第三章 估計及檢定

關鍵字(Key words) 型一錯誤 估計 信賴區間 型二錯誤 假設檢定 檢定力 估計量 敏感度 信心水準 特異度 虛無假設 P值 對立假設 型一錯誤 型二錯誤 檢定力 敏感度 特異度 P值

統計推論主要可分為三個方面：估計、信賴區間 和假設檢定 針對手上收集資料為主（即所謂樣本），然而我 們的目的並不在於推論這少數觀測值的樣本資料， 而是想推測這筆資料所代表母群體的一些重要性 質，如母體參數、母體分配及結構等。主要原因 還是在一般的研究上，成本和時間有限，我們無 法或不可能觀測到目標母群體內所有成員，取而 代之的是從我們的目標母群體抽取一部分樣本， 想從此樣本來推論母群體的一些特性。

研究者招募了 83 位不抽菸、不常吃魚的孕婦， 將她們隨機分為兩組，一組每天攝取 4 克魚油補 充品 (內含 2. 2 克 DHA 和 1 研究者招募了 83 位不抽菸、不常吃魚的孕婦， 將她們隨機分為兩組，一組每天攝取 4 克魚油補 充品 (內含 2.2 克 DHA 和 1.1 克 EPA)，另一組每 天攝取 4 克的橄欖油；攝取期間是從懷孕 20 週 至嬰兒出生為止。然後在小孩 2.5 歲時，研究者 測驗他們發育和成熟的狀況，包括：語言、行為、 推理、和手眼協調等能力，並且進一步分析母親 攝取魚油補充品與否，和小孩發育程度之間的關 係。 研究目的:我們的目的並不是這83位婦女所生小 孩的發育情形，而是希望藉由此資料知道“所有” 懷孕婦女攝取魚油與否對小孩發育情形的影響。

點估計(Point Estimates) 母群體 未知 抽樣 樣本 推論(估計)

點估計(Point Estimates) 母群體特性中最重要的是母體平均值、標準差及母體 比例，例如上例中攝取魚油孕婦的小孩在兩歲半時的 平均身高及標準差，有語言障礙比例等；如何使用所 收集的樣本去估計這些母體參數？如何得知樣本是否 母群體的代表性？ 統計估計的技巧在於如何利用樣本做出最佳推論，然 而資料來自母群體抽樣，不同次抽樣所獲得的估計值 也不盡相同，如何評估估計值與母群體參數的差異 （即所謂誤差）？一般而言，我們希望盡可能使估計 量的誤差最小化，利用誤差也可得知估計值的準確性 及可靠性。 因為樣本平均數或標準差這些估計值都是一個單值， 不是區間或範圍，所以又稱為點估計值(point estimates)。

良好點估計應有的特性 一致性(Consistency) 當樣本數大時，點估計值應很接近母群體之真值。 不偏性(Unbiased) 所有可能樣本之點估計值之平均等於母群體之真值。 高效性(Efficiency) 尋求具有最小可能標準誤的估計量。 註: 估計量的抽樣分佈中的標準差，即所謂標準誤 (standard error)

母體參數值之信賴區間估計 以樣本平均值 當作最佳點估計，但通常母體平均值 未知，那如何知道此樣品平均值是否可靠呢？ 以樣本平均值 當作最佳點估計，但通常母體平均值 未知，那如何知道此樣品平均值是否可靠呢？ 信賴區間(confidence interval；CI)：使用樣本資料計算 出一個區間(a , b)，以估計母體參數，並指出該區間 包含母體參數的機率達到吾人的最低要求。 信心水準(confidence level)：是指信賴區間內包含母體 參數的機率，通常有90%、95%、99%，並以 表示。 此一區間稱為(1－α)×100%信賴區間(Confidence Interval)。 信賴區間是隨機，不同樣本計算的信賴區間不同，故 稱為區間估計(Interval Estimation)

母體平均值之信賴區間估計 母體平均值 之95%信賴區間: 因為樣本平均值的抽樣分佈為 所以 ， 而標準化後 母體平均值 之95%信賴區間: 因為樣本平均值的抽樣分佈為 所以 ， 而標準化後 𝑃 − 𝑍 𝛼/2 ≤ 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑥 ≤ 𝑍 𝛼/2 =1−𝛼 𝑃 −1.96≤ 𝑥 −𝜇 𝜎 𝑥 ≤1.96 =0.95

母體平均值之信賴區間估計 信心水準0.95，所以 𝑃 𝑥 − 𝑍 𝛼/2 𝜎 𝑥 ≤𝜇≤ 𝑥 + 𝑍 𝛼/2 𝜎 𝑥 =1−𝛼 𝑃 𝑥 − 𝑍 𝛼/2 𝜎 𝑥 ≤𝜇≤ 𝑥 + 𝑍 𝛼/2 𝜎 𝑥 =1−𝛼 𝑃 𝑥 −1.96 𝜎 𝑥 ≤𝜇≤ 𝑥 +1.96 𝜎 𝑥 =0.95 或

