牙膏开口直径与利润的关系研究 作者姓名：张子潇 学 校：北京市昌平区第一中学 指导教师：刘克光

 一、问题的提出  二、实际调查  三、对使用对象调查  四、对市场牙膏的抽样调查  五、根据整体调查分析  六、其他因素  七、牙膏最适使用量  八、牙膏开口大小之利弊思考

一个故事 美国有一间牙膏公司，产品优良，深受广大消 费者的喜爱，每年营业额蒸蒸日上. 记录显示，前 10 年的营业额持续上涨，然而当 业绩进入第 11 、 12 、 13 年时，却停滞下来，每个 月维持同样的数字. 董事部对此深感不满，便召开高层会议，商讨对 策. 会议中，有名年轻经理站起来，对董事部说： “ 我有个建议，但若您要使用我的建议，必须另付 我 5 万元！ ”

总裁听了很生气，说： “ 我每个月都支付你薪水，另 外还有红包、奖励. 现在叫你来讨论，你还要格外要求 5 万元？ ” “ 总裁先生，请别误会，若我的建议行不通，您可以 将它丢弃，一分钱也不必付.” 年轻的经理解释说. “ 好！ ” 总裁接过那张写着建议的纸，看完以后，马上 签了一张 5 万元支票给那年轻经理. 那张纸上只写了一 句话：将现有的牙膏开口扩大 1mm. 总裁马上下令更换 新的包装. 这个决定，使该公司第 14 年的营业额增加了 32%

 研究目的  研究方法  研究过程  研究结果  研究思考  研究收获

研究牙膏开口直径与利润之间的关系， 并结合实际，通过数学的方法，表达出 牙膏口直径与增加利润的关系，并对相 关问题（例如：牙齿健康）进行简要分 析.

因为牙膏开口直径之所以能影响利润， 是因为随着牙膏口直径的改变，牙膏的使 用量会从而改变，牙膏的消耗量也会有所 改变。人们使用的牙膏量越多，牙膏企业 自然会获得更多的利润，因此，我的研究 主要侧重于改变牙膏口直径对于牙膏使用 体积的影响

牙膏的使用量主要由使用者决定，因此 我对牙膏的使用对象进行了问卷调查，以 了解人们使用牙膏的情况，包括使用牙膏 的品牌及净含量，每天牙膏的使用量，以 及使用完一支牙膏的时间等方面。 而对于牙膏的直径大小研究，我决定对 市场牙膏进行抽样调查，对购买牙膏的开 口直径进行实际测量

关于牙膏使用调查问卷 您好！为了了解人们使用牙膏的状况与相关信息，希望能得 到您的支持与帮助！ 1. 请问你现在使用什么牌子的牙膏？ A. 高露洁 B. 佳洁士 C. 黑人 D. 竹盐 E. 田七 F. 中华 G. 云南白药 H. 黑妹 I. 安利 J. 两面针 K. 纳爱斯 L. 冷酸灵 M. 其他 2. 请问你每天使用牙膏的总长度大约为多少？ A.1cm 左右 B.2cm 左右 C.3cm 左右 D.4cm 左右 E.5cm 左右 F.6cm 左右 G. 其他 3. 请问你所用牙膏的净含量为多少？ A.50g B. 80g C.100g D.120g E.150g F.180g G.200g H. 其他 B.4. 请问你通常多久用完一支牙膏？ A.1 个月内 B.1-2 个月 C.2-3 个月 D.3-5 个月 E.6 个月及以上 5. 请问你使用牙膏的种类是什么？ A. 普通型牙膏 B. 含氟牙膏 C. 中草药牙膏 D. 消炎牙膏 E. 防过敏牙膏 F. 含盐牙膏 G. 其他 6. 请问你使用一支牙膏是否彻底（是否有残留）？ A. 有 B. 无 C. 有，但不多 感谢您的配合！

调查问卷统计结果

我去超市（沃尔玛）购买了 7 支较受欢迎的牙膏，并对其牙膏 开口直径进行了测量，结果如下： 次 数 品 牌 平均 佳洁士 0.80 高露洁 中华 黑人 田七 冷酸灵 竹盐 单位： cm

