第六章　折現現金流量評價

6.1　多期現金流量的現值和終值 6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 6.3　利率的比較：複利的功效 6.4　貸款種類與分期償還貸款

6.1　多期現金流量的現值和終值 多筆現金流量的終值 假設你今天存入 $100 在 8% 利率的帳戶內。一年後你再存入另外 $100。兩年後你會有多少錢呢？

6.1　多期現金流量的現值和終值

6.1　多期現金流量的現值和終值 範例 6.1　儲蓄問題的再探討 你將在未來三年的每一年年底，存 $4,000 進入年利率 8% 的銀行帳戶內。目前你在該帳戶中有 $7,000。三年後你將擁有多少錢？四年後呢？

6.1　多期現金流量的現值和終值 在第一年年底，你將擁有： 　　$7,000×1.08＋4,000＝$11,560 在第二年年底，你將擁有： 　　$11,560×1.08＋4,000＝$16,484.80 第三年年底： 　　$16,484.80×1.08＋4,000＝$21,803.58 第四年年底你將擁有： 　　$21,803.58×1.08＝$23,547.87。

6.1　多期現金流量的現值和終值 範例 6.2　再談儲蓄 如果你在一年後存入 $100，兩年後存入 $200，三年後存入 $300，那麼，在第三年年底你將有多少錢？其中多少是利息？如果你不再存入款項，五年後你將擁有多少錢？假設年利率為 7%。

6.1　多期現金流量的現值和終值 利息總共是： 　　$628.49－(100＋200＋300)＝$28.49

6.1　多期現金流量的現值和終值 五年後你會擁有多少錢呢？ 　　$628.49×(1.07)2＝$628.49×1.1449＝$719.56 也可以分別計算每一筆存款的終值。

6.1　多期現金流量的現值和終值 多期現金流量的現值 假設你一年後需要 $1,000，兩年後需要 $2,000。如果你的投資可以賺得 9% 的報酬，那麼，你現在應該存入多少，才能滿足未來所需的這些金額呢？ 兩年後 $2,000 的現值為： 　　$2,000/(1.09)2＝$1,683.36 一年後 $1,000 的現值為： 　　$1,000/1.09＝$917.43 總現值為： 　　$1,683.36＋917.43＝$2,600.79

6.1　多期現金流量的現值和終值 假設我們有一項投資在未來五年的每年年底可回收 $1,000。求出此項投資的現值。 可先將個別的 $1,000 折現回來，然後再全部 　 加起來。 (2) 將最後一筆現金流量折現至前一期，再加上 　 前一期的現金流量（倒數第二期）一直重複　 到現在（第 0 期）：

6.1　多期現金流量的現值和終值

6.1　多期現金流量的現值和終值

6.1　多期現金流量的現值和終值 範例 6.3　價值多少呢？ 　　有項投資將在一年後付你 $200、兩年後付你 $400、三年後付你 $600、四年後付你 $800。類似投資的報酬率為 12%。那麼，這項投資你至多會付多少錢呢？

6.1　多期現金流量的現值和終值 你最多願意付 $1,432.93。

6.1　多期現金流量的現值和終值 計算機提示 如何使用財務計算機去計算多筆現金流量之現值

6.1　多期現金流量的現值和終值 策略試算表 如何使用試算表計算多期現金流量的現值

6.1　多期現金流量的現值和終值 範例 6.4　價值多少呢？第二部份 某項投資將分三次回收，每次回收 $5,000。第一次回收是在四年後，第二次回收是在五年後，第三次回收則在六年後。如果你可以賺得 11% 的報酬。這項投資在今天最多值多少？而此現金流量的終值是多少？

6.1　多期現金流量的現值和終值 現金流量在六年後的終值為： 50,000×(1.11)2＋5,000×(1.11)＋5,000＝$16,710.50 現值必為： 　　$16,710.50/(1.11)6＝$8,934.12

