1、投影面平行线 2、投影面垂直线 2.5.2 一般位置直线 1、一般位置直线的投影特性 2、直线的实长和倾角 3、从属性 37

38 直线对一个投影面的投影特性 （2）投影面 水平线 （3）一般位 置直线 （1）投影面 垂直线 直线倾斜于投影面 直线垂直于投影面
A B ● a b A M B ● a≡b≡m ● A B a b α 直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα 直线垂直于投影面 投影重合为一点 积　聚　性 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB 38

39 直线在三个投影面中的投影特性 V W H a c e b d E B D A C 39

40 空间位置 直线的各种空间位置 投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线 正平线（平行于Ｖ面） 平行于某一投影面而 侧平线（平行于Ｗ面）
与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面） 与三个投影面都倾斜的直线 一般位置直线 空间位置 40

41 1、投影面平行线的投影特性 a' b' a" b" a b b' a" b" a' b' b a a b a' a" b" A B B A
O a" b" a' b' a b β γ O a b a' b' b" a" α β b' O a' α γ b" a" a b 41

42 1、投影面平行线的投影特性 投 影 特 点 ① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实际大小。
② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴且长度缩短的直线。 读 图：一直线如果有一个投影平行于投影轴而另有一投影倾斜时，它必然是一条投影面平行线，平行于该倾斜投影所在的投影面。 42

43 物体上平行线的投影分析 43

44 2、投影面垂直线的投影特性 a"(b ") a' b' b(a) a" b" (a')b' a" b" a b a b b' a'
44

45 2、投影面垂直线的投影特性 投 影 特 点 在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点，其余两个投影为反映实长且平行于相应的投影轴的直线。 读 图
读 图 一直线只要有一个投影积聚为一点，它必然是一条投影面垂直线，垂直于积聚投影所在的投影面。 45

46 物体上垂直线的投影分析 46

47 3、一般位置直线的投影特性 b' B b"   a' O  b a" A a 读图：一直线只要有两个投影是倾斜的，它一定是一般位置线。
47

48 物体上一般直线的投影分析 48

49 4、一般位置直线的实长和倾角 求解一般位置线段的实长及倾角是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一，也是工程上经常遇到的问题。而用直角三角形法求解实长、倾角又最为方便．简捷。 49

50 直角三角形法 X o a b b' a' B ZB-ZA ZB-ZA ZB ZA α A ZB-ZA b a α

51 直角三角形法 在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。 真长（TL) 坐标差 △Z、△Y、△X α、β、γ H、V、W投影长 51

52 （1）求直线的实长及对水平投影面的夹角角
AB |zA-zB| ab |zA-zB| O   |zA-zB | AB  AB ab |zA-zB| 52

53 （2）求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
AB  |yA-yB|  O a' b' AB  |yA-yB| AB  a' b' |yA-yB| |yA-yB| 53

54 （3）求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|   |xA-xB| 54

55 总结 2、直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。
1、直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。 2、直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 3、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。

56 [例题]试在直线AB上取一点 C，使AC = 25 mm， 求点C的投影。
ΔZAB a′ X O B A a C =ΔZAB 在AB上量取 AC=25mm c b 56

57 [例题]已知直线AB的V投影，且AB=40mm， 求AB的H投影。
R=40mm b′ △YAB a′ a 量取△YAB b 57

58 [例题]已知直线AB的V投影，且β=30°， 求AB的H投影。
△YAB a′ a 量取△YAB b 58

59 5、属于直线上的点的投影特性 判别方法： AC/CB=ac/cb= ac / cb
V b ◆ 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同面投影上（从属性）。并将线段的同面投影分割成与空间相同的比例。即：　 c B a C A b c a H AC/CB=ac/cb= ac / cb ◆若点的投影有一个不在直线的同面投影上， 则该点必不在此直线上。 定比性 59

60 [例]判断点C是否在线段AB上。 点C在直线AB上 点C不在直线AB上 c ② a b c a b a b c a b c ①
● a b c a b c ① 点C在直线AB上 点C不在直线AB上 60

61 因k不在a b上， 故点K不在AB上。
● ● k b b 因k不在a b上， 故点K不在AB上。 a k b 另一判断法? 应用定比性 61

62 2.6 平面的投影 2.6.1平面的表示法 二、平面的投影性质 三、平面上的直线和点 62

63 2.6.1 平面的表示方法 1、用几何元素表示平面 用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。 2、用迹线表示平面 平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。

64 几何元素表示平面 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 a b c a b c a b c a
● a b c a b c a b c a b c ● ● a b c a b c a b c a b c ● ● a b c a b c d ● d ● 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 64

65 平面的迹线表示法 P PV PH PV PH QV QH QH QV Q

66 平面的投影性质 平面对一个投影面的投影特性 投 影 特 性 平行 倾斜 垂直 实形性 ★ 平面平行投影面-----投影就把实形现 积聚性
投 影 特 性 ★ 平面平行投影面-----投影就把实形现 ★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线　 ★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面 实形性 积聚性 类似性 66

