25.2用列举法求概率 （1）

复习引入 1.相关概念 必然事件；在一定条件下必然发生的事件， 不可能事件；在一定条件下不可能发生的事件 随机事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 2.概率的定义 一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P(A). 取值范围：0≤P(A) ≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.

3 等可能性事件:在一次试验中各种结果出现的可能性大小相等的事件。 3 等可能性事件:在一次试验中各种结果出现的可能性大小相等的事件。 试验具有两个共同特征： (1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个； (2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等。

等可能性事件的概率: 一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为 事件A发生的可能种数 n m A P = ) ( 试验的总共可能种数

新授 列举法 2 等可能性事件的概率可以用列举法而求得。 我们通过例题来学习列举法求概率 1 列举法 新授 列举法 1 列举法 就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法． 2 等可能性事件的概率可以用列举法而求得。 我们通过例题来学习列举法求概率

例题学习 例1：掷两枚硬币，求下列事件的概率： （1）两枚硬币全部正面朝上； （2）两枚硬币全部反面朝上； （3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。 所有可能出现的结果 第一掷 第二掷 （正、正） （正、反） （反、正） （反、反） 开始

解：列举掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是： 正正， 正反， 反正， 反反。 所有的结果共有4个，并且这四个结果出现的可能性相等。 （1）所有可能结果中，两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果共有1个，即正正，则 P(A)=1/4 （2）两枚硬币全部反面朝上(记为事件B)的结果共有1个，即反反，则 P(B)= 1/4 （3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结果共有2个，即正反、反正，则 P(C)= 2/4= 1/2

变式：先后两次掷一枚硬币，求下列事件的概率： （1）两次硬币全部正面朝上 （2）两次硬币全部反面朝上 （3）一次硬币正面朝上，一次硬币反面朝上 “同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？ 同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。 www.czsx.com.cn

例2.同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列 事件的概率： （1）两枚骰子的点数相同; （2）两枚骰子点数的和是9； 问题：利用分类列举法可以知道事件发生的各种情况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？ 例2.同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列 事件的概率： （1）两枚骰子的点数相同; （2）两枚骰子点数的和是9； （3）至少有一枚骰子的点数为2。

分析：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目比较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法，我们不妨把两个骰子分别记为第1枚和第2枚，这样就可以用下面的方形表格列举出所有可能出现的结果．

（2）满足两枚骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4种（帮助的阴影部分），即（3，6）（4，5）（5，4）（6，3），所以 第2个 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） （1，1） （2，2） （3，3） （4，4） （5，5） （6，6） 6 5 4 3 2 1 第1个 解：由表可 以看出，同时投掷两枚骰子，可能出现的结果有36种，它们出现的可能性相等． （1）满足两枚骰子点数相同（记为事件A）的结果有6种（表中红色部分），即（1，1）（2，2）（3，3）（4，4）（5，5）（6，6），所以 P（A）＝ （2）满足两枚骰子点数和为9（记为事件B）的结果有4种（帮助的阴影部分），即（3，6）（4，5）（5，4）（6，3），所以 P（B）＝ （3）满足至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11种（表中黄色部分），所以 P（C）＝

如果把例3中的“同时掷两个骰子“改为”把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？ 没 有 变 化 第一次掷 第二次掷 1 2 3 4 5 6 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 列表法 请你计算试一试

2. 在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张．那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？ 第一次抽取 第二次抽取 1 2 3 4 5 6 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 由列表可以看出：共有14个第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字： 因此： 所求的概率为：

在6张卡片上分别写有1～6的整数，随机地抽取一张后放回，在随机地抽取一张。那么第二次取出的数字能够整除第一取出的数字的概率是多少？

知识要点 1.用列举法求概率的条件是: (1)实验的结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等. 2.用列举法求概率的的公式是:

知识要点 3运用列表法求概率的步骤如下： ①列表 ； ②通过表格计数，确定公式 中m和n的值； ③利用公式 计算事件的概率。

课堂小结 1、等可能性事件:在一次试验中各种结果出现的 可能性大小相等的事件。 2、该试验具有两个共同特征： （1）一次试验中，可能出现的结果有限多个； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等。 3、列举法求概率： （1）.有时一一列举出的情况数目很大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，尽可能减少列举的问题的数目. （2）利用列举法求概率的关键在于正确列举出试验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直接分类列举、列表、画树形图（下课时将学习）等.

在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m,最后代入公式计算. 4 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法. 列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况 另一个因素所包含的可能情况 两个因素所组合的所有可能情况,即n 在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m,最后代入公式计算.