6.1　多期現金流量的現值和終值 [驗算看看]。分別計算每一筆現金流量，得到的現值是：

6.1　多期現金流量的現值和終值 現金流量時點 假設你知道有一個三年期的投資，第一年現金流量為$100，第二年為$200，第三年為$300。如果要你畫出一條時間線，若沒有其他說明時，你應該假設時間線如下所示： 注意，在這條時間線上，每一筆現金流量發生在年底。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 普通年金（annuity）在某段固定期間內，發生在每期期末的一連串固定現金流量，或者是說，現金流量呈現普通年金形式（ordinary annuity form）。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 年金現金流量的現值 　　假設某項投資在未來三年的每年年底均可回收 $500。這項投資的現金流量是三年期間的 $500 年金。如果我們要求 10%　報酬率，我們現在對此年金願付出多少錢呢？

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 當報酬率或利率為 r 時，期數為 t 期，每期現金流量為 C 的情況下，此年金現值為： 第一行括弧內的項目稱為年金現值利率因子（present value interest factor for aninuities），縮寫為 PVIFA (r, t)。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 計算機提示 年金現值

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 範例 6.5　你付得起多少呢？ 　　在仔細評估過你的預算後，你決定以月付 $632 的方式，來購買一輛新車。你打電話給本地銀行，查知現行 48 個月期月利率是 1%。那麼，你可以借到多少錢呢？ 　　年金現值因子＝(1－現值因子)/r 　　　　　　　　＝[1－(1/1.0148)]/0.01 　　　　　　　　＝(1－0.6203)/0.01 　　　　　　　　＝37.9740 現值＝$632×37.9740＝$24,000

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 年金表 有普通現值因子表，也有年金現值因子表。表 6.1 列出部份年金現值利率因子，附錄中的表 A.3 則列示較多的因子。要找出範例 6.5 所求得的年金現值因子，只要沿著期數 3 的那一列，對照到 10% 那一欄，交叉的這一格就是 2.4869，和之前計算出來的一樣。試著計算一些因子，然後和表上的答案對照，以確認知道如何計算。若使用財務計算機，只要輸入 $1 作為付款額，然後計算現值，結果應該就是年金現值因子了。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 找出付款額　假設你打算經營時下最流行的健康食品冷凍犛牛奶。為了生產及行銷這項新產品，Yakkee Doodle Dandy，你須借款 $100,000。但你深信這股風潮只是一時的流行，不會持續太久，所以，你打算分五年定額迅速地還清這筆借款。若利率是 18%，則每年的還款是多少呢？

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 現值是 $100,000，利率是 18%，期間是五年，每期付款金額相同。 每年的付款金額略少於 $32,000。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 策略試算表 年金每期付款額

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 計算機提示 年金支付

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 策略試算表 年金每期付款額

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 範例 6.6　找出還款期數 你在春假期間因為錢不夠用，所以用信用卡簽帳 $1,000，但你只付得起最低付款額 $20。假設信用卡的利率是每月 1.5%，那麼，你需要多久時間才能把這 $1,000 的帳款還清呢？

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 每月 $20 的年金現金流量，月利率 1.5%，期數則未知，現值是 $1,000。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 問題變成：「在每個月 1.5% 利率下，要多少期間，你的錢才會變成 4 倍呢？」答案是大約 93 個月： 　　　(1.015)93＝3.99≈4 大約要花 93/12＝7.75 年才能還清這 $1,000 的欠款。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 計算機提示 求期數

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 找出折現率　例如，保險公司願意每年支付你 $1,000 計十年，只要你現在給付 $6,710。這個十年年金所隱含的利率是多少呢？ 　　　$6,710＝$1,000×[(1－現值因子)/r] 　　$6,710/1,000＝6.71＝{1－[1/(1＋r) 10]}/r 十期的年金因子是 6.71，利用查表或是試誤法（trial and error）以求得 r。r 為 8% 的報酬率。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 [如何使用試誤法]，假設有位親戚想向你借 $3,000，並將在接下來四年每年還你 $1,000。根據這些已知條件，她付給你的利率是多少？ (1) 假設以 10% 為起始利率， 　 年金現值因子＝[1－(1/1.104)]/0.10＝3.1699 　 現值＝$1,000×3.1699＝$3,169.90

