人民教育出版社 章建跃 zhangjy@pep.com.cn 数学学习与智慧发展 人民教育出版社 章建跃 zhangjy@pep.com.cn

一、数学核心素养的构建 数学核心素养是数学课程目标的集中表现，在学生自主发展中发挥不可替代的作用，在数学学习过程中逐步形成。数学素养包含具有数学基本特征的必备思维品格和关键能力，是数学知识、技能、能力及情感、态度、价值观的综合体现。 数学核心素养是数学素养中最基本、最重要的组成部分，它既制约课程内容主线，聚焦课程目标要求，也是学业质量要求的集中反映。在中学阶段它包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。

二、教师专业发展的三大基石 理解数学 理解学生 理解教学 特别是，“内容所反映的数学思想方法”的理解水平决定了理解数学的高度，同时也决定了教学所能达到的水平和效果。

三、理解数学知识的意蕴 知识的意蕴就是知识所蕴含的理性内涵，包括知识的价值、知识的精神、知识的情感等，它是知识的精义和主旨所在。 数学知识是高度抽象的，她的语言（特别是数学符号、图表语言）是高度概括、凝练的。正是这种高度的抽象性才使数学成为连接现实世界与人类智慧的桥梁，使数学语言成为表达客观世界结构的唯一精准语言。因此数学知识的意蕴就在它的高度抽象性之中。

只有感知和领悟了数学知识的意蕴，才能理解数学的基本思想，才能领会数学思维的奥秘，才能把握数学的基本方法。所以，理解数学知识的意蕴是形成数学学科核心素养的前提。 数学知识的意蕴与数学的文化价值、美育价值有着天然联系。 数学知识的意蕴是启动、维持与深化认识活动的原动力，是推动数学知识产生的内在根本力量。所以，从数学学习的角度看，使学生感悟数学知识的意蕴是培养学生数学地认识问题和解决问题能力的根基所在。

从培养创新人才出发,应紧紧围绕“数量关系”、“空间形式”、“数形结合”和“公理化思想”这四条主线,让学生有机会体会和认识一些数学本源性问题，例如引发某个数学分支创立的基本问题,创立过程中出现的瓶颈和突破的关键思想,以及从定性到精确定量的基本过程等。 数学对象是怎么抽象出来的；有哪些问题值得研究，如何构建研究路径，如何得到研究方法；如何用已有知识去解决问题，发展新知识；等等。

例 几个“简单”概念的理解 空间中的“位置”差异用什么表示？ 空间中的“方向”差异用什么表示？ 如何刻画直线的“直”？ 如何刻画平面的“平”？ 为什么把 𝒂+𝒃 𝟐 ≥ 𝑎𝑏 叫做“基本不等式”？ 解析几何中，为什么首选一个点的坐标和斜率作为确定直线方程要素？

“位置”是宇宙空间的最基本要素，位置用“点”表示； 直线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用有向线段的长度表示； 两个“方向”的差异用角度表示； 直线的“直”用点与直线之间的位置关系刻画； 平面的“平”用点、直线、平面之间的位置关系来刻画。

理解数学知识的三重境界 知其然 知其所以然 何由以知其所以然 ——启发学生，示以思维之道耳！

四、数学思维再认识 思维是指理性认识，或指理性认识的过程，它是人脑对客观事物能动的、间接的和概括的反映，包括逻辑思维和形象思维，但通常是指逻辑思维。 思维的工具是语言； 思维的形式是概念、判断、推理等； 思维的方法是抽象、归纳、演绎、分析和综合等。

一个结构 数学地认识事物的基本结构：定义概念——推导性质——建立联系——实践应用。 先从数、形的角度抽象事物的本质属性，定义概念从而明确数学对象；探索对象的要素与要素、要素与环境等之间的关系和相互作用而获得性质；建立相关知识的联系而形成知识体系；应用所得知识解决数学内外的问题，并深化认识、拓展新知。这是一个螺旋上升、逐渐深入的过程。

两个方向（方面） 数学思维有两个相辅相成的方向或方面——归纳和演绎。在对某一数学领域或对象的探索认知过程中，一方面要从具体事例的实验、分析中归纳其本质，获得数学猜想、命题等；另一方面又要用逻辑推理、数理分析去研讨业已认知的本质，证明猜想，发现新的性质，认知相关概念的联系性和一致性，直至形成不同学科统一性的认知。数学思维中，归纳和演绎的配合，往往能相互为用、相得益彰，产生意想不到的效果。

三种语言 数学思维的工具：符号语言、图形语言和普通文字语言。 数学有自己的符号体系和表达方式，它使人们能方便、简捷地呈现数学思想和成果。数学符号是内涵丰富的“信息块”，因而成为数学思维活动的理想载体。另外，数学符号语言能缩短数学思维过程，使之变得简约、精练。

