第 1 章 信號與系統簡介 by 胡興民老師 連續時間信號與離散時間信號 連續時間信號 (continuous-time signal) ：連續時間 信號以函數 x(t) 表示之，其中 t 是連續時間變數 。 離散時間信號 (discrete-time signal) ：離散時間信 號只定義在離散的時間點上，一般以離散時間變數 n 的序列 (sequence) x[n] 表示之，其中變數 n 為整數 。

連續時間信號的例子

離散時間信號的例子 某

某年某地

連續時間信號與其取樣信號

離散時間信號表示方式 數學函數計算序列的數值： 或 由一數值序列 (number sequence) 所組成： 其中箭號 ↑ 標示時序 n = 0 時之項次數值，即 x[0] = 0 。當序列未標 示箭號 ↑ 時表示序列從 n = 0 開始。

類比信號 (analog signal) ：信號之振幅大小 ( 強度 ) 用任意區間 [a, b] 之連續數值描述之連續值信號 (continuous-valued signal) ，其中 a 和 b 可以分別為  和  。 數位信號 (digital signal) ：信號之振幅大小用離散 ( 或有限個數 ) 數值描述之離散值信號 (discrete- valued signal) 。

圖 1- 4 數位信號的例子

類比信號的數位化過程包含信號取樣 ( 可將連續 時間信號轉換成離散時間信號 ) 以及量化 (quantization) 程序 。

圖 1-6 類比信號數位化的例子

圖 1-7 圖 1.6 之量化轉換 ( 輸入與輸出對應 ) 示意圖

週期信號 (periodic signal) ：連續時間信號 x(t) 滿足條件 (1.1) 非週期信號 (nonperiodic or aperiodic signal) ：任何不滿 足上述週期特性的連續時間信號 x(t) 。 連續時間信號週期特性可表示成 T 0 為週期信號 x(t) 的基本週期 (fundamental period) 離散時間信號 x[n] 的週期特性可表示成 。 N 0 為週期序列 x[n] 的基本週期

圖 1-8 週期信號的例子

例 1-1 ：說明一弦波信號為週期信號，基本週期為 1/f 0 。 [ 解析 ] 若 x(t) 是週期信號， x(t) 須滿足定義 (1.1) 式 已知 比較以上二式，當 T = m/f 0 時 x(t) 可滿足定義 (1.1) 式，故 x(t) 是一個週期信號，其基本週期為最小正 T 值，即 T 0 = 1/f 0 。

例 1-2: 說明信號 為週期信號，並求其基本週期。 [ 解析 ] 若 x(t) 是週期信號， x(t) 須滿足定義 (1.1) 式 上式要成立，必須 。 (i) 時 ( 直流信號 ) ，任 意值皆可符合條件 (1.1) 式，故是週期信號，但此情況無法 定義最小正 T 值，即無法找到基本週期； (ii) 若, 當時， ， 因此滿足條件 (1.1) 式，故是週期信號，基本週期為最小正 T 值，即 T 0 =1/f 0 。

偶信號 (even signal) ：信號 x(t) 或序列 x[n] 滿足條件 奇信號 (odd signal) ：信號 x(t) 或序列 x[n] 滿足條件 圖 1-9 一個偶信號的例子

圖 1-10 一個奇信號的例子

信號可以表示成一個奇信號與偶信號之和 其中 ；

定型信號 (deterministic signal) 是在任何給定時間 其數值是可預知的，也就是說定型信號可用已知 的函數加以描述或表示。 有些信號在任何給定時間的數值是隨機而不可預 知，此種不能用已知的數學式描述而必須用機率 及統計特性描述的信號稱為隨機信號 (random signal) 。

例 1-4 ：信號 ，求其偶信號部份與奇信號 部份。 [ 解析 ] 利用 (1.9) 式與三角函數公式可求得其偶信號部份與 奇信號部份： 另外，利用三角函數直接改寫原信號： 再配合我們對弦波信號的奇、偶特性的了解 ( 弦波信號 與 分別是偶信號和奇信號 ) ，我們也可以很容易求得知此信 號 x(t) 的偶信號部份與奇信號部份，圖 1-11 可加以驗證。

圖 1-11 範例 1-4 之奇、偶信號解析

例 1-5 ：信號 ，舉例說明 w 0 與  之特性 以分析此信號為定型信號或隨機信號。 [ 解析 ] 若 w 0 與  是常數則 x(t) 是定型信號 ( 給定任意 t 值皆可 預知 x(t) 值 ) 。反之，若 w 0 是常數，而  =  /3 或  =  /3 的 機率各半，此情況下的 x(t) 則為隨機信號 ( 即使給定 t 值，我 們也無法預知 x(t) 值，因為  無法預知 ) 。

