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一、会求多元复合函数一阶偏导数 4-5-1 多元复合函数的求导公式 学习要求： 二、了解全微分形式的不变性
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一、多元复合函数的求导法则 一元复合函数 y=f(u),u=g(x) 的链式求导法则： 根据多元复合函数不同的复合形式，这里 分三种基本情形进行讨论. yux
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1. 中间变量均为多元函数的情形 设函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 可微分，函数 u=φ(x,y) 及 v=ψ(x,y) 在点 (x,y) 对 x,y 的偏导数存在，则 复合函数 z=f[φ(x,y),ψ(x,y)] 在点 (x,y) 的两个偏导数存 在，且 定理
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链式法则如图示 该结论可推广到中间变量多于两个的情况. 同一路径用乘， 不同路径用加！
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解 例 1 设 z=e u sinv,u=xy,v=x+y, 求
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2. 中间变量均为一元函数的情形 设函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 可微，函数 u=φ(t) 及 v=ψ(t) 都在点 t 可导，则复合函数 z=f[φ(t),ψ(t)] 在点 t 可导，且其导数 全导数 全导数公式
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该结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如
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解 例 2 设 z=u 3 v 2,u=e t,v=cost, 求全导数
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3. 中间变量既有一元又有多元的情形 设函数 z=f(u,v) 在对应点 (u,v) 可微，函数 u=φ(x,y) 在点 (x,y) 具有偏导数， v=ψ(y) 在 y 可 导，则复合函数 z=f[φ(x,y),ψ(y)] 在点 (x,y) 具 有偏导数，且
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链式法则如图示,
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例 3 设 ，求 解
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二、全微分形式不变性
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无论 z 是自变量 u 、 v 的函数或中间变量 u 、 v 的函 数，它的全微分形式是不变的. —— 全微分形式不变性
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例 4 利用全微分形式的不变性求函数 z = x 2 y + ylnx 的 全微分 dz ，并由此求 解解
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