Lecture 12 因素分析

因素分析的作用 資料的縮減或簡化：根據變項間的相互關係，將資料「縮減」或「簡化」成較少的「因素」或「成分」但仍能解釋變項間的相互關係。 … 變數1 變數2 變數3 因素甲 因素乙 因素丙 … 變數P

因素分析的應用 探索性 驗證性 作為測量的工具 探討一套變項間有哪些共同因素，例如：某一數學成就測驗共有四個分測驗，若將每一分測驗的分數視為一變項，想探討這些分測驗係測量哪些共同因素（心理特質）？ 驗證性 依據因素分析所得知共同因素，來驗證當初對變項的建構所做的假設是否正確（在心理測驗的編製上稱為「建構效度」）。例如：編製態度量表時，依據理論，態度包含認知、情意及行為三個層面，欲透過因素分析驗證態度量表各試題（變項）間是否出現這三個共同因素。 作為測量的工具 計算成分分數，當作新變數，作為往後分析之用

探索性因素分析的實例 字彙測驗 倒背數字測驗 數學推理測驗 語文 數 語文流暢測驗 故事推理測驗 四則運算測驗

驗證性因素分析的實例 試題 認知 試題 認知 試題 試題 情意 情意 試題 試題 試題 行為 行為 試題 試題

探索性因素分析進行的步驟 編製測驗 施測並計分 製作相關係數矩陣 抽取共同因素並計算各題在各因素上之組型負荷量（pattern loading） 進行轉軸並計算各題在各因素上之結構負荷量（structure loading）

驗證性因素分析進行的步驟 確定測驗應包含的因素 根據因素分別命題 施測並計分 製作相關係數矩陣 抽取共同因素並計算各題在各因素上之組型負荷量（pattern loading） 進行轉軸並計算各題在各因素上之結構負荷量（structure loading） 檢驗所得的因素是否與理論假設相同

因素分析的類別 Defined Factors 主要成分法 因素抽取的方式 主軸法 Inferred Factors Rao法 Alpha法 Image法

Defined Factors 將因素定義為全然是原來資料的數學轉換 Zj=aj1F1+aj2F2+aj3F3+…+ajnFn（F為因素，彼此互為正交） 針對第一主要成分（F1）而言： Y1=a11X1+a12X2+a13X3+…+a1pXp（X為變數）

Inferred Factors 對於因素的建構及因素的變異來源有推論上的假定 Zj=aj1F1+aj2F2+aj3F3+…+ajmFm+djUj 共同性 獨特性 （J=1..n, m<n）

因素分析的類別 斜交轉軸 oblique 轉軸的方式 Varimax 正交轉軸 Quartimax Equimax

因素的轉軸 未轉軸前 轉軸後 因素1 因素2 變數A 變數B 變數C 變數D 變數E .75 .69 .80 .85 .76 .63 .57 .49 -.42 .14 .18 .94 .92 .95 .90 .09 .07

因素的轉軸 因素2 A B C 因素1 D E

因素分析前之資料檢視 相關係數矩陣 相關係數不能過低或過高（＞.85）

因素分析前之資料檢視 淨相關矩陣（Partial Correlations Controlling all other Variables） 淨相關均應低

因素分析前之資料檢視 抽樣適合性指數（Kaiser's Measure of Sampling Adequacy） MSA 意含 .90以上 .80以上 .70以上 .60以上 .50以上 .50以下 極佳 頗好 中度 不好不壞 貧弱 無法接受

進行因素分析 共同性（communality，h2）的最初估計值 意義 推估法 各變項與其他變項所共有的共同特質 主要成分法（principal component analysis）：將共同性定為1 主軸法：以其他變項來預測該變項的決定係數（複相關的平方）

進行因素分析 初步共同因素抽取的結果 特徵值（Eigenvalue）：愈大代表此一因素愈重要 解釋百分比（Proportion）：此一因素能解釋全部變異的百分比

進行因素分析 坡度圖（Scree Plot）：用以決定應取幾個共同因素較適切

進行因素分析 以遞代法（Iteration）推估共同性

進行因素分析 以遞代法（Iteration）推估共同性

以推估出之共同性抽取因素 縮減相關矩陣（Reduced Correlation Matrix）：將原相關矩陣之對角線以推估出之共同性代入後之矩陣

以推估出之共同性抽取因素 各共同因素之特徵值及解釋百分比

以推估出之共同性抽取因素 縮減相關矩陣（Reduced Correlation Matrix）：將原相關矩陣之對角線以推估出之共同性代入後之矩陣

以推估出之共同性抽取因素 組型負荷量（pattern loading）矩陣 根據Kaiser的標準，保留特徵值大於1的共同因素 計算各變項在各因素上的負荷量，亦即組型負荷量（未轉軸前的負荷量）

因素分析後之檢驗 殘差相關矩陣（Residual Correlations With Uniqueness on the Diagonal） 對角線為各變項之獨特性 獨特性＝1－ 共同性 其餘為殘差相關 殘差相關＝原有相關－共同因素能解釋兩變項之相關 共同因素能解釋兩變項之相關＝兩變項在各因素組型負荷量相乘積之和 殘差均方之根號（Root Mean Square Off-diagonal Residuals） 淨相關矩陣（Partial Correlations Controlling Factors）

進行轉軸 組型負荷量圖（未轉軸前之負荷圖）

進行轉軸 組型負荷量圖（未轉軸前之負荷圖）

進行轉軸 正交轉換矩陣

進行轉軸 結構負荷量（structure loading）矩陣－轉軸後之因素負荷量矩陣 將未轉軸之因素負荷量矩陣乘以正交轉換矩陣可得之 相關數值的意義 因素負荷量：各變項與各因素的相關，愈大者代表該變項與該因素愈有關係 共同性：各因素負荷量平方和（解釋力） h2=f12+f22+f32+…+fn2 特徵值：所有變項在某一因素之負荷量之和 轉軸後之因素負荷量圖

進行轉軸 組型負荷量圖（未轉軸前之負荷圖）