信號之功率與能量 任意連續時間信號 x(t) 的總能量 (total energy) E 及 平均功率 (average power) P 分別定義為 : (1.13) 離散時間信號 x[n] 的總能量 E 及平均功率 P 分別定 義為：

信號 x(t) 的總能量 E 有定義而且為有限值，亦即 ，那麼此信號稱為能量信號。 如果信號 x(t) 的平均功率 P 有定義而且為有限值，亦即 ，此信號則稱為功率信號。 假如一信號不符合上述能量及功率特性，則此信號既非 能量信號也非功率信號 。

例 1-6 ：考慮一週期為 T 0 的週期信號 ， 其中角頻率 ( 角頻率在第 2 章會說明 ) ；  是一 常數，分析此信號為能量信號或功率信號。 [ 解析 ] 因為是週期信號，利用 (1.17) 式計算 x(t) 的平均功率 上式中之弦波信號積分整數個週期為 0 。因為 x(t) 的平均功 率值有限，此信號為功率信號。一般而言，週期信號是屬 於功率信號。

例 1-7 ：信號 ，其中 a > 0 ；說明此信號為 能量信號。 [ 解析 ] 利用 (1.13) 式計算 x(t) 的總能量 因為 x(t) 的總能量有限，此信號為能量信號。

範例 1-8 ：信號 ；說明此信號既非能量信號 也非功率信號。 [ 解析 ] 利用 (1.13) 式計算 x(t) 的總能量 利用 (1.14) 式計算 x(t) 的平均功率 由以上計算得知 x(t) 的總能量和平均功率皆為  ，因此這個 信號既非能量信號也非功率信號。

系統數學模型 為達成某些特定功能或目的，由某些物件單元組成的物 體稱為系統 (system) ，可看成一種描述輸入信號與輸出 信號之關係或過程的一種數學模型。 x 表示系統的輸入 信號， y 表示系統的輸出信號，那麼系統可看成某種轉 換 (transformation) 或映射 (mapping) 將輸入信號 x 轉換成輸 出信號 y ，以數學模型描述此轉換為 y = T [x] 圖 1-13 系統數學模型示意圖

當輸入信號 x(t) 與輸出信號 y(t) 是連續時間信號時， 此系統即為連續時間系統 (continuous time system) 。 若輸入信號 x[n] 與輸出信號 y[n] 是離散時間序列 的情況，此系統即為離散時間系統 (discrete time system) 。

單一輸入 / 輸出連續時間系統之例子 考量圖 1-15 所述之一個簡單的 RC 電路，若將電壓源信號 視為一連續時間輸入信號，且將電容之端電壓信號 y(t) 視為一連續時間輸出信號，則此簡單的 RC 電路即是單 一輸入 / 單一輸出信號連續時間系統之一個例子。其輸 入與輸出之關係可用一階常微分方程式描述為： 圖 1-15 RC 電路圖

若一系統的輸出信號 y(t) 或 y[n] 只與同一時間的輸 入信號 x(t) 或 x[n] 有關，此系統即為無記憶系統 (memoryless system) 。 若輸出信號 y(t) 或 y[n] 與其他時間的輸入信號 x(t) 或 x[n] 有關，此系統即稱為記憶系統 (memory system) 。

無記憶連續時間系統的例子 考量圖 1-16 所述之一個簡單的 RC 電路，假設跨於電阻之 電壓為輸出信號 y(t) ，而為輸入電流源信號，那麼此連 續時間系統之輸出 / 輸入信號關係可描述為 ： 顯然輸出信號 y(t) 只與同一時間的輸入信號有關，即成 比例關係，故此系統為無記憶系統 圖 1-16 RC 電路圖

考慮上一範例，假設跨於電容之電壓為輸出信號 y(t) ， 輸入電流源信號仍設為，那麼以此輸出 / 輸入信號之系 統描述為 ： 顯然，輸出信號 y(t) 與時間 t 之前的所有輸入信號 都有關係，故此系統為記憶系統 ( 與我們認知電容為一 記憶元件之觀念相符 ) 。

一系統的輸出信號 y 只與目前或之前的輸入 信號 x 有關，此系統稱為因果系統 (causal system) 。 若輸出信號 y 與未來時間的輸入信號 x 有關， 此系統即稱為非因果系統 (non-causal system) 。 此處所提之「因果」的物理意義與我們平常所說 的「前因後果」之因果關係是相同的，其中輸入 信號為「因」，輸出信號為「果」，先有因才有 果，有輸入信號後才有輸出信號的系統符合此因 果概念, 是以稱為因果系統。換句話說，輸入信 號之前便有輸出信號 ( 無中生有 ) 的系統為非因果 系統 。

