第四节 对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、路西定理 四、小结与思考.

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1 第四节 对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、路西定理 四、小结与思考

2 一、对数留数 1. 定义 具有下列形式的积分: 1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数 说明: 在C内孤立奇点处的留数的代数和;
的奇点.

3 2. 定理一 其中, N为 f(z)在C 内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数. 且C取正向. 注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点.

4 证

5

6 由以上所述和留数定理，得 [证毕]

7 二、辐角原理 1. 对数留数的几何意义 . 不一定为简单闭曲线, 其可按正向或负向绕原 点若干圈.

8 等于零 单值函数

9 结论: 对数留数的几何意义是 绕原点的回转次数k (k总为整数)

10 由定理一及对数留数的几何意义得 可计算f(z)在C内零点的个数 此结果称为辐角原理

11 2．定理二 (辐角原理) 如果 f(z)在简单闭曲线C上与C内解析, 且在 C上不等于零, 那么 f(z)在C内零点的个数等于 乘以当z沿C的正向绕行一周 f(z)的辐角的改变量.

12 三、路西定理 定理三(路西定理) 说明: 利用此定理可对两个函数的零点个数进行比较 .

13 证 在C内部解析

14

15 [证毕]

16 例1 试证方程 证

17 在圆内的零点数也为n 在圆内的零点数为n

18 例2 对数留数. 解 所以这些零点是二级零点, 从而是 f(z) 的二级极点.

19 所以由对数留数公式得

20 四、小结与思考 通过本课的学习, 应熟悉对数留数及其与函 数的零点及极点的关系; 了解辐角原理与路西定 理.

21 思考题

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