第七讲 : §2.6 － 2.8 分析、代数与几何 分析的严密化 代数学的新生 几何学的变革

分析的严密化  分析：关于函数的无穷小分析  问题：第二次数学危机  核心：函数、无穷小  贡献：柯西 ( 法, ) 魏尔斯特拉斯 ( 德, )

分析的严密化 －－函数 初等函数 解析函数 1837 年狄里克雷 ( 德, )

1817 年波尔查诺 ( 捷, ) 定义了导数、连续 1821 年柯西 ( 法, ) 《代数分析教程》定义了极限、 连续、导数 分析的严密化 －－算术化 1854 年黎曼 ( 德, ) 定义了有界函数的积分 1870 年海涅 ( 德, ) 定义了一致连续 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯 ( 德, ) 提出 ε-δ 语言 1875 年达布 ( 法, ) 提出了大和、小和

1817 年波尔查诺 ( 捷, ) 提出确界原理 1817 年波尔查诺和 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯 ( 德, ) 提出聚点定理 1821 年柯西 ( 法, ) 提出收敛准则 19 世纪 60 年代魏尔斯特拉斯提出单调有界原理 1872 年海涅 ( 德, ) 和 1895 年波莱尔 ( 法, ) 提出有限覆盖定理 分析的严密化 －－实数理论 1872 年戴德金 ( 德, ) 提出分割理论 1892 年巴赫曼 ( 德, ) 提出区间套原理

分析的严密化 波尔查诺 ( 捷克斯洛伐克， 1981 ）

波尔查诺 狄里克雷 海涅 达布 黎曼 巴赫曼 戴德金波莱尔 分析的严密化

1874 年起康托 ( 德, ) 一系列论文建立 康托三等分集 分析的严密化 －－集合论 希尔伯特：数学思想的最惊人的产物， 在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的 表现之一。 朱利亚集 我看到了它，但我简直不能相信它。

代数  突破传统 方程与根 行列式与矩阵 数系扩张 数论

1799 年高斯 ( 德, ) 代数基本定理 代数 －－代数方程 高斯和格廷根 ( 尼加拉瓜， 1994)

1770 年拉格朗日 ( 法, ) 的预解式 代数 －－代数方程根式解 1813 年鲁菲尼 ( 意, ) 定理 1824 年阿贝尔 ( 挪, ) 定理  1829 年伽罗瓦 ( 法, ) 理论

1750 年克莱姆 ( 瑞, ) 法则 1772 年范德蒙 ( 法, ) 、拉普拉斯 ( 法, ) 行列式展开定理 1815 年柯西 ( 法, ) 行列式乘法定理 1841 年凯莱 ( 英, ) 行列式记号、 1841 年雅可比 ( 德, ) 行列式 1852 年西尔维斯特 ( 英, ) 惯性定理 1854 年和 1878 年埃尔米特 ( 法, ) 和弗罗贝尼斯 ( 德, ) 使用和定义了正交矩阵 1858 年凯莱证明了凯莱 - 哈密顿 ( 爱尔兰, ) 定理 1870 年若尔当 ( 法, ) 建立了若尔当标准形 1879 年弗罗贝尼斯 ( 德, ) 引入矩阵的秩 代数 －－行列式与矩阵

柯西克莱姆 拉普拉斯 凯莱 雅可比 西尔维斯特 埃尔米特 代数 －－行列式与矩阵

 1837 年哈密顿 ( 爱尔兰, ) 表示复数为有序实数对  1843 年哈密顿 ( 爱尔兰, ) 定义了四元数  1844 年格拉斯曼 ( 德, ) 引进了 n 个分量的超复数  1847 年凯莱 ( 英, ) 定义了八元数 代数 －－数系扩张

18 世纪 1736 年欧拉 ( 瑞, ) 证明了费 尔马小定理 1742 年哥德巴赫 ( 德, ) 猜想 1770 年华林 ( 英, ) 定理 1783 年欧拉发现二次 互反律 代数 －－数论 19 世纪 1801 年高斯 ( 德, ) 出版 《算术研究》 年库默尔 ( 德, ) 提出理想数 1871 年戴德金 ( 德, ) 创 立代数数 1897 年希尔伯特 ( 德, )“ 代数数域理论 ”

1737 年欧拉 ( 瑞, ) 恒等式 ζ(s) = = 代数 －－解析数论 {a+nb} 1837 年狄里克雷 ( 德, ) 解决素数问题 1859 年黎曼 ( 德, ) 的 π(x) 与 ζ(s) 1896 年阿达玛 ( 法, ) 等证明了素数定理 π(x)~x/lnx

华林 代数 －－数论 库默尔 戴德金 希尔伯特 狄里克雷 阿达玛 黎曼

高斯和正十七边形 ( 民主德国, 1977) 代数 －－邮票

阿贝尔的塑像 ( 挪威, 1983) 代数 －－邮票 维格兰 1908 年 雕塑的阿贝尔塑 像

伽罗瓦 ( 法国, 1984) 代数 －－邮票

哈密顿的四元数 ( 爱尔兰, 1983) 代数 －－邮票

戴德金 ( 民主德国, 1981) 代数 －－邮票

几何  现实空间与思维空间 射影几何 非欧几何 统一的几何

几何 －－射影几何 1799 年蒙日 ( 法, ) 的《画法几何学》 蒙日 ( 法国, 1953) 1803 年卡尔诺 ( 法, ) 的《位置几何学》 卡尔诺 ( 法国, 1950) 1799 年蒙日 ( 法, ) 的《画法几何学》

综合方法 几何 －－射影几何 1822 年庞斯列 ( 法, ) 的《论图 形的射影性质》

代数方法 几何 －－射影几何 麦比乌斯 ( 德, ) 1827 年麦比乌斯 ( 德, ) 的 《重心计算》 1829 年普吕克 ( 德, ) 的三线坐标 普吕克 ( 德, )

平行公理的研究 ( 公元前 3 世纪至 1800 年 ) A+B+C=2 π 几何 －－欧氏几何 欧几里得 普莱费尔 ( 苏格兰, ) 勒让德 ( 法, )

1826 年罗巴切夫斯基 ( 俄, ) π(α)π(α) 几何 －－非欧几何 1816 年高斯 ( 德, ) 1832 年鲍耶 ( 匈, ) 几何学上的哥白尼

几何 －－非欧几何 罗巴切夫斯基 ( 苏联, 1951)

几何 －－非欧几何 高斯 ( 联邦德国, 1955)

几何 －－非欧几何 鲍耶 ( 罗马尼亚, 1960)

1854 年黎曼 ( 德, ) 几何 几何 －－非欧几何

模型与相容性 几何 －－非欧几何 1866 年贝尔特拉米 ( 意, ) 1871 克莱因 ( 德, ) 1882 年庞加莱 ( 法, )

伪球面 曳物线 克莱因 - 庞加莱圆 几何 －－非欧几何的模型

1872 年克莱因 ( 德, ) 的《爱尔朗根纲领》 射影几何 仿射几何 欧几里得几何其它仿射几何 单重椭圆几何二重椭圆几何双曲几何 几何 －－统一的几何学