4.2 幂级数 幂级数的敛散性 幂级数的收敛 半径的求法 幂级数的和函数 的解析性 例题 小结

1 幂级数的定义： 形式的复函数项级数称为幂级数, 其中 c 0,c 1, c 2,…,a 都是复常数. 幂级数是最简单的解析函数项级数, 为了搞清 楚它的敛散性, 先建立以下的阿贝尔 (Abel) 定理 幂级数的敛散性 具有 若令 z←z-a, 则以上幂级数还可以写成如下形式

定理 4.10 ：如果幂级数 (4.3) 在某点 z 1 (≠a) 收敛, 则它必在圆 K:|z-a|<|z 1 -z|( 即以 a 为圆心 圆周通过 z 1 的圆 ) 内绝对收敛且内闭一致收敛. 证 : 设 z 是所述圆内任意点. 因为 (n=0,1,2,…), 注意到 |z-a|<|z 1 -a|, 故级数 a 收敛, 它的各项必然有界, 即有正数 M, 使 收敛

其次, 对 K 内任一闭圆 在圆  K  上有收敛的优级数 因而它在  K  上一致收敛. 再由定理 4.8, 此级数 必在圆 K 内内闭一致收敛. 在圆 K 内绝对收敛. 上的一切点来说, 有 : a

推论 4.11 若幂级数 (4.3) 在某点 z 2 (≠a) 发散, 则它在以 a 为圆心并且通过点 z 2 的圆周 外部发散. a z1z1 z2z2

其敛散性有以下三种情况 : (1) 对所有的复数 z 都收敛. 由阿贝尔定理知 : 级数在复平面内处处绝对收敛. 2. 幂级数的敛散性讨论 对于一个幂级数, 首先它在 z=a 点处总是收敛的， 例如, 级数 对任意固定的 z, 从某个 n 开始, 总有 于是有故该级数对任意的 z 均收敛.

(2) 除 z=a 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. 例如, 级数 通项不趋于零, 故级数发散. (3) 存在一点 z 1 ≠a, 使级数收敛 ( 此时, 根据定理 4.10 的第一部分知, 它必在圆周 |z-a|=|z 1 -a| 内部绝对 收敛 ), 另外又存在一点 z 2, 使

发散.( 肯定 |z 2 -a|≥|z 1 -a|); 根据推论 4.11 知, 它必在 圆周 |z-a|=|z 2 -a| 外部发散.) 在这种情况下, 可以证明, 存在一个有限正数 R, 使得级数 (4.3) 在圆周 |z-a|=R 内部绝对收敛, 在 圆周 |z-a|=R 外部发散.R 称为此幂级数的收敛半 径 ; 圆 |z-a|<R 和圆周 |z-a|=R 分别称为它的收敛 圆和收敛圆周. 在第一情形约定 R=0; 在第二情 形, 约定 R=+∞, 并也称它们为收敛半径.

.. 收敛圆 收敛半径 幂级数 的收敛范围是以 a 点为中心的圆域. 收敛圆周

答案 : 幂级数 的收敛范围是何区域 ? 问题 1: 在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出一 般的结论, 要对具体级数进行具体分析. 注意 问题 2: 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何 ?

例如, 级数 : 收敛圆周上无收敛点 ; 在收敛圆周上处处收敛.

一个幂级数在其圆周上的敛散性有如下三种 可能 : (1) 处处发散 ; (2) 既有收敛点, 又有发散点 ; (3) 处处收敛. 定理 4.12 如果幂级数 (4.3) 的系数 c n 合于 或 或 幂级数的收敛半径的求法

则幂级数 的收敛半径为 : R=R= 1/l (l≠0,l≠+∞); 0 (l=+∞); +∞ (l=0). (4.4) 定理 4.13 (1) 幂级数 (4.5) 的和函数 f(z) 在其收敛圆 K:|z-a|<R(0<R≤+∞) 内解析 幂级数的和函数的解析性

(2) 在 K 内, 幂级数 (4.5) 可以逐项求导至任意阶, 即： (p=1,2,…) (4.6) (3) (p=0,1,2,…). (4.7) 证 由阿贝尔定理 ( 定理 4.10), 幂级数

在其收敛圆 K:|z-a|<R(0<R≤+∞) 内闭一致收 敛于 f(z), 而且各项 又都在 z 平 面上解析. 故由维尔斯特拉斯定理 ( 定理 4.9), 本定 理的 (1) 、 (2) 部分得证, 逐项求 p 阶导数 (p=1,2,…) 后, 即得 (4.6). 在 (4.6) 中令 z=a, 得 注意到 即得 (4.7).

4.2.4 、典型例题 例 1 求幂级数 的收敛范围与和函数. 解 级数的部分和为

级数 收敛, 级数 发散. 且有 收敛范围为一单位圆域 由阿贝尔定理知 : 在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为 1,

例2例2 求下列幂级数的收敛半径 : (1) ( 并讨论在收敛圆周上的情形 ) (2) ( 并讨论时的情形 ) 或 解 (1) 因为

所以收敛半径 即原级数在圆 内收敛, 在圆外发散, 收敛的 级数 所以原级数在收敛圆上是处处收敛的. 在圆周 上,上, 级数

说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点. 原级数成为 交错级数, 收敛. 发散. 原级数成为 调和级数， (2)

故收敛半径 例3例3 求幂级数 的收敛半径 : 解

解 所以 例4例4 求 的收敛半径.

