概率论与数理统计 张剑 Q 概率论与数理统计 张剑 Q 2 :

概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的数学分支学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考 察的问题作出推断或预测，直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议的数学分 支学科. 概率论是数理统计学的基础，数理统计学 是概率论的一种应用. 它们是两个并列的数 学分支学科，并无从属关系.

对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论； 16 世纪意大利学者开始研究掷骰子等 赌博中的一些问题； 17 世纪中叶，法国数 学家帕斯卡、费马，荷兰数学家惠更斯基 于排列组合的方法，研究了 “ 分赌注 ” 问题. 使概率论成为数学的一个分支的真正奠基 人是瑞士数学家 J. 伯努利；而概率论的飞 速奠发展则在 17 世纪微积分学说建立以后.

概率论 概率论 第 1 章 随机事件及其概率 第 2 章 一维随机变量及其分布 第 3 章 多维随机变量及其分布 第 4 章 随机变量的数字特征 第 5 章 大数定律和中心极限定理 数理统计 第 6 章 数理统计基本知识 第 7 章 参数估计 第 8 章 假设检验 4

§1.1 随机事件

一、必然现象与随机现象 1 、必然现象 在一定条件下肯定会发生的现象 水 100ºC 沸腾 2 、偶然现象或随机现象 买一张彩票，是否中奖？

二、随机试验与随机事件 随机试验是对随机现象进行试验或观察 1 、相同的条件下可以重复进行 2 、每次试验有多种可能的结果，而且在试验 之前即可明确有几种可能。 3 、每次试验不能预知哪一结果会发生。 随机试验的每个结果称为随机事件，简称事件。 一般用大写英文字母 A 、 B 、 C 等表示。

例如在 0 、 1 、 2 、 … 、 9 中任取一数。 A 表示取到 0 ， B 表示取到 5 ， C 表示取到奇数， D 表示取到 3 的倍数。 它们都是随机事件。 不能分解为其它事件的事件称为基本事件。如 A,B 能分解为其它事件的事件称为复合事件。如 C,D

每次试验一定发生的事件称为必然事件。 如点数大于 0 一般用 Ω 表示必然事件。 每次试验一定不发生的事件称为不可能事件。 如点数大于 9 一般用 φ 表示不可能事件 它们是随机事件的特例。 通常用点集来表示事件。

基本事件用只包含一个元素 ω 的单点集 {ω} 表示。 复合事件用包含若干个元素的集合表示。 例如掷一颗骰子， A 表示点数为 4 ，即为单点集 {4} B 表示点数为偶数，即为点集 {2,4,6} 点数为正数，是必然事件，即为全集 {1,2,3,4,5,6} 点数为负数，是不可能事件，即为空集 φ 所有基本事件对应的元素组成的集合称为样本空间 每个基本事件对应的元素称为一个样本点。

三、事件间的关系及运算 1 、事件的包含 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，即属于 A 的 每个样本点也属于 B, 则称事件 B 包含事件 A 。 等价的说法是： B 不发生，则 A 也不发生。 对任何事件 A, 有 φ A Ω A 用图形表示，即 B

2 、事件的相等 若 A 包含 B 且 B 包含 A ，称事件 A 与 B 相等。 即 A 与 B 中的样本点完全相同。 记作 A=B 掷一颗骰子 A 表示点数小于 3 ， B 表示点数为 1 或 2 则 A=B 3 、事件的并（和） 两个事件 A ， B 中至少有一个发生，即 “A 或 B” ， 是一个事件，称为 A 与 B 的并（和）。

它是由 A 与 B 的所有样本点构成的集合。 记作 A+B 或 A ∪ B 掷骰子之例中，若 A={1,2,3},B={1,3,5} 则 A ∪ B={1,2,3,5} 集合的运算规律对事件也成立，如 A ∪ B=B ∪ A,(A ∪ B) ∪ C=A ∪ (B ∪ C) A ∪ B A,A ∪ B B A ∪ Φ=A,A ∪ Ω=Ω

n 个事件 A 1,…,A n 中至少有一个发生，是一个事件。 称为事件 A 1,…,A n 的和。 记作 A 1 +…+A n 或 A 1 ∪ … ∪ A n 可列个事件 A 1,A 2,…,A n,… 中至少有一个发生 称为事件 A 1,A 2,…,A n,… 的和 若 A={1,2,3},B={1,3,5},C={1,3,4} 则 A+B+C={1,2,3,4,5} 用图形表示，即 AB

4 、事件的交（积） 两个事件 A 与 B 都发生，即 “A 且 B”, 是一个事件。 称为事件 A 与 B 的交（积）。 它是由 A 与 B 的公共样本点构成的集合。 记作 AB 或 A∩B 如 A={1,2,3},B={1,3,5} 则 AB={1,3} 它也有运算律： A∩B=B∩A (A∩B)∩C=A∩(B∩C) A∩B A A∩B B A∩Φ = Φ A∩Ω = A

也可定义多个事件的交。 交与并运算还满足分配律： (A ∪ B)∩C=(A∩C) ∪ (B∩C) (A∩B) ∪ C=(A ∪ C)∩(B ∪ C) 用图形表示，即 B A

5 、事件的差 事件 A 发生而事件 B 不发生，是一个事件， 称为事件 A 与 B 的差。 它由属于 A 但不属于 B 的所有样本点组成。 记作 A-B 如： A={1,2,3},B={1,3,5} 则 A-B={2},B-A={5} A 用图形表示即 B