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 (2) 現值太高了，表示，折現率太低了。試 12%： 　 現值＝$1,000×{[1－(1/1.124)]/0.12}＝$3,037.35 (3) 試13%： 　 現值＝$1,000×{[1－(1/1.134)]/0.13}＝$2,974.47 所以，答案就介於 12% 和 13% 之間，大約是在 12.5% 左右。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 計算機提示 求利率

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 年金終值 年金終值因子就是： 　　年金終值因子＝(終值因子－1)/r 　　　　　　　　＝[(1＋r)t－1]/r 假設你每年存 $2,000 到利率 8% 的退休金帳戶，那麼，30 年後退休時，戶頭裡會有多少錢？

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 年數 t 是 30 年，利率 r 是 8%， 　　年金終值因子＝(終值因子－1)/r 　　　　　　　　＝(1.0830－1)/0.08 　　　　　　　　＝(10.0627－1)/0.08 　　　　　　　　＝113.2832 30 年期 $2,000 年金的終值是： 　　年金終值＝$2,000×113.28 　　　　　　＝$226,566

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 計算機提示 年金終值

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 期初年金 期初年金（annuity due）的現金流量發生在每期期初。所有期初預付相等款項的現金流量都是期初年金。 假設，有一項每期 $400 的五期期初年金，攸關折現率是 10%。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 (方法 1) 類似於四年期的普通年金加上（現值為$1,267.95）在時點 0 時的 $400，共計 $1,667.95。 (方法 2) 假設現金流量發生在期末（但實際上卻是發生在期初）以普通年金處理，再將會多折現一期。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 永續年金 有一種特別年金，它的現金流量是永遠持續下去。這種年金稱為永續年金（perpetuity）。永續年金在加拿大和英國又稱為統合公債（consols）。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 　　永續年金之現值＝C/r 例如　一項投資可獲得每年 $500 永續現金流量，報酬率是 8%。這項投資的價值是多少？ 　　永續年金之現值＝C/r＝$500/0.08＝$6,250

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 範例 6.7　特別股 特別股（preferred stock 或 preference stock）是永續年金中的一個重要例子。當一家公司發行特別股時，購買者所得到的承諾是每期（通常是每季）持續地領取固定的現金股利。特別股股利優先於普通股股利的發放，所以是特別的（preferred）。

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 假設 Fellini 公司擬以每股 $100 發行特別股。已經流通在外的類似特別股的每股價格是 $40，每季股利 $1。如果 Fellini 要發行這支特別股，它必須提供多少股利？

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 特別股之現值是 $40，現金流量是永續的每季 $1： 　　現值＝$40＝$1×(1/r) 為了吸引投資者，每季（per quarter）應該發放 2.5% 的股利。如果現值是 $100，股利就是： 　　現值＝$100＝C×(1/0.025) 　 C＝$2.50（每季）

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 成長型普通年金與永續年金 假定我們觀察一個給付期二十年的彩券，一年後的第一次給付金額會是 $200,000。之後每一年的給付金額會增加 5%，如果折現率為 11%，那年金的現值是多少呢？ 以 g 代表成長率，可以使用修正版的普通年金公式來計算成長型普通年金的現值：

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金

6.2　評估均等現金流量：年金和永續年金 另一個公式可用來計算成長型永續年金的現值： 於前例中，假定給付會永遠持續下去：

6.3　利率的比較：複利的功效 有效年利率和複利 如果年利率是 10%，每半年複利一次，那麼，實際上這項投資的六個月報酬是 5%。問題是：半年 5% 的利率和每年 10% 的利率是一樣嗎？ (1) 在 10% 年利率下投資 $1，一年後你將擁有 $1.10。 (2) 在每六個月 5% 的利率下投資 $1，在兩期後（即一年） 　 的終值是： 　　$1×(1.05)2＝$1.1025 多了 $0.0025。因為第一個六個月的利息 $0.05 在接下來的六個月賺取 5% 的利息。因此多出了 $0.05×0.05＝$0.0025。

