§8.1 Ch8. 假设检验 §1. 基本概念 §2. 正态总体均值的检验 §3. 正态总体方差的检验

何为假设检验? 假设是指施加于一个或多个总体的概率分布或参数的假设. 所作假设可以是正确的,也可以是错误的. 为判断所作的假设是否正确, 从总体中抽取样本,根据样本的取值,按一定原则进行检验, 然后作出接受或拒绝所作假设的决定.

假设检验的内容 假设检验的理论依据 参数检验 非参数检验 假设检验的理论依据为“小概率原理”,即：小概率事件在一次试验中几乎不发生。 总体均值,总体方差的检验 双正态总体均值差,方差比的检验 参数检验 非参数检验 分布拟合优度检验 符号检验 秩和检验 假设检验的理论依据 假设检验的理论依据为“小概率原理”,即：小概率事件在一次试验中几乎不发生。

引例1 某产品出厂检验规定: 次品率p不 超过4%才能出厂. 现从一万件产品中任意 抽查12件发现3件次品, 问该批产品能否出 厂？若抽查结果发现1件次品, 问能否出厂？ 解: 假设 这是 小概率事件 , 一般在一次试验中 是不会发生的, 现一次试验竟然发生, 故认 为原假设不成立, 即该批产品次品率 , 则该批产品不能出厂.

这不是小概率事件,没理由拒绝原假设, 从而接受原假设, 即该批产品可以出厂. 注1 直接算 若不用假设检验, 按理不能出厂. 注2 本检验方法是 概率意义下的反证法， 故拒绝原假设是有说服力的, 而接受 原假设是没有说服力的. 因此应把希 望否定的假设作为原假设.

出厂检验问题的数学模型 对总体 提出假设 要求利用样本观察值 对提供的信息作出接受 (可出厂) , 还 是接受 (不准出厂) 的判断.

引例2 解: 若 就拒绝 小概率 包装机包装产品，正常情况下，每包重量X 服从正态分布N(500,42). 某天开机后抽取5包 检验，测得重量: 509, 507, 498, 502, 508. 问包装机产品重量的均值是否正常？ 解: 反映 的大小： 成立下， 不应太大 若 就拒绝 小概率

根据 确定k。 成立时 考虑 下，由 得 即 时拒绝假设 不正常

显著水平 在假设检验中，我们需要对小概率的说法给出统一界定，通常给出一个上限 ，当一个事件发生的概率小于 ，我们认为这是小概率事件。 常见取值 0.01, 0.05, 0.1。 在假定 成立下，若根据样本提供的信息判断出某“异常”现象(发生概率 )发生，认为 错误显著。称 为显著水平。

假设检验步骤 1.根据实际问题，提出原假设 和备 择假设 ； 2.确定检验统计量； 3.根据显著水平 ，确定拒绝域； 4.由样本计算统计量值； 5.结论：作出判断是否接受 。

两类错误： 为真时，我们仍有可能拒绝 ，此时范了“弃真”错误，即第一类错误。 不成立时，我们仍有可能接受 ，此时范了“取伪”错误，即第二类错误。

§2. 正态总体均值的检验 （一）单正态总体 样本 均值 ，样本方差 1. 已知 （u检验法） 以双边检验为例： 𝐻 0 : 𝜇= 𝜇 0 , 𝐻 1 :𝜇≠ 𝜇 0 取𝑈= 𝑋 − 𝜇 0 𝜎/ 𝑛 在 𝐻 0 成立的条件下，𝑈∼𝑁 0,1

拒绝域 𝑈 ≥ 𝑢 𝛼/2 或: (−∞,− 𝑢 𝛼/2 ] ∪[ 𝑢 𝛼/2 ,+∞) 计算𝑈的观测值 𝑈 ，若 𝑈 ∈ 拒绝域，则拒绝 𝐻 0 ,接受 𝐻 1 ，否则接受 𝐻 0 双，单边检验的拒绝域： 拒绝域 𝐻 1 : 𝜇≠ 𝜇 0 𝜇< 𝜇 0 𝜇> 𝜇 0 𝑈 ≥ 𝑢 𝛼/2 𝑈 ≤− 𝑢 𝛼 𝑈 ≥ 𝑢 𝛼 𝐻 0 :𝜇= 𝜇 0