4.用列举法求概率的条件是: (1)实验的结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等. 5.用列举法求概率的的公式是:

课堂练习 1.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖。参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会。某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）． A. B. C. D. A

C D 2．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只．则从中任意取1只，是二等品的概率等于( )． 2．设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只．则从中任意取1只，是二等品的概率等于( )． A． B． C． D．1． 3.一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的一半的概率是（　　）． A. B. C. D. C D

4、彩票有100张，分别标有1，2，3，…100的号码，只有摸中的号码是7的倍数的彩券才有奖，小明随机地摸出一张，那么他中奖的概率是多少？ 5、一张圆桌旁有4个座位，A先坐在如图所示的位置上，B、C、D随机地坐到其它三个座位上，求A与B不相邻而坐的概率。 解：按逆时针共有下列六种不同的坐法：ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB 而A与B不相邻的有2种，所以A与B不相邻而坐的概率为＿＿＿＿＿ 圆桌 A 1 3

6. 有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写着“20”，“08”和“北京”的字块， 如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”， 则他们就给婴儿奖励。假设该婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是多少？ 解：排“20”，“08”,“北京”三个字块所有可能性为： ①2008北京 ② 20北京08 ③08 20北京 ④ 08 北京20 ⑤ 北京2008 ⑥ 北京08 20 其中排成“2008北京”或“北京2008”有两种情况,所以 婴儿能得到奖励的概率为 1 3

7.屏幕上有四张卡片，卡片上分别有大写的英文字母“A，Z，E，X”，现已将字母隐藏．只要用手指触摸其中一张，上面的字母就会显现出来．某同学任意触摸其中２张，上面显现的英文字母都是中心对称图形的概率是 ． 8.有三张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有数字1、2、3，从这三张卡片中随机同时抽取两张，用抽出的卡片上的数字组成两位数，这个两位数是偶数的概率是　　　．

9.小明打算暑假里的某天到上海世博会一日游,上午可以先从台湾馆、香港馆、韩国馆中随机选择一个馆, 下午再从加拿大馆、法国馆、俄罗斯馆中随机选择一个馆游玩．则小明恰好上午选中台湾馆,下午选中法国馆这两个场馆的概率是（ ） A． B． C． D． A

10.你喜欢玩游戏吗?现请你玩一个转盘游戏.如图所示的两个转盘中指针落在每一个数字上的机会均等,现同时自由转动甲,乙两个转盘,转盘停止后,指针各指向一个数字,用所指的两个数字作乘积.所有可能得到的不同的积分别为______;数字之积为奇数的概率为______. 1 3 2 4 6

应用与体会 1、某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券（转盘被等分20个扇形）. （１）他得到100元购物券的概率是多少？ （２）他得到50元购物券的概率是多少？ （３）他得到20元购物券的概率是多少？ （４）甲顾客的消费额120元，他获得购物券的概率是多少？

2.如图:请你为班会活动设计一个可以自由转动的8等分转盘，要求所设计的方案满足下列两个条件: (1)指针停在红色区域和停在黄色区域的概率相同; (2)指针停在蓝色区域的概率大于停在红色区域的概率. 如果除了满足(1)(2)两个条件外,再增加条件: (3)指针停在蓝色区域的概率大于为0.5 你设计的方案是什么?

A C 3．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）． A． B． C． D．1． 3．随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是（ ）． A． B． C． D．1． 4．从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人乘坐以上交通工具，从甲地经乙地到丙地的方法有（ ）种． A．4 B．7 C．12 D．81． A C

5、一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球. （1）共有多少种不同的结果？ 　　（1）共有多少种不同的结果？ 　　（2）摸出2个黑球有多种不同的结果？ 　　（3）摸出两个黑球的概率是多少？ 解：（1）共有6种结果。即“白黑1”，“白黑2”，“白黑3”， “黑1黑2”，“黑1黑3”，“黑2黑3”。 （2）摸出两个黑球的有3种可能结果。即“黑1黑2”， “黑1黑3”，“黑2黑3”。 （3）

6、小明拿出4张牌：梅花6、黑桃6、方块6和红桃6，对小丽说：“洗牌后，从中随机取出两张，如果同色就算甲方赢，否则就算乙方赢。”他问小丽愿当甲方还是乙方，请你给小丽出个主意。 解：小丽应选择当乙方。 因为在4张牌中，梅花和黑桃为黑色，为同色；方块和红桃为红色，为同色。现任意取出两张牌，则总共有6种可能性结果。即“梅花、黑桃”，“梅花、方块”，“梅花、红桃”，“黑桃、方块”，“黑桃、红桃”，“方块、红桃”。 6种结果中，为同色的有2种，即“梅花、黑桃”，“方块、红桃”，异色的有4种，即“梅花、方块”，“梅花、红桃”，“黑桃、方块”，“黑桃、红桃”。 所以 ； 所以在抽排过程中，同色的概率小于异色的概率，小丽应选择当乙方。

7. 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数是6的约数； （2）点数是质数； （3）点数是合数． （1）点数是6的约数； （2）点数是质数； （3）点数是合数． （4）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜；掷得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。 解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。 （1）掷得点数是6的约数(记为事件A)有4种结果，因此P（A） . （2）掷得点数是质数(记为事件B)有3种结果，因此P（B） . （3）掷得点数是合数(记为事件C)有2种结果，因此P（C） . （4）由上面的计算知道, P（小明胜） , P（小亮胜） , ∵ P（小明胜）> P（小亮胜）, ∴这样的游戏规则不公平。 可以设计如下的规则：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜，小明得2分；掷得点数是合数，小亮胜，小亮得3分，最后按得分多少决定输赢。 因为此时P（小明胜） ×2=P（小亮胜） ×3，即两人平均每次得分相同。

