全微分 教学目的：全微分的有关概念和意义 教学重点：全微分的计算和应用 教学难点：全微分应用于近似计算.

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1 全微分 教学目的：全微分的有关概念和意义 教学重点：全微分的计算和应用 教学难点：全微分应用于近似计算

2 全微分 定义性质应用

3 类似地可以建立多元函数微分的概念. 全微分

4 二元函数全微分 定义 dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy 为 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分。

5 例 1 设矩形的长和宽分别用 x 、 y 表示，则此矩形的面 积为 z = xy. Δz = (x +Δx)(y +Δy) － xy = yΔx+ xΔy+ΔxΔy 所以 z=xy 可微 例题

6 定理 2 若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 的两个偏导数都连续， 则它在点 (x, y) 必可微. 例 2 求 z = x 2 + y 2 +xy 在点 (-1, 1) 处的全微分. 全微分存在定理

7 解 由此得 例3例3 若函数 z = f(x, y) 在区域 D 上处处可微， 则称 f(x, y) 为区域 D 上的可微函数. 例题

8 二元函数全微分的概念与性质，可类似地推广到更多 元的函数. 例如，若三元函数 u = f (x, y, z) 的各个偏导数都连续， 则 u 的全微分 du = fx(x, y, z)dx + fy(x, y, z)dy + fz(x, y, z)dz 全微分的推广

9 例 4 求函数 u = x + sin2y + e yz 的全微分 du. 解 因为 所以 例题

10 如果函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微，由全微分的定义知 Δz 与 dz 之差是的高阶无穷小, 所以当 |Δx| 、 |Δy| 都很小时， Δz ≈ dz = fx(x, y)Δx + fy(x, y)Δy 即 全微分的应用

11 解 由公式得 例题

12 解 设黄铜的比重为 圆柱体的体积为 例题

13 定理 1 若函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微，则它在点 (x, y) 必连续. 一元函数在某点的导数存在 微分存在． 结论 3 多元函数在点 (x,y) 各偏导数存在, 不一 定在点（ x,y) 可微 全微分的性质

14 例 7 证明 在点（ 0,0 ）各偏导数存在，不可微。 解 上式的极限不存在，所以 f(x,y) ，在点（ 0,0 ） 不可微。 例题

15 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 例题