四种形式 数学思维的基本形式： 逻辑推理 代数运算 几何直观 数形结合

逻辑推理 逻辑推理是数学思维的主要形式，是从一些数学事实、概念、定理出发，依据逻辑规则推出结论的思维过程。 认识问题的要点在于把握好本质，发现问题；解决问题的任务是运用“已知”之性质去推论“待知”之性质。概括言之，乃是在性质层面的一种以简驭繁。而逻辑推理就是这种以简驭繁的实践与步骤。

代数运算 “代数学的根源在于代数运算”，有效有系统地运用运算律去解决问题是代数学的基本思想； 数及其运算是一切运算系统的模范，与它类比而发现需研究的问题和方法，是基本而重要的数学思维方式； 代数运算的过程和方法可以容易地发展成高层次函数观点。

几何直观 几何直观是利用几何概念抽象空间事物获得几何图形，用图形描述事物的结构特征，用点线面体的关系探索事物的关系，乃至用图形及其关系认知、表达事物的本质和关系，几何直观是展开逻辑推理的思维基础。

数形结合 用几何图形表示数量关系； 把几何中的定性结果转化为可运算的定量结果； 这是数学思维的变通、灵活性的表现，也是数学发展的有力手段，坐标法、函数与图像（曲线）、三角函数与圆、向量法与几何等都是数形结合的思维产物。

N种因地制宜的具体思维方法 针对具体数学问题的思维方法：观察、假说、实验法、确证等科学思维方法在数学研究中有用武之地； 观察引领思考，事物现象的因果关系、事物的特征和构成要素、以及如何介入其中创造出我们想要的变化等，都能从观察中获得启示； 综合法与分析法、顺证法与反证法，数学归纳法……是常用的思维方法。

数学思维 一个结构，两个方向，三种语言，四种形式 演化出千变万化、赏心悦目的思维方法。 数学思维是人类智慧的最精彩绽放。 好比一棵参天大树，“一个结构，两个方向，三种语言，四种形式”是根和主干，千变万化的具体方法则是其枝和叶。 当前课堂教学中的普遍问题是，把注意力集中到了“枝繁叶茂”的追求，而忘却了“根和主干”的重要性。

五、发挥一般观念的引领作用 数学教学的高立意。 使学生明白数学思维之道的关键点。

数学教材呈现的“研究之道” 一般按“背景（实际背景、数学背景）——定义（内含、表示）——分类（以要素为标准）——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系（应用）”的逻辑展开，在定性研究的基础上进行定量研究。这个系统具有一般意义，是科学研究的“基本之道”。教师以此为基本依据设计课堂教学，并让学生反复经历这个逻辑过程，是“使学生学会思考”的关键之一。

如何激发学生独立思考 有效数学学习的两个基本条件：一是好的学习素材，二是有效的研究思路和方法。为学生提供典型而丰富的学习素材，让学生展开独立思考，并在思考的方向和思想方法上作适当引导，是“使学生学会思考”的又一关键。

平面几何的研究思路和方法 平面图形中，三角形是最简单的，圆是最完美的（主要表现在对称性上）。于是，平面几何中研究三角形、圆的基本性质有奠基作用。三角形是最基本的。 得到三角形的性质是一方面，更重要的是得到了研究几何图形的一个典范——研究其他几何对象都可以循着这样的思路展开，同时还得到了一个“工具”，因为我们往往利用三角形的性质去分析其他几何图形的性质。

三角形性质的研究思路和方法 以三角形的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从“形状、大小和位置关系”等角度展开研究。显然，这是一般观念指导下的研究。

思考一 几何图形的性质指什么？ 思考二 你认为可以怎样构建三角形性质的研究框架？怎样引导学生独立发现三角形的性质？ 思考三 类比三角形的研究思路和方法，你认为可以怎样引导学生独立构建四边形的研究路径，得到平行四边形的有关结论？ 思考四 圆又该如何研究？

思考五：如何提出“解三角形”的课题 首先，从定性到定量，提出研究课题。由S.A.S.，A.S.A.，S.S.S.可知，三角形的形状、大小已经由这三组要素分别唯一确定。这是定性的结论。 数学研究往往是先做定性探究，再做定量分析。这是一个由表及里、逐步精确、精益求精的自然进展。从定量的角度看，上述三个定理表明，三角形的任意元素可由这三组要素分别唯一确定。

三角形的三边边长、三个内角的角度、面积、高、外径、内径等等几何量都可以用这三组要素分别表示。这些几何量之间存在的基本函数关系就是三角定律。那么，如何推导这些基本关系？