数据整合 人们使用牙膏平均长度： m 使用牙膏的平均净含量： g 平均时间： 2.05 月 ≈60 天 牙膏开口直径平均值： m 根据两个调查，通过简单计算，我得到了如下数据： 根据这些信息，我可以进一步分析： 根据公式 V 圆柱 =Sh=πr 2 h （因为牙膏口为圆型，那么可以近似的将 挤出的牙膏看作圆柱体） 平均每人每天使用的牙膏体积为：（计算中取 6 位有效数字） （ /2 ） 2 ×π×0.0261= π≈1.36×10 -6 m 3 平均每天的使用克数为： 总克数除以使用天数 ÷ 使用天数 =133.28÷60≈2.22g 那么相当于每天每人使用 1.36×10 -6 m 3 牙膏，等于消耗 2.22g 牙 膏，那么每使用 1 m 3 牙膏，等于消耗 ×10 6 g 牙膏

我们假设在现有牙膏口的基础上，增加 xm 的直径，那么 新牙膏口直径：（ △ x ） m 平均每人每天使用的牙膏体积为 : [ （ △ x ） /2 ] 2× π× = （ △ x 2 / × △ x ） ×π× ≈ × △ x × △ x ≈1.36× ×10 -2 × △ x ×10 -4 △ x m 3 因为之前求得每 1 m 3 牙膏消耗牙膏 ×10 3 g 那么新牙膏口等于消耗： = ×10 3 × （ 1.36× ×10 -2 × △ x ×10 -4 △ x ） = ×10 4 × △ x ×10 2 × △ x （ g ） 数据分析 在原基础上增加消耗： = ×10 4 × △ x ×10 2 × △ x （ g ）

因为无法获知牙膏企业的利润，现设每支牙膏平均利润为 y 元，那 么每克利润 a= 总利润 y÷ 平均克数 ，也即： 元 所以牙膏利润增加： = （ ×10 4 △ x² ×10 2 △ x ） ×y/ 元 因为实际情况下增加的牙膏需要新的包装与成本，根据 2006 年新 浪、搜狐新闻等多方报道，牙膏的成本不到 0.5 元，那么设每支牙 膏成本 0.5 元，即每克成本 元 所以牙膏纯利润增加 Z= （ ×10 4 △ x² ×10 2 △ x ） ×y/ （ ×10 4 △ x² ×10 2 △ x ） ×0.5/ Z= （ ×10 4 △ x² ×10 2 △ x ） ×(y-0.5)/ 元

如假设所有牙膏口直径增加 1mm ，即△ x=0.001m 。那么平均 每人每天消耗牙膏为 g ，即多出了 g ，几乎增加 了原消耗量的 1/4 。根据我调查到的市场牙膏价格，多数牙膏一 般在 10 元左右，那么假设一支牙膏 10 元， 120g ，那么每增加 1mm ，消耗量增加 1/4, 即为 30g ，假设牙膏价格即为纯利润，每 克利润等于牙膏价格除以牙膏质量，那么相当于创造利润： 30× （ 10/120 ） =2.5 元！每一个人多消耗 30g 牙膏，即多花费 2.5 元。 那么按照中国 2010 年第六次人口普查结果， 13.7 亿人，除去不使 用牙膏的人（偏远地区等，假设为 7 千万），整个牙膏业将获得 纯利润 32.5 亿元！ 因此，我得出牙膏开口直径与利润的关系式为： Z= （ ×10 4 △ x² ×10 2 △ x ） ×(y-0.5)/ 元 为了使牙膏开口直径对利润的影响更加明显，我进行如 下的情景假设：

实际研究中的影响因素 1. 调查中存在的误差 我们之前假设每支牙膏的价格即为它的纯利润，当然 这在现实中是不可能的，根据新浪、搜狐新闻等多方报 道，牙膏的成本不到 0.5 元，微乎其微，但包括研发费 （例如高露洁全效牙膏推出高露洁用十年时间，花费 3800 万美元）、广告费（高露洁全效牙膏广告费投入 1.2 亿）、存储费，多次商品中转于是加价多次的中间费， 以及其他可能存在的因素不可忽略，不可否认，牙膏的 纯利润并没有想象中高，但它依旧可称得上是暴利行业 之一了. 因为受人力，物力等条件的限制，本次研究的实际 调查会与实际情况有所不同，调查数据也会有所差别. 2. 牙膏利润的不确定