6.3　利率的比較：複利的功效 半年複利一次的 10% 年利率相當於年利率 10.25%。 在這個例子裡，10% 稱為設定利率（stated interest rate），或牌告利率（quoted interest rate）。 10.25% 則是你實際賺得的，稱為有效年利率（effective annual rate, EAR）。

6.3　利率的比較：複利的功效 計算和比較有效年利率 假設你有下列三種利率報價： 　　A 銀行：15%，每日複利 　　B 銀行：15.5%，每季複利 　　C 銀行：16%，每年複利 如果要開一個儲蓄帳戶，哪一家銀行的利率最好呢？如果上述是貸款利率，那麼又是哪一家銀行的利率最好呢？

6.3　利率的比較：複利的功效 A 銀行每天複利日利率： 　　　0.15/365＝0.000411 　365 次後就變成： 　　　$1×(1.000411)365＝$1.1618 B 銀行每季付 0.155/4＝0.03875＝3.875%。四季後　就變成： 　　　$1×(1.03875)4＝$1.1642 C 銀行提供的是 16% 的年利率。

6.3　利率的比較：複利的功效 計算 EAR 有三個步驟：(1) 把牌告利率除以複利期數；(2) 將加 1，並以複利期數為次方；(3) 將 (2) 的結果減掉 1，就是 (1) EAR。令 m 為一年中的複利期數： 　　EAR＝[1＋(牌告利率/m)]m－1

6.3　利率的比較：複利的功效 某項投資的牌告利率為1 2%，每月複利計息，所以 m 是 12。

6.3　利率的比較：複利的功效 範例 6.8　EAR 是多少？ 某家銀行提供 12% 利率，每季複利一次。如果你存入 $100 到這家銀行，一年後你將有多少錢？EAR 是多少？兩年後你又將有多少錢呢？ 每季利率是 12%/4＝3%。把 $100 投資 4 期： 　終值＝$100×(1.03)4 　　　＝$100×1.1255 　　　＝$112.55 EAR 是 12.55%。

6.3　利率的比較：複利的功效 兩年後你所擁有的錢。(方法 1) 把兩年看成 8 季，每季 3%。 　　$100×(1.03)8＝$100×1.2668＝$126.68 (方法 2) 利用 EAR，也就是 12.55% 來計算這筆錢在兩年後的價值： 　　$100×(1.1255)2＝$100×1.2688＝$126.68

6.3　利率的比較：複利的功效 範例 6.9　牌告利率 既然已經知道如何將牌告利率轉換成 EAR，我們來看看反方向的轉換。身為放款人，你想從一筆放款中賺取 18% 的利息，而且你想以每月複利計息的方式報價。那麼，放款的牌告利率應是多少呢？

6.3　利率的比較：複利的功效 EAR 為 18%，這是每月複利的結果。令 q 為牌告利率： 利率可設定為 16.68%，採每月複利計息。

6.3　利率的比較：複利的功效 EARs 和 APRs 年百分率（annual percentage rate, APR）就是一年中每期的利率乘以該年中的期數。就是我們前面討論過的設定利率或牌告利率。例如：如果銀行對汽車貸款收取每月 1.2% 的利息，那麼 APR 就是 1.2%×12 ＝ 14.4%。 例如：採月付款方式，APR 為 12% 的貸款，實際上每個月利率是 1%： 　　EAR＝[1(APR/12)]12－1 　　　　＝(1.01)12－1＝12.6825%