三角形面积是基本而重要的，由S.A.S.容易知道：S= 𝟏 𝟐 absinC = 𝟏 𝟐 bcsinA= 𝟏 𝟐 casinB，简单变形即得正弦定理。而由正弦定理直接可得A.S.A.的解。 因为面积是基本而重要的几何量，三角形面积公式很容易得到，而正弦定理就是面积等式的推论，因此正弦定理的推导应首选这个方法。

由S.S.S.求三内角，对Rt△ABC，∠C=90°，有cosB=a/c，cosA=b/c。对锐角三角形、钝角三角形，与直角三角形联系起来，可以发现如下关系： 锐角△ABC就是将Rt△ABC1的直角顶点C1沿BC1方向“外移”到C；钝角△ABC则是将Rt△ABC1的直角顶点C1沿C1B方向“内移”到C。因为“内外有别”，因此需要分类讨论。

还可以研究哪些问题 （1）三角形的其他元素，如外径、内径、高、中线、角平分线……，如何求解？ （2）还有哪些推导两个定理的方法？——联系已有知识，给出不同证明方法，通过建立知识的联系，发展数学认知结构，增进数学理解。 而在不同推导方法的探求中，一个自然的想法是：上述余弦定理的推导需要分类讨论，能避免吗？

分析引起“讨论”的原因，是因为在直角三角形的基础上，两类三角形要分别“加”或“减” 𝑪 𝑪 𝟏 ，它们对应于直角顶点往不同方向移动。由“方向”想到向量，将“三角形是三条线段首尾相接所成的封闭图形”用向量表示，就是： 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 + 𝑪𝑨 =0。由 a2= b2 +c2－2bccosA可以想到把上述向量等式变形为－ 𝑩𝑪 = 𝑨𝑩 + 𝑪𝑨 ，两边平方即得公式。

方法的改进与智慧的发展 方法的改进源于对已有方法的反思。 分析引起分类的原因时，把三类三角形放在一起，用连续变化的观点看待而发现借助向量可统一三种情况。这里需要很好地把握向量的本质，其中对“方向”的敏感性起到关键作用。 F·克莱因：“对比把长度、面积、体积考虑为绝对值的普通初等几何学，这样做有极大的好处。初等几何必须依照图形呈现的情况而区分许多情况，而现在用几个简单的一般定理就可以概括。”

小结 数学教学的根本任务是发展学生的思维能力，说到底就是要使学生在面对问题时总能想到办法。注重一般观念的思维引领作用，可以提高思维的系统性、结构性，有效克服“做得到但想不到”的尴尬，使数学的发现更具“必然性”，是实现数学育人目标的重要途径。

六、为学生创造归纳的机会 唯有还原数学知识的探索过程，按人类认识事物的本来面目设计教学过程，才能真正达成教学方式的实质性变化。 在学生熟悉的背景下，从具体事例中，通过“归纳—演绎”而学习数学概念，关键是让学生获得理解概念本质所需要的亲身体验，这种体验构筑了理解抽象概念的背景和根基，也是学生能掌控自身学习过程的必要条件。 当前应更加强调归纳。

例 函数概念的归纳过程 四个基本问题 （1）函数的现实背景各是什么？刻画了哪类运动变化现象？ （2）决定这些运动变化现象的要素是什么？ （3）要素之间的相互关系如何？ （4）可以用什么数学模型来刻画？

（1）是搞清楚这类变化过程的基本特征，明确此现象与彼现象的差异点，从而精确区别不同变化现象，是明确问题的过程； （2）、（3）是对这类运动变化现象的深入分析，从中析出常量、变量及其依赖关系，这里的“依赖关系”常常要借助于运算而建立对应关系； （4）是以“依赖关系”为导向，利用代数、几何中可以表示这些关系的数学式子、表格、图形等加以明确。

一次函数 现实背景：物体作匀速直线运动，其特征是运动的速度（即位移与时间的比值）是一个定值。 决定运动状态的要素：速度v、时间t和位移S。这里，v是常量，t和S是变量；“速度是一个定值”是此类运动区别于它类运动的关键点，它的实际意义是在相同的时间段上物体的位移也相同，这是一种均匀变化。

要素之间的相互关系  

数学模型：对于不同类型的问题，都有一个从具体事例到一般规律的归纳过程，得到了各种各样的一次函数。在此基础上，再对它们进行共性的归纳，可以得到一次函数模型y=kx+b。这里，特别要注意k和b的意义：b是初始条件；函数值y随自变量x的变化而变化的过程中，函数值的改变量与自变量的改变量的比值是常数k，k的绝对值越大，改变得越快。这里特别要强调以实际问题为依托理解k，b的意义。