实际研究中遇到的问题 在研究初期，关于牙膏使用量的确定遇到些许 障碍。原本希望可以通过牙膏企业的销量，直接得 到牙膏的使用体积，然而在实践中发现，第一，因 为能力有限，缺少获取这种信息的渠道。第二，对 于牙膏企业来说，销量并不一定能够准确统计，因 为生产量不等于销量。因此最后，我通过牙膏的使 用对象，来确定牙膏的使用量，从而得到销量 牙膏使用量的确定

不难看出，牙膏开口的改变确实可以给企业带来丰厚 的利润，但是，这对于广大消费者来说却并没有什么好处， 相反，如果使用牙膏过多，其中的摩擦剂和氟对于我们身 体还会有所损害。 通过调查相关资料了解到，每次刷牙只要方法正确， 只需要比黄豆大一点 的量的牙膏即可。如 果觉得不习惯，也可 以牙刷头上横向挤满 牙膏即可。

开口越大，浪费量往往就越大，也就是说我们一使用牙膏 就在被动地浪费，这不仅是对我们经济的浪费，还包括对资源 的浪费，以及对环境的破坏，以及对我们人体自身的损害。要 知道，扩大牙膏口意味着增加使用量，销售量，当然还有生产 量。除了化学原材料，牙膏生产中还需要牙膏皮包装，纸包装 （树木），大量的水资源（用于生产），可想大量生产牙膏对 于资源浪费和环境的破坏是有多大影响。而企业所生产的牙膏 中，又有多少是被无端浪费掉的？被冲入下水道的？在中国的 牙膏历史上，一开始牙膏的开口只有 3 毫米到 4 毫米左右，然而 现在却已经增加到 8 毫米，人们以前常用 “ 挤牙膏 ” 形容做事困难， 而现在随便一挤就不知道浪费多少了. 还有一方面，市场中的儿童牙膏与成人牙膏相比，体积虽 然相差比较明显，但其开口直径却和成人牙膏口径（ 8 毫米） 相差无几！试问儿童怎么可能需要如此大口径的牙膏刷牙？对 于儿童来说，过量的使用牙膏对他们的身体造成的伤害更不可 忽视！ 我想，调整牙膏口径势在必行. 如此巨大的浪费还不该及 时制止吗 ? 长此以往，对资源的浪费，环境的破坏，人身的 伤害都不容小视，如此贪图一时利益的做法，更与可持续发 展观相违背，所以，不论是企业自觉改革，缩小牙膏口直径， 亦或是政府出台政策，明令要求，都已然是刻不容缓的了。

其实，又何止是扩大牙膏口径，如今社会的浪费现象不 可胜数，一些普通的商品（如粽子，月饼）却使用华丽的大 包装，不知浪费了多少纸包装，这种华而不实的做法不也是 浪费？一些饭店使用大的玻璃杯，这样假如原本可以倒 4 中 杯的饮料（如大可乐，大雪碧等），现在只能倒 2 杯，而和 客人吃饭，如果少倒些，按照中国人的传统思想而言就是不 太尊重人，又不能算了，只能再买一瓶，又导致浪费. 那么我 觉得，浪费的现象层出不穷，政府明令要求固不可少，但最 重要的，还是在于我们每一个人，是否能养成节约意识，是 否能不只顾眼前利益和个人得失，我想，一个民族的真正强 大，恰恰在于每一个人能不计个人得失，而以整个民族之得 失为首位，正所谓 “ 先天下之忧而忧，后天下之乐而乐 ”.

在这次研究中，我通过对牙膏开口直径与利润 的关系研究，不单单得到了其之间的关系，更使我 基本的数学知识能够学以致用，对于提出的实际问 题与得到的数据，能够用数学的方法具体分析，提 高了我的思维能力，包括思考问题的方法，以及发 散思维，并提高了自己查找准确资料的能力，更加 熟练的运用网络资源。 在这次完成论文的过程中，我不仅得以开阔了 眼界，增强自己的课外实践能力，更在生活中拓宽 了自己的知识领域，提高了思维能力和解决问题的 能力。