6.3　利率的比較：複利的功效 範例 6.10　你付出多少利息？ 典型的信用卡發卡銀行均設定 APR 為 18%，而且消費者要每月償還款項。這種信用卡的實際利率是多少呢？ 每月利率為 0.18/12＝0.015。因此，EAR 是： 　　EAR＝[1(0.18/12)]12－1 　　　　＝(1.015)12－1 　　　　＝1.1956－1＝19.56%

6.3　利率的比較：複利的功效 是誠實存款法（truth-in-saving laws）要求銀行或其他借款人針對存款帳戶所公佈年百分殖利率（annual percentage yield, APY）。其實就是 EAR 的報價利率（APYs）。

6.3　利率的比較：複利的功效 例如，在美國的某一州，消費者交付 AmeriCash Advance 公司一張面額 $120 的 15 天遠期支票，而 AmeriCash Advance 則交付 $100 現金給消費者，請問這筆交易的 APR 和 EAR 是多少呢？ 　　　終值＝現值×(1＋r)1 　　　$120＝$100×(1＋r)1 　　　 1.2＝(1＋r) 　　　 　 r＝0.20 或 20%　15 天的利率

6.3　利率的比較：複利的功效 APR＝0.20×365/15 APR＝4.8667 或 486.67% EAR＝(1＋牌告利率/m)m－1 EAR＝(1＋0.20)365/15－1 EAR＝83.4780 或 8,347.80%

6.3　利率的比較：複利的功效 極限型的連續複利 以 q 代表牌告利率，當複利次數非常非常大時： 　　EAR＝eq－1 意思為說錢是連續地（continuously）或是瞬間地（instantaneously）複利。

6.3　利率的比較：複利的功效 例如，以 10% 來說，最大的 EAR 為： 所以金額是持續不斷地成長的。

6.3　利率的比較：複利的功效

6.3　利率的比較：複利的功效 範例 6.11　法律有何規定？ 　　在很久以前，商業銀行和儲貸機構（&s）的儲蓄存款利率都有上限。在 Q 條款（Regulation Q）下，S&Ls 最多只能支付 5.5% 的利率，而銀行則不能支付超過 5.25%（其概念是為了要增加 S&Ls 的競爭力；但是並沒有用）。然而，Q 條款並沒有規定複利的期間。那麼，在 Q 條款下，利率上限是多少呢？

6.3　利率的比較：複利的功效 最大可能利率是發生在連續複利，或稱為瞬間複利時。5.25% 的連續複利為： EAR＝e0.0525－1 　　＝2.718280.0525－1 　　＝1.0539026－1 　　＝5.39026% S&Ls 可以支付到 5.65406%。

6.4　貸款種類與分期償還貸款 純折價貸款 　　純折價貸款（pure discount loan）是最簡單的一種貸款。借方在今天收到錢，在未來某個時點一次償還本息。

6.4　貸款種類與分期償還貸款 假設借款人在五年後將償還 $25,000，如果我們想從這筆貸款中賺得 12% 的利息，至多借他多少錢呢？ 　　現值＝$25,000/1.125 　　　　＝$25,000/1.7623 　　　　＝$14,186

6.4　貸款種類與分期償還貸款 範例 6.12　國庫券 美國政府需要短期借款（一年或少於一年）時，就發行所謂的國庫券（Treasury bills或T-bills）。國庫券是政府承諾在未來某時點，例如 3 個月或 12 個月後，償還一筆固定金額的有價證券。

6.4　貸款種類與分期償還貸款 國庫券是純折價貸款。如果一張國庫券在 12 個月後償還 $10,000，而市場利率是 7%，那麼，這張國庫券在市場上可以賣多少錢呢？ 　　現值＝$10,000/1.07＝$9,345.79

6.4　貸款種類與分期償還貸款 純付息貸款 純付息貸款（interest-only loans）是借款人每期必須支付利息，然後在未來某時點償還全部本金。如果只有一期，那麼純折價貸款和純付息貸款是完全一樣的。 例子，某項三年期，利率 10% 的 $1,000 純付息貸款。 (1) 在第一年和第二年年底借款人必須支付 $1,000×0.10＝　 $100 的利息。 (2) 第三年年底時，借款人必須償還本金 $1,000 和該年的　 利息 $100。

