第六章 折現現金流量評價.

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第六章 折現現金流量評價

6.1 多期現金流量的現值和終值 6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 6.3 利率的比較:複利的功效 6.4 貸款種類與分期償還貸款

6.1 多期現金流量的現值和終值 多筆現金流量的終值 假設你今天存入 $100 在 8% 利率的帳戶內。一年後你再存入另外 $100。兩年後你會有多少錢呢?

6.1 多期現金流量的現值和終值

6.1 多期現金流量的現值和終值 範例 6.1 儲蓄問題的再探討 你將在未來三年的每一年年底,存 $4,000 進入年利率 8% 的銀行帳戶內。目前你在該帳戶中有 $7,000。三年後你將擁有多少錢?四年後呢?

6.1 多期現金流量的現值和終值 在第一年年底,你將擁有:   $7,000×1.08+4,000=$11,560 在第二年年底,你將擁有:   $11,560×1.08+4,000=$16,484.80 第三年年底:   $16,484.80×1.08+4,000=$21,803.58 第四年年底你將擁有:   $21,803.58×1.08=$23,547.87。

6.1 多期現金流量的現值和終值 範例 6.2 再談儲蓄 如果你在一年後存入 $100,兩年後存入 $200,三年後存入 $300,那麼,在第三年年底你將有多少錢?其中多少是利息?如果你不再存入款項,五年後你將擁有多少錢?假設年利率為 7%。

6.1 多期現金流量的現值和終值 利息總共是:   $628.49-(100+200+300)=$28.49

6.1 多期現金流量的現值和終值 五年後你會擁有多少錢呢?   $628.49×(1.07)2=$628.49×1.1449=$719.56 也可以分別計算每一筆存款的終值。

6.1 多期現金流量的現值和終值 多期現金流量的現值 假設你一年後需要 $1,000,兩年後需要 $2,000。如果你的投資可以賺得 9% 的報酬,那麼,你現在應該存入多少,才能滿足未來所需的這些金額呢? 兩年後 $2,000 的現值為:   $2,000/(1.09)2=$1,683.36 一年後 $1,000 的現值為:   $1,000/1.09=$917.43 總現值為:   $1,683.36+917.43=$2,600.79

6.1 多期現金流量的現值和終值 假設我們有一項投資在未來五年的每年年底可回收 $1,000。求出此項投資的現值。 可先將個別的 $1,000 折現回來,然後再全部   加起來。 (2) 將最後一筆現金流量折現至前一期,再加上   前一期的現金流量(倒數第二期)一直重複  到現在(第 0 期):

6.1 多期現金流量的現值和終值

6.1 多期現金流量的現值和終值

6.1 多期現金流量的現值和終值 範例 6.3 價值多少呢?   有項投資將在一年後付你 $200、兩年後付你 $400、三年後付你 $600、四年後付你 $800。類似投資的報酬率為 12%。那麼,這項投資你至多會付多少錢呢?

6.1 多期現金流量的現值和終值 你最多願意付 $1,432.93。

6.1 多期現金流量的現值和終值 計算機提示 如何使用財務計算機去計算多筆現金流量之現值

6.1 多期現金流量的現值和終值 策略試算表 如何使用試算表計算多期現金流量的現值

6.1 多期現金流量的現值和終值 範例 6.4 價值多少呢?第二部份 某項投資將分三次回收,每次回收 $5,000。第一次回收是在四年後,第二次回收是在五年後,第三次回收則在六年後。如果你可以賺得 11% 的報酬。這項投資在今天最多值多少?而此現金流量的終值是多少?

6.1 多期現金流量的現值和終值 現金流量在六年後的終值為: 50,000×(1.11)2+5,000×(1.11)+5,000=$16,710.50 現值必為:   $16,710.50/(1.11)6=$8,934.12

6.1 多期現金流量的現值和終值 [驗算看看]。分別計算每一筆現金流量,得到的現值是:

6.1 多期現金流量的現值和終值 現金流量時點 假設你知道有一個三年期的投資,第一年現金流量為$100,第二年為$200,第三年為$300。如果要你畫出一條時間線,若沒有其他說明時,你應該假設時間線如下所示: 注意,在這條時間線上,每一筆現金流量發生在年底。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 普通年金(annuity)在某段固定期間內,發生在每期期末的一連串固定現金流量,或者是說,現金流量呈現普通年金形式(ordinary annuity form)。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 年金現金流量的現值   假設某項投資在未來三年的每年年底均可回收 $500。這項投資的現金流量是三年期間的 $500 年金。如果我們要求 10% 報酬率,我們現在對此年金願付出多少錢呢?

