莫名其妙的量子世界 『從原子到宇宙』課程第四週 胡維平 國立中正大學化學暨生物化學系 10/08/2015

Colors and Electromagnetic Waves

Bands of Electromagnetic Wave 3

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Types of Spectra 5

任何物質都會放出各種頻率的輻射線，也 就是電磁波。經驗告訴我們當溫度愈高物 質所放出的輻射線愈強，同時所放出的主 要電磁波也愈偏向短波長的輻射線。所謂 黑體 (Blackbody) 是首先由德國物理學家 Kirchhoff 在 1859 年所提出的一種理想的輻 射放射物體，它可吸收所有波長的輻射線 並在其內部達成完美的熱平衡。此種物體 所放出的輻射線種類與強度只與其溫度有 關而 與所組成的物質種類無關。宇宙中的 恆星如太陽的輻射性質也與理想的黑體十 分接近。 Black-Body Radiation 6

奧地利物理學家 Josef Stefan 在 1879 年指出黑體輻 射的總能量與絕對溫度的四次方成正比，這後來 被稱為 Stefan-Boltzmann law: R =  T 4 實驗上  = 5.67  10  8 W/m 2 -  K 4 在 1894 年時德國物理學家 Wilhelm Wien 也發現最 強的輻射波長與絕對溫度成反比關係，這後來被 稱為 Wien displacement law: max T =  10  8 m-  K 7

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10 Cosmic Microwave Background Discovered in 1964 by Arno Penzias and Robert Wilson in Bell Laboratory. (1978 Nobel Prize) Smooth with very small variation

十九世紀末時科學家包括 Wien 及 Rayleigh 等人嘗試以古典物理學推導 出這種能量分佈的關係但都未能成功。比如說 Rayleigh 及 Jeans 在 1900 年所 得之結果為： Theory of Black-Body Radiation Ultraviolet Catastrophe!

西元 1900 年十月德國科學家 Max Planck 發現最新 的實驗所測量出之 R( ) 可以用下式準確的描述： 其中 a, b 為兩個常數, 可由實驗數據求出， 但並不知道其背後的物理原理。蒲朗 克嘗試了許多理論堆導後發現， 如果假設黑體內部的帶電粒子振動能量是量子 化的而不是如古典力學所描述的具有連續性的話， 上式可以藉由熱力學理論推 導而出。 由此， Planck 在 1990 年十二月份發表了與實驗結果完全吻合的黑體輻 射的能量分佈的推導。 (5) 12 Max Karl Ernst Ludwig Planck

在 Planck 的假設中, 帶電粒子振動能量是振動頻率乘以一個常數 ( 蒲朗 克常數 ) 的整數倍 E v = n h 配合上波茲曼能階分佈以及古典波動理論的波動密度分佈，蒲朗克得 到與上述經驗式 吻合的結果。 蒲朗克也藉由實驗所得之 a, b 值推導出 h 及 k 的數值。在此之前波茲曼常數大都只是觀 念上的符號並未曾被測量出精確的值。 13

14 Photoelectric Effects 光電效應是在 1887 年由德國科學家 Heinrich Hertz 所發現。 實驗上，若要有光電子 產生，照射光的頻率必須要大於一個臨界值 0 ，不同金屬表面有不同的臨界值。若 小於這個頻率光線的強度再強也不會有光電子產生。 這顯然無法以古典物理中波動 能量僅與振幅平方有關的定理來解釋。

15 愛因斯坦 (Albert Einstein) 在 1905 年時對光電效應提出了一個合理的解釋。 愛因斯坦認為在光電效應中，我們必須假設光是以一顆顆粒子 ( 光子 ) 的型態與 金屬表面的電子進行作用，而每一顆光子的能量與其在電磁波型態中振動的頻 率成正比，而其比例常數後來被發現與蒲朗克常數相同。 Ephoton = h 當光子的能量超過金屬表面的束縛能  時才會有光電子產生。 h =  + kinetic energy of photoelectron 1916 年由 R. A. Millikan 精確的實驗也證明了此定量關係。 Explaination of Photoelectric Effects by Einstein