母體平均值之信賴區間估計 同理99%信賴區間： 或 90%信賴區間： 或

母體平均值之信賴區間估計 設今隨機抽樣40位攝取魚油婦女並觀察所生小孩的發育情形，在兩歲半時的平均身高為90.2公分，而根據過去資料顯示，其標準差σ=2.6 公分，試求母體平均均值 μ 之95%信賴區間。 下限 上限 故μ 之95% 信賴區間為

信賴區間的意義 信賴區間如同點估計量一樣皆是隨機變數，而非固定值， 因此我們才能討論區間包含母體參數的機率。 自母群體中重複抽取100次相同樣本數之樣本資料，計算 100個95%信賴區間，則大約會有95個95%信賴區間會包含 μ，而大約有5個95%信賴區間不包含μ。 信賴區間長度(b-a)可視為樣本估計值的精密度 (precision)指標，而信心水準則是準確性(accuracy)指標。 由母體平均值信賴區間的例子中可知信賴區間長度僅跟 點估計量的標準誤和信心水準有關，標準誤愈小或者信 心水準愈小則信賴區間愈短。

假設檢定(Hypothesis Testing) 以數據的經驗證據(Empirical evidence)做出資訊決策 (Informed Decision)。 決策的方式只有兩種:是或否(Yes or No?)。 數據的經驗證據來自樣本資料。 決策是推論至整個母體。 問題: 經過政府大力宣導與嚴格執法，今年酒駕車禍是否較 去年減少? (Yes or No?) 進口牛肉產品(農產品)內瘦肉精是否過高(超出政府所 訂的標準)? (Yes or No?) 孕婦補充魚油，是否能提高幼兒手眼協調能力? (Yes or No?)

統計假設檢定(Statistical Hypothesis Testing) 統計方法進行決策的過程(Decision-Making Process)， 將探討的問題二分為兩種假說： 虛無假設(Null Hypothesis，Ho) 對立假設(Alternative Hypothesis，Ha) 對立假設：通常對立假設陳述是研究者想探究問題， 例如兩族群平均有差異或兩者相關(所感興趣) 虛無假設：通常虛無假設陳述是兩者無關、維持原狀 或具有一致性(不感興趣)

例：以懷孕婦女攝取魚油與否對小孩發育影響之研究 為例，研究目的想證明孕婦補充魚油，能提高幼兒手 眼協調能力，所以建立的假設分別為: H0：攝取魚油孕婦與未攝取魚油孕婦所生小孩手眼協 調能力相同； Ha：攝取魚油孕婦與未攝取魚油孕婦所生小孩手眼協 調能力不同； 若藥廠要證明所研發的新藥有療效 H0：無療效 Ha：有療效 vs. vs.

兩類型錯誤(two types of error) 根據假設檢定程序，以推論某樣品是否抽自母體平均值為 μ0 的族群，但此推論結果並非百分之百正確，而可能有四 種情形產生。 這四種情形中，包含了兩類型的錯誤，而且兩種錯誤並不 會同時發生。

型一與型二錯誤(TypeⅠ&TypeⅡError) H0：攝取魚油孕婦與未攝取魚油孕婦所生小孩手眼協調能力相同； Ha：攝取魚油孕婦與未攝取魚油孕婦所生小孩手眼協調能力不同； 事實(Truth) 決策(Decision) H0：攝取魚油與否與小孩手眼協調能力無關 Ha：攝取魚油與否與小孩手眼協調能力有關 無法拒絕H0 Not reject H0 決策正確 1-α 型二錯誤 β 拒絕H0 Reject H0 型一錯誤 α 1-β

兩種型式錯誤 樣本確實抽自母體平均值為 μ0的族群，而檢定的結果為接 受H0的假說，故這樣的推論是正確的，而此推論正確的機 率為1-α。 樣本確實抽自母體平均值為 μ0的族群，而檢定的結果為拒 絕H0的假說，也就是接受Ha的假說，故這樣的推論是錯誤 的，這種錯誤在統計學上稱為型一錯誤(typeⅠerror)，其 錯誤率為α。 樣品確實不是抽自母體平均值為 μ0的族群，而檢定的結果 為接受H0的假說，故這樣的推論是錯誤的，這種錯誤在統 計學上稱為型二錯誤(typeⅡerror)，其錯誤率為β。 樣品確實不是抽自母體平均值為 μ0的族群，而檢定的結果 為拒絕H0的假說，也就是接受Ha的假說，故這樣的推論是 正確的，而此推論正確的機率為1-β，在統計學上稱為檢 定力(test of power)。

