數概念 國立台南大學應用數學系 謝 堅

昨天晚上，小明夢見天上 只剩下      顆星星！ 早上醒來已經看不見星星 如何溝通昨晚看到星星的個數？

☆ ☆ ☆ ☆ ☆ 數字５ ○ ○ ○ ○ ○ 數詞ㄨ ˇ ◇ ◇ ◇ ◇ ◇ 左邊的表徵比較容易溝通個數？ 為何用右邊表徵來溝通個數？ 如果讓學童自己選擇： 學童會選擇哪種表徵溝通個數？

數概念建立在一對一對應關係上 圖像表徵 與 5 顆星星 ○○○○○ ☆☆☆☆☆ 滿足一對一對應關係 很容易溝通星星的個數。

數量 ( 個數 ) 愈來愈多時： 選擇方便且能有效率運算的表徵 變的很重要 印度－阿拉伯記數系統 是現階段最有效率的表徵。

阿拉伯記數法 vs 羅馬記數法 誰的運算可能比較有效率？ CC XXXX VII × 3 4 × XXX IIII

為何可以用數字 (5) 或數詞 ( ㄨ ˇ ) 來溝通星星的個數？ 先學習數字或先學習數詞？

等價關係： 數學上，如果一個關係同時滿足 反身性、對稱性、遞移性 稱這個關係為等價關係。 一對一對應是否為等價關係？

如果一個關係滿足等價關係： 關係元素間的價值或內涵相同， 並且具有可換性 可以任意挑選一個最方便或最具 代表性的元素來代表其它所 有的元素。

古時候，祖先們曾經選擇：  綁繩結當做代表來描述個數， 5 個繩結，代表所有 5 個元素所成 集合的個數  木頭上刻痕當做代表來描述個數 5 個刻痕，代表所有 5 個元素所成 集合的個數

畫 5 個圓圈 ，寫正字符號 拿出 5 個石頭，發出 5 個聲音 點 5 下頭 ，伸出 5 根手指頭 都可以代表 所有由 5 個元素所成集合的個數， 它們都滿足一對一對應關係。

畫 5 個圓圈 ○ ○ ○ ○ ○ 可以代表摔了 5 跤 抓到 5 隻野豬 吃了 5 碗飯等 但是不知道抓的是大豬或小豬 也不知道一碗飯有多滿

能用聲音當代表來描述個數嗎？ 何者比較容易溝通有多少個？  相同的 5 個聲音（ㄅㄅㄅㄅㄅ）  不同的 5 個聲音（ㄅㄆㄇㄈㄉ）

相同的聲音： 相互傳遞的過程中容易發生失誤 不同的聲音： 透過約定，讓每個人發出不同 聲音的順序都一樣， 能夠溝通個數嗎？

不同的聲音當代表來描述個數： 透過點數活動 以一個聲音對應一個物件的方式 建立一對一對應關係， 並利用最後一個聲音 ( 例如ㄨ ˇ) 抽象的代表前面唸過的幾個聲音 ( 例如 5 個 ) 。

☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ㄧ ㄦˋ ㄙㄢ ㄙˋ ㄨ ˇ ㄨ ˇ 用最後一個聲音 ( ㄨ ˇ) 代表唸過的 5 個聲音 ( ㄨ ˇ) 請區分兩個 ( ㄨ ˇ) 的意義