例5例5 把函数 表成形如的幂 级数, 其中是不相等的复常数. 解 把函数 写成如下的形式 : 代数变形, 使其分母中出现 凑出

级数收敛, 且其和为

例 6 求级数的收敛半径与和函数. 解 利用逐项积分, 得 : 所以

例 7 求级数的收敛半径与和函数. 解

例 8 计算 解

五、小结与思考 这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定 理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级 数的运算性质.

思考题 幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定 ?

由于在收敛圆周上 确定, 可以依复数项级 数敛散性讨论. 思考题答案 放映结束，按 Esc 退出.

阿贝尔资料 Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), Norway Died: 6 April 1829 in Froland, Norway Niels Abel

非凡的数学家 —— 阿贝尔 阿贝尔（ Abel,Niels Henrik, ）挪威数 学 家。 1802 年 8 月 5 日生于芬岛， 1829 年 4 月 6 日卒 于 弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆）教 区穷牧师的六个孩子之一。尽管家里很贫困，父 亲还是在 1815 年把阿贝尔送进克里斯蒂安尼亚的 一所中学里读书， 15 岁时优秀的数学教师洪堡 （ Bernt Michael Holmbo ）发现了阿 贝尔的数学天才，对他给予指导。使阿贝尔对数 学产生了浓厚的兴趣。 16 岁时阿贝尔写了一篇解 方程的论文。丹麦数学家戴根（ Carl Ferdinand Degen ）看过这篇论文后，为阿贝尔 的

数学才华而惊叹，当时数学界正兴起对椭圆积分的 研究，于是他给阿贝尔回信写到： “... 与其着手解决 被认为非常难解的方程问题，不如把精力和时间投 入到对解析学和力学的研究上。例如，椭圆积分就 是很好的题目，相信你会取得成功...” 。于是阿贝尔 开始转向对椭圆函数的研究。 阿贝尔 18 岁时，父亲去世了，这使生活变得更 加贫困。 1821 年在洪堡老师的帮助下，阿贝尔进入 克 里斯蒂安尼亚大学。 1823 年，他发表了第一篇论文， 是关于用积分方程求解古老的 “ 等时线 ” 问题的。 这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程 的先河。 1824 年，他解决了用根式求解五次方程的 不 可能性问题。这一论文也寄给了格丁根的高斯，但 是高斯连信都未开封。

1825 年，他去柏林，结识了业余数学爱好者克莱尔 （ Auguste Leopold Crelle ）。他与斯 坦纳 建议克莱尔创办了著名数学刊物《纯粹与应用数学 杂志》。这个杂志头三卷发表了阿贝尔 22 篇包括方 程论、无穷级数、椭圆函数论等方面的论文。 1826 年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒 让德、狄利赫莱和其他人，但这些会面也是虚应故 事，人们并没有真正认识到他的天才。阿贝尔又太 腼腆，不好意思在陌生人面前谈论他的理论。虽然 没有像克莱尔那样的热心人，但他仍然坚持数学的 研究工作。撰写了 “ 关于一类极广泛的超越函数的一 般性质 ” 的论文，提交给巴黎科学院。阿贝尔在给洪 堡的信中，非常自信地说： “... 已确定在下个月的科 学院例会上宣读我的论文, 由柯西审阅, 恐怕还没有来

得及过目。不过，我认为这是一件非常有价值的工 作，我很想能尽快听到科学院权威人士的意见，现 在正昂首以待... 。 ” 可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉 里，一放了之。（这篇论文原稿于 1952 年在佛罗伦 萨重新发现）阿贝尔等到年末，了无音信。一气之 下离开了巴黎，在柏林作短暂停留之后于 1827 年 5 月 20 日回到了挪威。由于过渡疲劳和营养不良，在 旅途上感染了肺结核。这在当时是不治之症。当阿 贝尔去弗鲁兰与女朋友肯普（ Christine Kemp ）欢 度圣诞节时，身体非常虚弱，但他一边与病魔作斗 争一边继续进行数学研究。 他原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的 这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度

当过代课教师。阿贝尔和雅可比（ Carl Gustav Jacobi ）是公认的椭圆函数论的创始 人。这是作为椭圆积分的反函数而为他所发现 的。这一理论很快就成为十九世纪分析中的重要 领域之一，他对数论、数学物理以及代数几何有 许多应用。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、 双周期性。此外，在交换群、二项级数的严格理 论、级数求和等方面都有巨大的贡献。这些工作 使他成为分析学严格化的推动者。在这个时候， 阿贝尔的名声随着克莱尔杂志的广泛发行而传遍 了欧洲的所有数学中心。雅可比看见这篇椭圆函 数的论文，而且知道了巴黎科学院所作的蠢事之 后，非常吃惊，在 1829 年 3 月 14 日写信给巴黎科学

院表示抗议： “... 这在我们生活的这个世纪中，恐 怕是数学中最重要的发现，虽然向 ‘ 老爷们 ’ 的研 究院提交此论文达两年之久，但一直没有得到诸 位先生的注意，这是为什么呢？...” 。而由于阿贝 尔身处孤陋寡闻之地，对于这一切一无所知。阿 贝尔的病情不断发展，甚至连医生也束手无策了 1829 年 4 月 5 日夜间，阿贝尔的病情急剧恶 化，于 4 月 6 日上午 11 点去世。作为命运捉弄人的 是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔 “... 我国教育部决定招聘您为柏林大学教授... ，一个 月之内就能发出招聘书... 。 ” 这封信还提到，希望 阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用 支出。他的亲人们听到这一消息，禁不住泪流满 面。