6 、互不相容事件 若 A 与 B 不能同时发生，即 AB=φ 称事件 A 与 B 互不相容或互斥。 互斥事件没有公共的样本点。 基本事件间是互不相容的。 如 A={1,2,3},B={1,3,5},C={4,5} A 与 C 是互不相容的。 A 与 B 是相容的。 用图形表示 即 AC

7 、对立事件 事件 “ 非 A”, 即 A 不发生，称为 A 的对立事件。 也称为 A 的逆事件。 它是由样本空间中所有不属于 A 的样本点组成。 记作 Ā 如 A={1,2,3},Ā={4,5,6} 易见 A Ā=φ,A+Ā=Ω Ā=Ω-A A 用图形表示 Ω Ā

8 、完备事件组 若事件 A 1,…,A n 两两互不相容， 并且 A 1 +…+A n ＝ Ω 称 A 1,…,A n 构成一个完备事件组。 A 与 Ā 构成一个完备事件组。 若 Ω ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} 则 A 1 ={1,2,3},A 2 ={4,6},A 3 ={5} 是一个完备事件组。 A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 Ω

例 1 从一批产品中每次取出一个产品进行 检验，事件 A i 表示第 i 次取到合格 (i=1,2,3) 用事件的运算表示下列事件： 三次都取到合格品， 三次中至少有一次取到合格品， 三次中恰有两次取到合格品， 三次中最多有一次取到合格品。

例 2 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点 的位置，试说明下列各事件的关系： B={x|x>3} C={x|x<9} D={x|x<-5} E={x|x≥9} D 与 B,D 与 E 互不相容 C 与 E 为对立事件。 对立与互不相容的区别？ 对立事件一定互不相容，但 互不相容的事件未必是对立事件

符号集合含义事件含义 Ω 全集 样本空间，必然事件 Φ 空集 不可能事件 ω ∈ Ω 集合的元素 样本点 {ω} 单点集 基本事件 A 一个集合一个事件 A B A 的元素在 B 中 A 发生导致 B 发生 A=B 集合 A 与 B 相等事件 A 与 B 相等 A ∪ B A 与 B 的所有元素 A 与 B 至少有一个发生 A∩B A 与 B 的共同元素 A 与 B 同时发生 Ā A 的补集 A 的对立事件 A-B 在 A 中而不在 B 中的元素 A 发生而 B 不发生 A∩B=φ A 与 B 无公共元素 A 与 B 互斥

§2 随机事件的概率

历史上概率的三次定义 ③ 公理化定义 ② 统计定义 ① 古典定义 概率的最初定义 基于频率的定义 1930 年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出

概率是事件发生可能性的数量指标。 概率应有如下特征： (1) 是事件本身固有的，可通过大量试验来检验。 (2) 符合一般常情，可能性大时，概率也大。 0≤P(A)≤1 P(Ω)=1 P(φ)=0

概率的统计定义 在 n 次重复试验中，若事件 A 发生了 m 次， 则 m/n 称为事件 A 发生的频率。 不可能事件的频率一定为 0 。 必然事件的频率一定为 1 。

试验者掷的次数正面次数正面频率 Buffon Pearson Kerrich 可见，掷的次数越多，频率越接近 0.5 如上表说明硬币出现正面的概率为 0.5 。 概率是事件本身固有的，试验只是帮助我们了解它 定义 在不变的条件下，重复进行 n 次试验，事件 A 发生的频率稳定地在某一常数 P 附近摆动。则称这 常数 P 为事件 A 的概率，记为 P(A) 。

年份 新生儿总数 男婴儿数 女婴儿数 男婴频率 女婴频率 年总计 可以认为生男孩的概率近似值为 这种概率只能通过统计得出。 又如某妇产医院几年间出生婴儿的性别记录为：

设  是随机试验 E 的样本空间，若能找到 一个法则，使得对于 E 的每一事件 A 赋于一个 实数，记为 P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种 赋值满足下面的三条公理：  非负性：  归一性：  完全可加性： 其中 A1 ， A2 ， … 互斥 概率的公理化定义

(1) 如果 n 个事件 A 1,A 2,…,A n 两两互斥，则 P(A 1 +A 2 +…+A n )=P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n ) (2) 若 A 1,A 2,…,A n 构成一个完备事件组，则 P(A 1 )+P(A 2 )+…+P(A n )=1 特别地， P(A)+P(Ā)=1 (3)P(B-A)=P(B)-P(AB) B A 概率的性质

例 1 已知 P(A)=0.3,P(B)=0.6, 试在下列两种 情形下分别求出 P(A-B) 与 P(B-A) (1) 事件 A,B 互不相容 (2) 事件 A,B 有包含关系

(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) A+B=A+(B-A) 由于 A 与 B-A 互斥 故 P(A+B)=P(A)+P(B-A)=P(A)+P(B)-P(AB) AB

例 2 甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中 的概率为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击 中的概率为 0.68 ．求目标被击中的概率． 解：设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目 标，Ｃ表示目标被击中， 则 ＝ 0.85 ＋ 0.8 － 0.68 ＝ 0.97

例 3 考察甲，乙两个城市 6 月逐日降雨情况。 已知甲城出现雨天的概率是 0.3, 乙城出现雨 天的概率是 0.4, 甲乙两城至少有一个出现雨 天的概率为 0.52, 试计算甲乙两城同一天出现 雨天的概率. 解：设 A 表示 “ 甲城下雨 ” ， B 表示 “ 乙城下雨 ”

例4例4