第三章 地下水向完整井的稳定运动 肖 长 来 工 203 吉林大学环境与资源学院

3.6.1 井流的表达式 在以前各节的井流计算中，都假定抽水前的地下 水面是水平的。 但在自然界中，绝对水平的地下水面是很少的。 当水面坡度不大时，可以近视地当做水平面来处 理。 如果地下水面有一定坡度，则要考虑地下水流对 井流的影响。 这里只介绍一种最简单的情况，即承压地下水流 为均匀流时 ( 水力坡度和渗透系数均为常数 ) ，一 口抽水井的情况。 §3.6 均匀流中的井

在一均质各向同性的承压含水层中，含水层厚度 M 是 常数。有一口井位于坐标原点，以定流量抽水。均匀 流的方向为 -x ，渗透速度为 v 0 。 根据前面介绍的叠加原理，这一问题可分解为两个子 问题：一是假设不存在抽水井的承压均匀流，水力坡 度为常数，如取原点处的水头作为基准面 ( 即原点处 的水头为零 ) ，则任一点 (x, y) 处的水头为 H 1 ，则有： 或

二是假设初始承压水面为水平时，存在一半径为 r w 的抽水井 H 2 ，按 Dupuit 公式有： 因取位于原点处抽水井的水位为基准面，故有 h w ＝ 0 ，上式 变为： 将 H 1 和 H 2 叠加，即得原问题的解： （ 3-69 ） 这就是均匀流中的承压水井公式。

3.6.2 井流方程的用途 根据该式可绘出流网，如图 3-16 所示。流网中有一条 分水线和一个驻点 ( 停滞点 ) 。

3.6.2 井流方程的用途 在分水线以内，地下水流向井中；在分水线以外，水 向下游流走，而不进入井中。显然，抽水井的稳定流 量应等于分水线以内的天然流量。因此，当 x 增大时， 分水线以水平线 为渐近线 ( 图 3-16) 。所谓驻点，且水流速度 的点。按 (3-69) 式，在驻点 s(x s, y s ) 处有： 由此得驻点的坐标为：

均匀流中注水井的流网如图 3-17 所示。 这时，天然流速 的方向和 x 轴方向一致。 同样也有分水线和驻点。图中的阴影部分表示注水影响 的面积，即注水取代了原来的天然水流。

§3.7 井损与有效井径的确定方法 井损的产生及总降深的构成 在抽水井中测得的降深是多种原因造成的水头损失的叠加。 用前面各节中公式计算的降深，仅仅代表地下水在含水层中 向水井流动时所产生的水头损失。这部分水头损失 s w 有时称 为含水层损失。 前边提到的井损  h 0 这部分水头损失通常包括三部分： ① 水流通过过滤器时所产生的水头损失； ② 水流穿过过滤器时，由接近水平的运动变为滤水管内的垂 向运动，因水流方向偏转所产生的水头损失；水流在滤水管 内向上运动时，不断有水流入井内，因流量和流速不断增加 所引起的水头损失； ③水流在井管内向上运动至水泵吸水口的沿程水头损失。

C. E. Jacob 认为，井损值和抽水井流量 Q 的二次方 成正比，即  h ＝ CQ 2 ， C 称为井损常数。 因此，总降深 s w, t 可表示为： s w, t ＝ s w 十 CQ 2 ＝ BQ 十 CQ 2 (3-71) 其中， B 为系数。 稳定流时按 Dupuit 公式有 ln(R/r w )/2  T ； 非稳定流时，记为 B(r w,r) ，是时间的函数。

M ． I ． Rorabangh 认为，在井附 近和并内可能出现紊流，井损 常数和 Q n 成正比， n 可能不等于 2 。 于是 (3-71) 式可表示为更一般的 形式： s w, t ＝ BQ 十 CQ n (3-72) 稳定流时，井内的总降探和井 损值随抽水井流量的变化的曲 线，见图 3-18 。 图 3-18 当 B 为常数时 总降深和井损随流 量的变化，井损随 流量的变化