8、一副扑克牌,从中任意抽出一张,求下列结果的概率: ① P(抽到红桃5)=____ ②P(抽到大王或小王)=____ ③P(抽到A)=____ ④P(抽到方快)=____

9.一副扑克牌（去掉大、小王），任意抽取其中一张，抽到方块的概率是多少？抽到黑桃的概率呢？ 解：P（抽到方块）= = 13 52 － １ ４ P（抽到黑桃）= = 13 52 － １ ４

10、如图,能自由转动的转盘中, A、B、C、D四个扇形的圆心角的度数分别为180°、 30 °、 60 °、 90 °,转动转盘,当转盘停止

11、在分别写出1至20张小卡片中,随机抽出一张卡片,试求以下事件的概率. ⑴该卡片上的数字是2的倍数,也是5的倍数. ⑵该卡片上的数字是4的倍数,但不是3的倍数 ⑶该卡片上的数不能写成一个整数的平方 ⑷该卡片上的数字除去1和自身外,至少还有3个约数. 解： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷

12 用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏. 12 用4个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏. １ ２ － １ ２ － １）使摸到白球的概率为　 ，摸到红球的概率为 　； １ ４ － １ ２ － ２）摸到白球的概率为　 ，摸到红球的概率为 　　； 你能用8个除颜色外完全相同的球分别设计满足如上条件的游戏吗？

13、某组16名学生，其中男女生各一半，把全组学生分成人数相等的两个小组，则分得每小组里男、女人数相同的概率是（　） 14 . 先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的概率是_.

15. 如图，小明和小红正在玩一个游戏：每人先抛掷骰子，骰子朝上的数字是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到小明掷，棋子在标有数字“1”的那一格，小明能一次就获得“汽车”吗？小红下一次抛掷可能得到“汽车”吗？她下一次得到“汽车”的概率是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 小明的棋子现在第1格，距离“汽车”所在的位置还有7格，而骰子最大的数字为6，抛掷一次骰子不可能得到数字7，因此小明不可能一次就得到“汽车”；只要小明和小红两人抛掷的骰子点数和为7，小红即可得到“汽车”，因此小红下一次抛掷可能得到“汽车”；其中共有36种等可能的情形，而点数和为7 的有6种，因此小红下一次得到“汽车”的概率等于

思考1: 这个游戏对小亮和小明公平吗？怎样才算公平 ? 你能求出小亮得分的概率吗? 小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:”我从红桃中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这个游戏的规则吗? 思考1: 这个游戏对小亮和小明公平吗？怎样才算公平 ? 你能求出小亮得分的概率吗?

用表格表示 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) 红桃 黑桃 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列 出所有可能的结果,通常采用列表的办法 解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等 满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A) 的有(1,1)(1,3)(1,5)(3,1)(3,3)(3,5)(5,1)(5,3)(5,5) 这9种情况,所以 P(A)= 总结经验: 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出 现的结果数目较多时,为了不重不漏的列 出所有可能的结果,通常采用列表的办法

思考2: 甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数之积为奇数，那么甲得1分；如果点数之积为偶数，那么乙得1分。 连续投10次，谁得分高，谁就获胜。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由； (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。 列出所有可能的结果： 点数之积 1 2 3 4 5 6 1×1=1 2×1=2 3×1=3 4×1=4 5×1=5 6×1=6 1×2=2 2×2=4 3×2=6 4×2=8 5×2=10 6×2=12 1×3=3 2×3=6 3×3=9 4×3=12 5×3=15 6×3=18 1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16 5×4=20 6×4=24 1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25 6×5=30 1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36 甲掷 乙掷

练习 1. 如图，袋中装有两个完全相同的球，分别标有数字“1”和“2”，小明设计了一个游戏：游戏者每次从袋中随机摸出一个球，并且自由转动图中的转盘（转盘被分成相等的三个扇形） 如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2，那么游戏者获胜，求游戏者获胜的概率． 1 3 2

摸球 1 2 3 转盘 解：每次游戏时，所有可能出现的结果如下： ( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) 总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，而所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2的结果只有1种；（1，1），因此游戏者获胜的概率为

课堂练习 1.一黑一红两张牌.抽一张牌 ,放回,洗匀后再抽一张牌.这样先后抽得的两张牌有哪几种不同的可能?他们的概率各是多少? 能否用不同 的方法来解？

列举 列表 红牌 黑牌 解：红,红; 红,黑; 黑,红; 黑,黑. 可能产生的结果共4个。每种出现的可能性相等。各为 。即概率 都为 。 可能产生的结果共4个。每种出现的可能性相等。各为 。即概率 都为 。 第一次抽出一张牌 第二次抽出一张牌 红牌 黑牌