元素替换法 ——行列式按行(列)展开（推论）

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1 元素替换法 ——行列式按行(列)展开（推论）
元素替换法 ——行列式按行(列)展开（推论） 淮海工学院 理学院 孙岚

2 定理（行列式按行(列)展开法则） 阶行列式 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 或

3 按第3行展开

4 反过来看 第三行元素代数余子式的代数和可以“合并”成一个行列式计算！ 例如 用-2、-3、4替换原行列式中的第三行元素

5 同理 用-2、-3、4替换原行列式中的第二行元素 又如 用-2、-3、4替换原行列式中的第一列元素直接计算，而无需分别求出代数余子式。

6 结论 元素替换法求解代数余子式的代数和 （1）首先观察要求的表达式的代数余子式位于行列式的哪一行（列）？
（2）用表达式中的系数去替换该行（列）元素，通过一个行列式去直接计算，而不需要分别计算。——合并成一个行列式

7 特别地： 第二行元素与第三行对应元素的代数余子式乘积之和为0. 第一行元素与第三行对应元素的代数余子式乘积之和为0.

8 行列式按行（列）展开的推论： 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 或

9 证 把行列式按照第 行展开

10 同理

11 例 和代数余子式分别为 和 ，求 和代数余子式分别为 和 ，求 和代数余子式分别为 和 ，求 （1） （2） （5） （4） （3）
设 中 元的余子式 设 中 元的余子式 和代数余子式分别为 和 ，求 和代数余子式分别为 和 ，求 和代数余子式分别为 和 ，求 第一行元素与第一行对应元素的代数余子式乘积之和 （1） （2） （5） （4） （3） 第三列元素与第一列对应元素的代数余子式乘积之和 代数余子式在第二行，用4、-2、3替换第二行元素 转换成代数余子式，替换计算 代数余子式不在一行，也不在一列，只能分别计算

12 谢谢！

13 例 设 中 元的余子式和 和代数余子式分别为 和 ，求 （1） （2） （3） （4） （5）
设 中 元的余子式和 和代数余子式分别为 和 ，求 例 第一行元素与第一行对应元素的代数余子式乘积之和 （1） （2） （5） （4） （3） 第三列元素与第一列对应元素的代数余子式乘积之和 代数余子式在第二行，用4、-2、3替换第二行元素 转换成代数余子式，替换计算 代数余子式不在一行，也不在一列，只能分别计算