𝑋 =4.364; 𝑈 =−3.851∈ 拒绝域 拒绝 𝐻 0 ，接受 𝐻 1 ，认为有显著变化 例：钢铁厂正常情况下铁水的含碳量𝑋∼𝑁 4.55, 0.108 2 . 现观测5炉钢水，测得含碳量4.28、4.40、4.42、4.35、4.37，问含碳量的均值有无显著变化？ （𝛼=0.05） 解：显著变化双边检验 𝐻 0 :𝜇=4.55, 𝐻 1 :𝜇≠4.55 𝐻 0 成立时，𝑈= 𝑋 −4.55 𝜎/ 𝑛 ∼𝑁(0,1) 拒绝域 𝑈 ≥ 𝑢 𝛼/2 = 1.96 𝑋 =4.364; 𝑈 =−3.851∈ 拒绝域 拒绝 𝐻 0 ，接受 𝐻 1 ，认为有显著变化

例：某批元件合格标准的寿命不低于1000小时，已知元件寿命𝑋~𝑁 𝜇, 100 2 ，抽取25件，测得平均寿命960小时，设𝛼=0 例：某批元件合格标准的寿命不低于1000小时，已知元件寿命𝑋~𝑁 𝜇, 100 2 ，抽取25件，测得平均寿命960小时，设𝛼=0.05，检验平均寿命是否合格。 解： 𝐻 0 :𝜇=1000, 𝐻 1 :𝜇<1000 𝐻 0 成立时，𝑈= 𝑋 −1000 𝜎/ 𝑛 ∼𝑁 0,1 拒绝域： 𝑈 ≤− 𝜇 𝛼 =1.645 观测值 𝑈 =−2.0∈ 拒绝域 结论：拒绝 𝐻 0 ，接受 𝐻 1 ，认为不合格

§2. 正态总体均值的检验 （一）单正态总体 样本 均值 ，样本方差 2. 未知 （t检验法） 𝐻 0 : 𝜇= 𝜇 0 , 𝐻 1 : 𝜇≠ 𝜇 0 𝜇< 𝜇 0 𝜇> 𝜇 0 𝐻 0 成立时，𝑇= 𝑛−1 ( 𝑋 − 𝜇 0 ) 𝑆 ∼𝑡 𝑛−1

拒绝域 𝑇 ≥ 𝑡 𝛼 2 𝑛−1 (𝜇≠ 𝜇 0 ) 𝑇 ≤− 𝑡 𝛼 2 𝑛−1 (𝜇< 𝜇 0 ) 𝑇 ≥ 𝑡 𝛼 2 𝑛−1 (𝜇> 𝜇 0 )

𝐻 0 :𝜇=21, 𝐻 1 :𝜇<21 𝜎 2 未知, 𝐻 0 成立时， 𝑇= 𝑛 𝑋 −21 𝑆 𝑛−1 ∼𝑡(𝑛−1) 例：规定某种保健品中Vc的含量不得低于21mg. 已知每份样品中Vc含量X∼𝑁 𝜇, 𝜎 2 ,现抽取17个样品，测得Vc含量均值为20mg，修正样本方差为15.88，以𝛼=0.025检验这批保健品的Vc含量是否合格？ 𝐻 0 :𝜇=21, 𝐻 1 :𝜇<21 𝜎 2 未知, 𝐻 0 成立时， 𝑇= 𝑛 𝑋 −21 𝑆 𝑛−1 ∼𝑡(𝑛−1) 3. 拒绝域： 𝑇 ≤− 𝑡 𝛼 𝑛−1 =−2.1199 4. 观察值 𝑇 =−1.036∉拒绝域 5. 接受 𝐻 0 ，认为合格.

§3. 正态总体方差的检验

（1）关于 的检验 u 检验法 (2 已知) 检验统计量及其 原假设 备择 拒绝域 H0为真时的分布 H0 假设H1  0   0  < 0  > 0

t 检验法 (2 未知) （2）关于 的检验 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其 H0为真时的分布 拒绝域  0   0  < 0  > 0

检验法 （3）关于 2的检验 原假设 检验统计量及其在 拒绝域 H0 H0为真时的分布 备择假设 H1  2 02  2= 02  2< 02  2> 02

（4）双正态总体 的检验 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域

（5）双正态总体 的检验 原假设 H0 备择假设 H1 检验统计量及其在 H0为真时的分布 拒绝域