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17 Niels Henrik David Bohr 丹麥 氫原子模型 原子的線性光譜暗示著原子所能擁有的能量也是量子化 的。 1910 年拉塞福 由  粒子撞擊實驗的結果提出了現代 的原子模型。 在此模型中，原子絕大部分的質量是集中 在非常小 (< 10  13 m) 帶正電的原子核中，原子核外圍的 廣大空間裏則有帶負電的電子圍繞，維持原子的電中性。 但依照古典電磁學理論，帶電粒子作加速度運動時會放 出輻射線，使得電子不會有穩定的軌域。 1912 年波爾 (Neils Bohr) 來到拉塞福實驗室並開始發展他的原子理論。 在波爾的氫原子理論中，電子遵守古典物理定律並以圓 周運動圍繞原子核，但與古典力學不同的是波爾假設在 電子的運動中角動量是量子化的 。

配合牛頓力學中圓週運動公式 向心力 = 離心力 可推導出軌道半徑與能量也是量子化的 18 a 0 = Å 電子只能在這些軌道中運動，而若氫原子從高能階降到低能階時能量可藉由一個光 子放出，則波爾的理論可以完全解釋氫原子光譜譜線的位置以及雷德堡 (Rydberg) 公式 此與實驗值 cm  1 完全吻合。

雖然波爾的模型能成功的解釋氫原子光譜， 但卻無法進一步推廣到多電子原子上，而且也 不能解釋光譜的強度與在電磁場中譜線分裂的 現象。畢竟，這只是由古典力學硬加入量子假 設的理論。由於所有以古典力學來解釋微觀粒 子的運動的嘗試都無法成功，顯然我們需要一 套全新的適用於微觀粒子系統的理論。 現代量子力學的發展奠基於 年之間。 法國物理學家德布洛伊 (Victor de Broglie) 於 年間由愛因斯坦的相對論及光子理論 的類比提出物質波的概念： 光子的靜質量 (m 0 ) 為零，因此 19 from relativity material wave? crazy idea?

德布洛伊認為上式也適用於物質的粒子，這是一個革命性的創見，在此之前 歷史上從來沒有人把物質看成是一種波動。德布洛伊的物質波理論於 1925 年 藉由美國科學家 Davisson 及 Germer ，以及 G. P. Thomson 的電子束的繞射實驗 獲得實驗證實。因此，物質也和輻射線一樣同時具有粒子及波動的性質，這 個觀念對後來量子力學的發展以及我們對自然界的認識有著深遠的影響 20

德國物理學家 Max Born 及 Werner Heisenberg 於 年提出量子矩陣力學， 差不多同時，英國物理學家 Paul A. M. Dirac 及奧地利物理學家 Erwin Schrödinger ( 薛丁格 ) 也不同的方式提出了他們的量子理論。 Schrödinger 後來證 明這些看起來不同的方式在數學上都是等效的。在各種化學應用上， Schrödinger 的波動函數使用起來較為方便。 21 BornHeisenberg Schrödinger Dirac The Schrödinger Equation Modern Quantum Mechanics

Antimatter 22 Predicted by Dirac (1928)

Heisenberg 在 1927 年提出了不確定原理，其中說 明了我們無法同時非常精確的測量粒子的動量 與位置 23 Uncertainty Principle

Nobel Prizes Planck 1918 Einstein 1921 Bohr 1922 De Broglie 1929 Heisenberg 1932 Schrodinger, Dirac 1933 Pauli 1945 Born

25 Schrödinger’s Cat

26 The Double Slit Experiment

27 The Fifth Solvay Conference (1927) in Brussels On electrons and photons

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Particle in a Box with Infinitely High Potential Walls 29

Energy Levels and Waves for a Particle in a One-Dimensional Box 30

31 Physical Meaning of a Wave Function The square of the function indicates the probability of finding an electron near a particular point in space.

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33 Hydrogen 1s Wave Function

34 Radial Probability Distribution

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36 Electron Spin 電子自旋量子數 (m s ) 只能是 +½ or -½. 苞利不相容定律 (1925)- 在一個原子中， 二個電子不能有完全相同的量子數. 因此任一原子軌域只能包含二個自旋 相反的電子. 電子自旋很自然地出現在 Dirac 的相 對論量子力學 (1928) 之中。自旋是一 種純粹的量子相對論現象。 質子及部分原子核也有類似的自旋性 質。

Orbitals Filled for Elements in Various Parts of Periodic Table 37

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Two Spin States of a Proton in a Large Magnetic Field

An MRI Brain Scan Alfred Pasieka/SPL #PRInc-E01694 A Patient in an MRI Machine

41 Isotope Natural % Abundance Spin (I) 1H1H /2 2H2H B81.173/2 13 C1.1081/2 17 O0.0375/2 19 F100.01/2 29 Si4.7001/2 31 P100.01/2 Nuclear Spin and MRI

42 The Hydrogen 21 cm line