思考：二次函数概念的归纳过程该如何构建？反比例函数呢？

高中阶段的函数概念教学，应从初中已学的一次函数、二次函数和反比例函数出发，反思和提炼它们各自的抽象过程，并归纳它们的共性，从而形成一般函数概念的认识基础。

具体过程 具体函数→一类函数→函数概念一般化。 先以学生熟悉的运动变化问题为背景，仔细分析一次函数、二次函数和反比例函数概念的归纳过程； 提出问题：这些函数的共性是什么？如何表示？引导学生进行再归纳； 利用初中的函数定义判断“2015年8月6日上证指数图”、“2015年世界游泳锦标赛金牌榜”等是否为函数，增强进一步学习函数概念必要性的认识；

归纳出自变量、因变量及其变化范围、对应法则等函数概念的内涵，并辨析内涵，如：对应法则常常用代数式来定义，但不能用代数式表示的函数也大量存在；对自变量做出变化范围的限制，是因为有些函数只在某个范围内有意义，例如“上证指数”只在9：30~15：00之间有意义，无盖方盒只在x∈ 𝟎， 𝒂 𝟐 时有意义等； 为了更方便地刻画现实中的运动变化现象，同时也是更本质地反映变量之间的对应关系（依赖关系），需要采用“集合—对应”的语言刻画函数概念。

一般概念指导下的基本初等函数研究 在获得对函数及其性质的一般化认识的基础上，完成了“从个别推及一般”的归纳过程，接着是“从一般推及个别”的演绎过程。这个演绎过程可以看成是函数一般概念及其性质的具体应用，就是在一般观念指导下解决某一类运动变化规律的认识问题，获得一类函数的概念及其性质。高中阶段就是进入到幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的研究。

教学中，应兼顾函数概念的数学逻辑和学生学习的心理逻辑。其中从问题出发、归纳与演绎相互为用是基本原则。 宏观与具体相结合的问题： “对于一个运动过程或一种变化现象，需要研究的基本问题有哪些？”“一般地，我们可以怎样展开研究？”等——与数学基本思想、基本活动经验有关，具有引领方向的作用，可以极大地增强学习与思考的主动性、针对性、有效性； 针对实际情境中的具体现象提出问题——四个基本问题。 具体研究某一函数时，要调动已有经验，从图表观察、代数运算等途径发现规律，得出概念和性质。

七、通过类比发现和提出问题 类比的含义 类比的特点 类比的一般模式 数系扩充与复数的引入

八、通过推广、特殊化发现和提出问题 空间几何体中的特殊化； 点线面位置关系的特殊化——平行与垂直； 代数性质——特殊化中的特殊性； 运算中的一般化和特殊化——圆锥曲线性质的再发现； ……

九、使学生掌握研究数学对象的方法 数学观念和具有一般意义的数学思想方法的指导——保证高立意。 好的教学既需要有好的想法，也需要有能够落实的具体措施，变成学生面对问题时可以实施的行动。 一般而言，研究一个具体的数学对象（即使是解一个有思维含金量的数学题目），往往需要经历从定性到定量、从具体到抽象、从宏观到微观的过程。

二元一次不等式表示平面区域 如何提出问题？如何获得猜想？ 从具体到抽象、从特殊到一般——强调归纳的过程。 直角坐标系中，方程x－y－6=0的解为坐标的点在直线l上；同时，直线l上的点的坐标都是方程x－y－6=0的解——由此你能提出什么新问题？

用“四种命题”为指导，发现有研究价值的问题： (x0 ,y0)不在直线l上，则x0－y0－6≠0—— x0－y0－6＞0或x0－y0－6＜0。 坐标平面被直线x－y－6=0分成三个部分，它们与x－y－6＞0， x－y－6=0 ，x－y－6＜0有什么关系呢？ 任意取点，代入，找规律，发现“同侧同号”。——归纳的过程

演绎：如何证明“同侧同号” 点P0 (x0 ,y0 )在直线Ax+By+C=0的“左上方”是什么意思？——几何问题代数化 y O x

获得证明思路的关键 对解析几何的基本思想（坐标法）的理解深度； 对“先用平面几何眼光观察，再用代数方法解决”的认识； 在直角坐标系中，几何方位的代数化——以坐标轴为基准，用不等式表示“上下左右”的关系。所以，归根到底是对直角坐标系、点的坐标等概念的认识和应用。

结束语 对未知事物的探索是学生的天性，需要教师倍加爱护，我们常常因自己对学生心理的无知，低估学生的创造力而无意间扼杀了这种天性； 学生的创新思维需要教师的激发，使学生学会思考是数学教育的意义所在； 要激发学生的创新思维，教师自己应先学会思考，归纳、类比、推广、特殊化是基本的发现与创新之道； 以一般观念为指导，通过问题引导思考，给学生创设独立概括概念、性质、公式、法则的机会，这是教师的教学智慧所在。

数学育人 ——使学生在数学学习中 树立自信，坚定正念， 增强定力，激励精进， 启迪智慧，净化心灵。

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