6.4　貸款種類與分期償還貸款 分期償還貸款 分期償還貸款（amortized loan），放款人可能要求借款人分期償還本金。定期攤還本金的過程就稱為貸款本金的分期攤還（amortizing）。 例如，某公司借款 $5,000，為期五年，利率 9%。借款合約規定借款人每年支付借款的利息，及償還 $1,000 的借款本金。

6.4　貸款種類與分期償還貸款 因為借款本金每年減少 $1,000，五年後就全部還清。 但每年的總付款額遞減 第一年的利息是 $5,000×0.09＝$450，總付款額是 $1,000＋450＝$1,450； 第二年時，貸款餘額剩下 $4,000，利息費用是 $4,000×0.09 ＝ $360，總付款額就是 $1,360。 分期償還貸款表（amortization schedule）如下：

6.4　貸款種類與分期償還貸款

6.4　貸款種類與分期償還貸款 例如，前述五年期，利率 9%，$5,000 的貸款若採取這種償還方式，分期償還貸款表應該是什麼樣子呢？ 貸款的現金流量就是普通年金形式。 　　$5,000＝C ×{[1－(1/1.095)]/0.09} 　　　　 ＝C ×[(1－0.6499)/0.09] 　　C＝$5,000/3.8897＝$1,285.46

6.4　貸款種類與分期償還貸款 在這個例子裡，已知總付款額。因此，先計算利息，然後從總付款額中減掉利息，剩下的就是償還本金的金額。 　　第一年的利息是 $450 　　本金償付＝$1,285.46－450＝$835.46 　　期末貸款餘額＝$5,000－835.46＝$4,164.54 第二年的利息是 $4,164.54×0.09＝$374.81， 貸款餘額減少了 $1,285.46－374.81＝$910.65。

6.4　貸款種類與分期償還貸款

6.4　貸款種類與分期償還貸款 範例 6.13　部份分期償還貸款 （partial amortization） 一種常見的不動產貸款是將 5 年期借款以更長的期限（譬如說 15 年）來分期償還。也就是說，借款人以 15 年分期償還為基礎，每月付固定金額。然而，60 個月後，借款人必須以一筆高出前面每月付款的金額，稱為「汽球式付款」（balloon），來還清所有貸款。因為每個月所支付的金額（以 15 年為計算基礎）低於一般5年分期償還的金額，所以這種貸款稱為部份分期償還貸款。

6.4　貸款種類與分期償還貸款 假設有一筆 $100,000 的商業大樓抵押貸款，APR 為 12%，分 20 年（240 個月）償還。並且，假設這項貸款期限是五年。那麼，每月的部份分期付款額是多少？五年後最後一筆汽球式付款是多少呢？

6.4　貸款種類與分期償還貸款 每月的付款額就是現值為 $100,000 的普通年金之每月現金流量。共有240期，每個月利率是 1%，所以付款額為： 　　 $100,000＝C ×[1(1/1.01240)/0.01]＝C ×90.8194 　　　　　C＝$1,101.09

6.4　貸款種類與分期償還貸款 計算五年後的最後一筆汽球式付款的方法有 2：(1) 複雜的方法是編製 60 個月分期償還貸款表。(2) 簡單的方法則是找出 60 個月後，所剩下 240－60＝180 個月貸款在當時（即 60 個月後）的現值。 　　貸款餘額＝$1,101.09×[1－(1/1.01180)/0.01] 　　　　　　＝$1,101.09×83.3217 　　　　　　＝$91,744.69 最後一筆汽球式付款是 $91,744。

6.4　貸款種類與分期償還貸款 策略試算表 使用試算表求算貸款分期償還 貸款分期償還是試算表的一種很普遍的應用；我們以前述五年期，利率 9%，$5,000 的貸款問題為例，試算表就如下所示：

6.4　貸款種類與分期償還貸款