☆ ☆ ☆ ☆ ☆ ㄧ ㄦˋ ㄙㄢ ㄙˋ ㄨ ˇ ㄨ ˇ  最右邊的聲音 ㄨ ˇ 是數詞序列中的一個聲音  抽象出來的聲音 ㄨ ˇ 是前面 5 個聲音的代表

學童必需透過模仿及不斷的練習 才能掌握 抽象出來聲音ㄨ ˇ 的意義。 標準數詞序列： ㄧ，ㄦˋ，ㄙㄢ，ㄙˋ，ㄨ ˇ

先學習數字或先學習數詞？ 點數活動用到的是數詞 先學會數詞，後學會數字 如何學習數字？

☆ ☆ ☆ ☆ ☆ １ ２ ３ ４ ５ ５ 數字符號５  用最後一個數字代表前面的數字  掌握最後一個聲音的意義後再學習數字

國小一年級的數學課本 站在檢查的角度引入數字及數詞 上國小前必須 建立正確的數概念

檢查 [ ㄨ ˇ] 是那一種意義： 學童點數 5 個蘋果之後：  指著第 5 個蘋果 ： 5 個蘋果在這裡  指著全部蘋果 ： 合起來有 5 個蘋果

愛智魔數星球： 協助教師： 理解兩種ㄨ ˇ 的意義 幫助學童：掌握抽象出來聲音ㄨ ˇ 的意義

檢查數的保留概念：  5 個蘋果 當分散排列及緊密排列時， 個數 5 的意義是否改變。  朝三暮四。

愛智魔數星球： 協助教師：理解數保留概念的意義 幫助學童：建立數的保留概念

檢查數字〔 5 〕所代表的意義  只是一個圖像。 （用大、小拇指認識數字 6 ）  數詞的文字表徵。

學童看到骰子出現 5 點， 口中唸出「ㄨ ˇ 點」：  點數有 5 個黑點。  認圖識字，那個圖像的名字叫做 「ㄨ ˇ 點」。

愛智魔數星球： 數概念 聲音符號 ( 數詞 ) 一堆蘋果 文字符號 ( 數字 ) 幫助學童統整 上面四個概念

如何教學童寫數字  教師直接宣告 鉛筆 1 、天鵝 2 、耳朵 3 、帆船 4…. 幫助學童透過給定的圖像來學習  教師先問學童 2 像什麼 利用學童自己熟悉的圖像來學習

如何教學童寫數字 透過天鵝的圖像幫助寫數字 2 ， 帆船的圖像幫助寫數字 4 ， 應該畫出幾隻天鵝 ( 帆船 ) ？

 畫出 1 隻天鵝 ( 帆船 ) ： 教學重點：只是圖像的記法  畫出 2 隻天鵝 (4 艘帆船 ) ： 教學重點： 數的概念以及圖像的記法

愛智教材： 幼童的小肌肉還不能做細密的協調 小班先認識數字 ( 找出數字圖卡 ) 中班再學習寫數字

愛智魔數星球： 教師問學童 2 像什麼 利用學童自己熟悉的圖像來學習 畫出 a 個物件來學習寫數字 a

透過下面方式引入數字與數詞 合理嗎？ ㄧ ○ １ ㄦˋ ○ ○ ２ ㄙㄢ ○ ○ ○ ３ ㄙˋ ○ ○ ○ ○ ４ ㄨ ˇ ○ ○ ○ ○ ○ ….. ５

學童看到 5 個圓圈的圖象， 會讀出數詞ㄨ ˇ ，寫出數字 5 。  改用☆、♀等圖像來替代○？ （與課本圖像不一致）？  5 個圓圈呈不規則排列時， 不點數也能確定圓圈的個數嗎 ?

沒有一個聲音對應一個物件的 點數活動，學童只是在看圖識字 這種教法和畫出椅子的圖像， 讓學童能夠唸出ㄧ ˇ ㄗ · 或寫出椅子是一樣的。

愛智魔數星球： 透過下面六個步驟幫助學童 學習數詞、數字與數概念

 提供一對一對應的解題經驗， 能判斷並描述那堆物件 比較多、比較少、一樣多 具體物對應具體物的一對一對應是學習點數的先備知識

描述一對一對應的結果：  比較多、比較少、一樣多 ( 愛智 ) ＞、＜、＝ ( 三一律 )  夠、不夠 ≧、＜

先引入生活中自然配對的情境 一個人戴一頂帽子 一個人坐一張椅子 再引入比較不自然配對的情境 一堆羊對應一堆牛 一堆蘋果對應一堆橘子

 能唱出 ( 標準 ) 數詞序列。 學會唱出標準數詞序列之後，才能夠進行點數活動 幫助學童察覺數詞序列的規則 ( 後面會說明 )