67 平面对于三投影面的投影特性 V Z W X Y 投影面平行面 H 特殊位置平面 投影面垂直面 空间平面 一般位置平面 B a´ a" A
C a c c" a" b" X H Y V Z W b 空间平面 特殊位置平面 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面

68 平面对于三投影面的空间位置 投影面垂直面 特殊位置平面 投影面平行面 一般位置平面 正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面
垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面 投影面垂直面 特殊位置平面 正平面 侧平面 水平面 平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面 投影面平行面 与三个投影面都倾斜 一般位置平面 68

69 2.6.2 投影面垂直面 垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。 铅垂面——垂直于H面，同时倾斜于V、W的平面
正垂面——垂直于V面，同时倾斜于H、W的平面 侧垂面——垂直于W面，同时倾斜于H、V的平面

70 铅垂面的投影特性 水平投影积聚为直线，并反映倾角β、γ的实形；正面投影和侧面投影均不反映实形且变小。 V X H W Z O Y X Z O
YH YW β γ β γ

71 正垂面的投影特性 正面投影积聚为直线，并反映倾角α、γ的实形；水平投影和侧面投影均不反映实形且变小。 V X H W Z O Y X Z O
YH YW α γ α γ

72 侧垂面的投影特性 侧面投影积聚为直线，并反映倾角α、β的实形；水平投影和正面投影均不反映实形且变小。 V X H W Z O Y X Z O
YH YW β α β α

73 投影面垂直面的投影特性 1、投影特性 在它垂直的投影面上的投影积聚成一条倾斜直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
其余两个投影为缩小的相似的平面图形。 2、读图 一个平面只要有一个投影积聚为一倾斜线，它必然垂直于积聚投影所在的投影面 73

74 物体上垂直面的投影分析 74

75 2.6.3 投影面平行面 水平面——平行于H面，同时垂直于V、W的平面 正平面——平行于V面，同时垂直于H、W的平面
对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。 水平面——平行于H面，同时垂直于V、W的平面 正平面——平行于V面，同时垂直于H、W的平面 侧平面——平行于W面，同时垂直于H、V的平面

76 水平投影反映实形；正面投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。
水平面的投影特性 水平投影反映实形；正面投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。 V X H W Y Z O X YW Z O YH p' p" p p' p" p P

77 正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。
正平面的投影特性 正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。 V X H W Y Z O X YW Z O YH p p' p" p p' p" P

78 侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。
侧平面的投影特性 侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。 V X H W Z O Y X YW Z YH O p p' p" p p' p" P

79 投影面平行面的投影特性 1、投影特性 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
2、读图 一平面只要有一个投影积聚为一条平行于投影轴的直线，该平面必平行于非积聚投影所在的投影面，且非积聚的投影反映该平面图形的实形。 79

80 物体上平行面的投影分析 投影面平行面的投影特性： 在平面所平行的投影面上，其投影反映实形；其余两个投影积聚成直线且分别平行于相应的投影轴。
80

81 三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。
2.6.4 一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面。 三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。 V X H W Z O Y X Z O YH YW

82 一般位置平面的投影特性 1、投影特点 在三个投影面上的投影为缩小的与原平面形状相似的平面图形。 2、读图
空间一平面的三个投影如果都是平面图形，它必然是一般位置面。 82

83 物体上平面的投影分析 a c s a' c' s' s" (c") a" 为侧垂面 为一般位置平面 为一般位置平面 为水平面 83

84 2.6.5 属于平面上的直线和点 1、属于平面的直线 判断直线在平面内的方法 定 理 一 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。
属于平面上的直线和点 1、属于平面的直线 判断直线在平面内的方法 定 理 一 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 定 理 二 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。 84

85 [例]已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。
根据定理二 根据定理一 解法一 解法二 d d b a b c b c a m n c m a n b a c 有多少解？ 有无数解。 85

86 [例]在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。
有多少解？ m n 唯一解！ 10 n m 86

87 2、属于平面的点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
首先面上取线 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。 [例21]已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。 b ① a c c a k b ● ② ● a b c a b k c d d k ● k ● 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 87

88 [例题] 设在四棱台前侧面BCED上有一点A。已知它的水平投影a，求正面投影a‘。
f' a' f' f a a f 88

89 [例]已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。
解法一 a d a d b c a d a d b c 解法二 b k c c k b 89

90 [例题]判定点K是否在平面ΔABC上？ b' K点不在ΔABC上 e' k' a' c' b e k a c 90

91 [例题]判定点EF是否在平面AB∥CD上？
l′ k′ 不 在 d′ a′ e′ f′ c′ b d l k e a f c 91

92 [例题]试在平面ΔABC上确定一点K，使点K到V、H投影 面的距离均为25mm。
2′ 1′ k′ 25 b′ c′ b 25 c 1 k 2 a 92

93 [例题]五边形ABCDE为平面图形，BC∥H 面，AE∥BC，试完成其正面投影。
f ′ f 93

94 [例题]已知平面四边形ABCD，其中DC为正平线，试完成平面四边形的水平投影投影。
e′ d c e 94

95 本章结束 Thank You !