兩種型式錯誤的關係 臨床上對於糖尿病初期診斷最常使用的是空腹 血糖值測定，正常人空腹血糖值平均是100 mg/dl，標準差為8.5 mg/dl，而糖尿病患者空腹 血糖值平均為 126 mg/dl，標準差為15.0 mg/dl， 假設兩族群的空腹血糖值皆為常態分佈。假如 現在想利用空腹血糖值來建立一個簡單的診斷 是否有糖尿病的診斷工具，假如空腹血糖值大 於切點Ｃ則判定有糖尿病，反之，小於切點Ｃ 則無糖尿病，下圖是以C=115為切點下，型一 錯誤及型二錯誤的關係

由圖示中可看出當我們把切點提高時，型一錯誤機率降低，但同時卻升高了型二錯誤的機率。

P值(P-values)計算 P值是計算在虛無假設成立時，比觀測的檢定統計 值更極端(與虛無假設不一致)的機率。 P值可視為當虛無假設成立時，依據資料會拒絕虛 無假設的”風險”(risk)，當風險很小時，我們當然傾 向拒絕虛無假設，所以當這風險小於我們設定的顯 著水準α時，我們就有充分證據來拒絕虛無假設。

例子:P值(P-values)計算 今收集30位糖尿病患的收縮壓資料，欲檢定糖尿病患的平均收 縮壓是否大於正常平均值的130mmHg，考慮以下的假設檢定： 𝐻 0 :𝜇=130 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝐻 𝑎 :𝜇>130 關於母體平均數的檢定，其檢定統計量為樣本平均數（ 𝑋 ），假 設30筆資料的樣本平均值為138.5。 根據中央極限定理可知當樣本數夠大時，則樣本平均值的抽樣 分佈為常態或近似常態分配，且此分配的期望值為母體平均值 μ=130且標準差為σ/ 𝑛 ，假設母體標準差σ=20為已知。

例子:P值(P-values)計算 P值可計算如下： 計算右尾機率可得P值，此例計算之P值小於我們設定的顯著水 準α=0.05，我們就有充分證據來拒絕虛無假設，可以推論資料 來自於對立假設的母體分布，即糖尿病患的平均收縮壓大於正 常平均值的130mmHg。 P 𝑋 >138.5 𝜇=130 =P 𝑋 −130 20 30 > 138.5−130 20 30 =𝑃 𝑍>2.3278 =0.00996

檢定方法的建立步驟 依據研究目的設立虛無H0及對立假設Ha，並設定顯著水準α； 找出適當的檢定統計量T及其在虛無假設下的抽樣分佈； 利用設定的顯著水準及檢定統計量在虛無假設下的抽樣分佈， 計算出拒絕虛無假設的區域作為檢定結果的判斷準則； 將蒐集的資料帶入計算檢定統計值，計算P值或是否落於拒絕域 中，做出結論及解釋。P值若小於顯著水準α，則拒絕虛無假設； 反之，則無法拒絕虛無假設。

參考資料 康活健康知識網—醫學疾病類科(小兒科Apr. 2011- - 補充魚油DHA幫助神經發育，節錄部份) Pagano M and Gauvereau K. (2000). Principles of Biostatististics. Duxbury. (2E) Beth Dawson, Robert G. Trapp. (2004). Basic & Clinical Biostatistics, 4/E, McGraw Hill Professional.

作業(1~2) 1. 當樣本數增加時，請解釋下列敘述何者為真或錯誤: (1) 樣本標準差變小； (2) 樣本平均值的標準誤變小； (3) 樣本平均值變小； (4) 全距變大。 2. 關於母體平均值的95%信賴區間，請解釋下列敘述何者為 真或錯誤: (1) 此信賴區間會包含95%的觀測資料； (2) 95%信賴區間會比99%信賴區間寬； (3) 此區間包含樣本平均值的機率為1； (4) 重複抽樣計算此信賴區間，大概有95%的區間會 包含母體平均值； (5)信賴區間可當成評估估計值精密度的指標。

作業(3~6) 3. 請解釋何謂信心水準及信賴區間? 4. 某教學醫院一外科醫生正在調查65歲以上發生中 風的情形。作為一個初探性（pilot study）的研究， 他考察了醫院的病歷紀錄下，指出在過去10年在這 個年齡層所發現的120例患者中，經診斷證實後分別 為73名女性和47名男性。請以中央極限定理，計算 65歲以上發生中風女性比例之95％信賴區間。 5. 請敘述統計學上型一及型二錯誤之意義。 6. 請解釋何謂顯著水準α及P值?當P值小於顯著水準 α時，我們的決策應該是接受虛無假設或對立假設?

The End