因果系統的例子 假設一系統之輸入 / 輸出關係描述為 ： 輸出信號 y(t) 決定於同一時間的輸入信號 x(t) 及兩 2 秒前之 輸入信號 x(t  2) ，符合因果關係，故此系統為因果系統。

非因果系統的例子 假設一系統之輸入 / 輸出關係描述為 ： 系統之輸出信號 y[n] 決定於同一時間的輸入信號 x[n] 及兩 2 個時間單位後之輸入信號 x[n+2] ，輸出信號與未來輸入 信號有關，不具因果關係，故此系統為非因果系統。

線性系統運算元 T[  ] 符合以下特性： 。 ＊ 加成性 (additivity) ：若 T[x 1 ]= y 1 且 T[x 2 ]= y 2 則 T[x 1 +x 2 ]= y 1 +y 2 ，任何 x 1 及 x 2 皆成立。 ＊ 一致性或等比例 (homogeneity or scaling) ：若 T [x] = y 則 T [  x] =  y ，左式對於任何 x 及純量常數  皆成立。  整合成疊加特性 (superposition property): 若系統符合以上特性者稱為線性系統 (nonlinear system) 若系統不符合以上特性者稱為非線性系統 (nonlinear system) 。

圖 1-17 線性系統示意圖

範例 1-16 ：假設系統之輸出 / 輸入關係 ， 請說明此系統為一線性系統。 [ 解析 ] 假設將任意兩信號 x 1 (t) 和 x 2 (t) 分別輸入此系統，分 別產生之輸出信號 y 1 (t) 和 y 2 (t) 可表示成 檢驗輸入信號  1 x 1 (t)+  2 x 2 (t) 對應之輸出信號 符合疊加特性，故此系統為一線性系統。

範例 1-17 ：假設系統之輸出 / 輸入關係為 : ， 請說明此系統為一非線性系統。 [ 解析 ] 假設將任意兩信號 x 1 (t) 和 x 2 (t) 分別輸入此系統，分 別產生之輸出信號 y 1 (t) 和 y 2 (t) 可表示成 檢驗輸入信號  1 x 1 (t)+  2 x 2 (t) 對應之輸出信號 不符合疊加特性，故此系統為一非線性系統。

若一系統之輸入信號的輸入時間提前或延後 t 0 ( 連 續時間系統 ) 或 n 0 ( 離散時間系統 ) 時，其對應的輸 出信號波形與原輸出信號波形相同，但其輸出信 號也提前或延後 t 0 或 n 0 ，此種系統稱為非時變系 統 (time-invariant system) 。 不符合以上特性之系統稱為時變系統 (time- varying system) 。

圖 1-18 非時變系統示意圖

範例 1-18 ：考慮範例 1-16 之系統 ，請說明 此系統為一時變系統 [ 解析 ] 此系統之輸入信號與輸出信號分別為 x 1 (t) 和 x 2 (t) ， 假設輸入信號之輸入時間延後 t 0 ，此時輸入信號 為 ，此情況之系統輸出信號為 檢驗原輸出信號輸出時間也平移 t 0 之結果為 顯然 與 不相等，故此系統為一時變系 統。

範例 1-19 ：假設系統之輸出 / 輸入關係為 : ，請說明此系統為一非時變系統。 [ 解析 ] 此系統之輸入信號與輸出信號分別為 x 1 (t) 和 x 2 (t) ， 假設輸入信號之輸入時間延後 t 0 ，此時輸入信號 為 ，此情況之系統輸出信號為 檢驗原輸出信號輸出時間也平移 t 0 之結果為 與 相等，故此系統為一非時變系統。

若一系統之輸入信號的數值有限 (bounded-input) ，其對 應的輸出信號值也有限 (bounded-output) ，此種系統稱 BIBO (bounded-input/bounded-output) 穩定系統 (stable system) ，以數學式之描述為： 輸入有限數值的信號而輸出無限值之系統 ( 不符合上述 特性 ) 稱為不穩定系統 (unstable system) 。

範例 1-20 ：考慮一延遲系統 : ，請說明此系統 為 BIBO 穩定系統。 [ 解析 ] 顯然若系統之輸入信號 ， 則 ，故此系統是 BIBO 穩定。

範例 1-21 ：系統之輸出 / 入信號之關係為 ， 請說明此系統為一 BIBO 不穩定系統。 [ 解析 ] 假定此系統之輸入信號為 系統的輸出信號為 顯然系統的輸出信號為一時間的遞增函數，其數值可以 到無限大，故此系統不穩定