迄今为止．我们都假定井半径 r w 的大小对抽水井 的降深影响不大，这主要是指 B 值。 对 C 值是有相当影响的。因为水在井内的流速同 井管截面积大小有关，而截面又和井半径的平方 成正比，所以井半径对井损有较大的影响。 从图 3-18 中可以看出，当流量较小时，井损很小， 实际上可以忽略。但当大流量抽水时，井损在总 降深中就占有相当大的比例。

井损值和有效半径，可用如下两种抽水试验资料确定。 （ 1 ）多次降深的稳定流抽水试验。要有三次以上的 降深和观测孔资料，将（ 3-71 ）式改写为： 由此可知，如以 s w,t /Q 为纵坐标， Q 为横坐标，将三次 以上稳定降深的抽水资料点绘在方格纸上，可绘出最 佳的拟合直线。直线的斜率为 C ，直线在纵坐标上的 截距为 B 。于是可求得井损： (3-73) 井损值和有效半径的确定方法

再将根据观测孔资料求得的参数 T 和 R 代入下式中，便可以 算出有效半径 r w 。 (3-74) 当大流量抽水， n≠2 时．将 (3-72) 式改写为： (3-75) 上式包含三个待定常数 B 、 C 和 n 。因而要用试算法。取一 张双对数纸，假设一个 B 值，以 为纵坐标，以 Q 为横坐标 做图。不断改变 B 值，直到各点在图上能连成一直线时为止。 这时的 B 值即为要求的 B 值，直线在纵轴上的截距为 C ，斜 率为 n-1 。求出 B 、 C 和 n 以后，按 (3-73) 和 (3-74) 式就可以求 得井损和有效半径。

(2) 阶梯降深抽水试验。它同多次降深稳定抽水试验不同之处 在于： ①流量呈阶梯状增加，每一阶段流量为常数，二阶梯之间没 有水位恢复阶段，如图 3-19 所示； ②每一阶段抽水不一定达到稳定状态，故此多次降深稳定抽 水试验节省时间。但也要有观测孔资料用来求参数。 应用叠加原理，在第 j 阶梯的某一时刻 t 的总降深可写成： (3-76) 式中， 为某一时刻 t 的总降深， t 为从抽水开始算起的时间； Q j 为 j 阶梯的流量； t i 为 i 阶梯抽水开始的时间，以第一阶段抽 水开始时为零，即 t 1 ＝ 0 ； Q i 为 i 阶梯的流量， i<j ； B(r w,t-t i ) 为 同时间有关的系数。

如取一固定的时间段 t * =t-t i ，并以 表示 i 阶梯抽水 t * 时间 以后，由于流量的增加造成的降深增量 ( 图 3-19a) ，则按 (3- 76) 式，且因 Q 0 ＝ 0 ，有： 而 应为实际的 和假设不存在第三个流量阶梯时， 由流量 Q t 一直抽水到 t 时刻的假想降深 之差。按 (3-76) 式 有： 于是 同理可求得：

由此得三个阶梯的降深增量之和 : 结果说明，三次降深增量相加的结果，恰好等于一开始就用定 流量 Q 3 抽水抽 t* 时间后应得的降深值。予以推广，可得： (3-77) 图 3-19 阶梯降深试验曲线 ( 据 Bear)

根据 (3-77) 式，可按下列步骤确定井损和有效井半径： (1) 取固定的时间 t* ，一般为 1~2h 。然后在图 3-19a 的降深 — 时 间曲线上量取相应时间段的降深增量 。 (2) 按 (3-77) 式计算出和每一流量阶梯相应的降深 ， 如, 等， 同时求出每一阶梯的单位降深： (3) 在方格纸上，以 /Q j 为纵坐标，以 Q j 为横坐标做 图，求出最佳配合直线 ( 图 3-19b) 。由直线在纵轴上的截距求得 B ，由直线的斜率求得 C 。将 C 、 B 代入 (3-73) 和（ 3-74 ）式，便 可计算出井损和有效井半径。

某地抽水试验水位及流量历史曲线图

1 ．怎样利用登加原理求得 (3-76) 式 ? 2 ．为什么根据 (3-75) 式在双对数纸上做图，截距 为 C ，斜率为 n-1 ？ 3 ．为什么根据阶梯降深试验求井损要做如此复杂 的处理 ? 用稳定流的处理方法求井损行吗 ? 为什么 ? 思考题