能透過一個聲音對應一個物件 進行點數活動。 具體物對應具體物 聲音對具體物

愛智教材： 點數的對象多樣化 點數不可移動且雜亂排列物件個數 如何區分數過的和沒有數過的

那一種情境比較容易點數？     ( 呈矩陣排列 )      ( 呈線性排列 )

點數較多物件 ( 紙上呈現零散排列 ) 的個數時，你會要求學童每數完 10 個物件後，畫一個圈，將點數 過的物件圈起來嗎？ 你要求學童畫圈的理由為何？

1 個一數 2 個一數 5 個一數 10 個一數 3 個一數 7 個一數 你喜歡哪一種數法？為什麼？ 零散排列只能 1 個一數或 2 個一數 成堆後才能 5 個一數或 10 個一數

點數情境：零散排列 點數時：唱出 50 個聲音

點數情境：零散排列 點數時：唱出 25 個聲音

點數情境： 5 個一堆, 報讀時刻, 錢幣 點數時：唱出 10 個聲音

點數情境： 10 個一堆, 積木, 錢幣 點數時：唱出 5 個聲音

 能抽象地使用最後一個聲音， 描述一堆物件的個數。檢查數詞的兩種意義

能書寫數字來表示數詞。 檢查數詞的意義 ( 合起來 ) 檢查數字的意義 ( 不只是圖像 )

 能使用數字或數詞，進行 說、讀、聽、寫、做 ( 表現數 ) 看到  能用數字或數詞 描述物件的個數 看到數字或聽到數詞， 能拿出對應的物 

點數鉛筆的個數時： 要求先畫圈再寫數字，合理嗎？      ○ ○ ○ ○ ○  先畫圈 ( 5 )  再寫數字

愛智魔數星球： 掌握做數 ( 表現數 ) 的時機及意義

為何要進行做數 ( 表現數 ) 活動？ 不會做數： 對學童學習數概念有何妨礙？ 對學童學習加減運算有何妨礙？

問題 1 ：甲有 5 個蘋果，乙有 3 個蘋果 二人合起來共有幾個蘋果？ 問題 2 ：○○○○○ ← 甲的蘋果； ○○○ ← 乙的蘋果； 二人合起來共有幾個蘋果？ 誰是加法問題？

愛智魔數星球： 加法問題沒有東西可以數 甲有 5 個蘋果，乙有 3 個蘋果， 二人合起來共有幾個蘋果？

步驟 1 ：做數 5 步驟 2 ：做數 3 ○ ○ ○ ○ 步驟 3 ：點數

國小一年級 建立 1 到 100 的數概念 教材應該區分成哪些階段完成？ 每一個階段的教學重點為何？

愛智魔數星球： 建立 1 到 100 的數概念

愛智魔數星球： 1 ～ 10( 模仿唱數 ) 11 ～ 20( 模仿唱數 ) 21 ～ 30( 溝通找規則的意義 ) 31 ～ 50( 幫助學童自行命名 ) 51 ～ 100( 自行命名 )

21 ～ 30 命名活動： 當熟悉 1 ～ 20 的數詞與數字時， 能夠利用 1 ～ 20 命名的規律， 透過類比的方式， 進行較大數量的命名活動

這裡有 21 個， 再來 1 個合起來是多少個？ 如果學童無法命名： 1 個，再來 1 個合起來是 2 個 11 個，再來 1 個合起來是 12 個 21 個，再來 1 個合起來是多少個？

這裡有 29 個， 再來 1 個合起來是多少個？ 如果學童無法命名： 9 個，再來 1 個合起來是 10 個 19 個，再來 1 個合起來是 20 個 29 個，再來 1 個合起來是多少個？

21 ～ 30 活動重點： 在教師的協助下， 溝通如何類比 1 ～ 20 命名的規律， 建立 21 ～ 30 的數詞序列。

31 ～ 50 活動重點： 學童自己 類比 1 ～ 30 數詞序列命名的規律， 建立 31 ～ 50 的數詞序列。