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 當報酬率或利率為 r 時,期數為 t 期,每期現金流量為 C 的情況下,此年金現值為: 第一行括弧內的項目稱為年金現值利率因子(present value interest factor for aninuities),縮寫為 PVIFA (r, t)。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 計算機提示 年金現值

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 範例 6.5 你付得起多少呢?   在仔細評估過你的預算後,你決定以月付 $632 的方式,來購買一輛新車。你打電話給本地銀行,查知現行 48 個月期月利率是 1%。那麼,你可以借到多少錢呢?   年金現值因子=(1-現值因子)/r         =[1-(1/1.0148)]/0.01         =(1-0.6203)/0.01         =37.9740 現值=$632×37.9740=$24,000

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 年金表 有普通現值因子表,也有年金現值因子表。表 6.1 列出部份年金現值利率因子,附錄中的表 A.3 則列示較多的因子。要找出範例 6.5 所求得的年金現值因子,只要沿著期數 3 的那一列,對照到 10% 那一欄,交叉的這一格就是 2.4869,和之前計算出來的一樣。試著計算一些因子,然後和表上的答案對照,以確認知道如何計算。若使用財務計算機,只要輸入 $1 作為付款額,然後計算現值,結果應該就是年金現值因子了。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 找出付款額 假設你打算經營時下最流行的健康食品冷凍犛牛奶。為了生產及行銷這項新產品,Yakkee Doodle Dandy,你須借款 $100,000。但你深信這股風潮只是一時的流行,不會持續太久,所以,你打算分五年定額迅速地還清這筆借款。若利率是 18%,則每年的還款是多少呢?

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 現值是 $100,000,利率是 18%,期間是五年,每期付款金額相同。 每年的付款金額略少於 $32,000。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 策略試算表 年金每期付款額

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 計算機提示 年金支付

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 策略試算表 年金每期付款額

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 範例 6.6 找出還款期數 你在春假期間因為錢不夠用,所以用信用卡簽帳 $1,000,但你只付得起最低付款額 $20。假設信用卡的利率是每月 1.5%,那麼,你需要多久時間才能把這 $1,000 的帳款還清呢?

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 每月 $20 的年金現金流量,月利率 1.5%,期數則未知,現值是 $1,000。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 問題變成:「在每個月 1.5% 利率下,要多少期間,你的錢才會變成 4 倍呢?」答案是大約 93 個月:    (1.015)93=3.99≈4 大約要花 93/12=7.75 年才能還清這 $1,000 的欠款。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 計算機提示 求期數

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 找出折現率 例如,保險公司願意每年支付你 $1,000 計十年,只要你現在給付 $6,710。這個十年年金所隱含的利率是多少呢?    $6,710=$1,000×[(1-現值因子)/r]   $6,710/1,000=6.71={1-[1/(1+r) 10]}/r 十期的年金因子是 6.71,利用查表或是試誤法(trial and error)以求得 r。r 為 8% 的報酬率。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 [如何使用試誤法],假設有位親戚想向你借 $3,000,並將在接下來四年每年還你 $1,000。根據這些已知條件,她付給你的利率是多少? (1) 假設以 10% 為起始利率,   年金現值因子=[1-(1/1.104)]/0.10=3.1699   現值=$1,000×3.1699=$3,169.90

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 (2) 現值太高了,表示,折現率太低了。試 12%:   現值=$1,000×{[1-(1/1.124)]/0.12}=$3,037.35 (3) 試13%:   現值=$1,000×{[1-(1/1.134)]/0.13}=$2,974.47 所以,答案就介於 12% 和 13% 之間,大約是在 12.5% 左右。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 計算機提示 求利率

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 年金終值 年金終值因子就是:   年金終值因子=(終值因子-1)/r         =[(1+r)t-1]/r 假設你每年存 $2,000 到利率 8% 的退休金帳戶,那麼,30 年後退休時,戶頭裡會有多少錢?

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 年數 t 是 30 年,利率 r 是 8%,   年金終值因子=(終值因子-1)/r         =(1.0830-1)/0.08         =(10.0627-1)/0.08         =113.2832 30 年期 $2,000 年金的終值是:   年金終值=$2,000×113.28       =$226,566

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 計算機提示 年金終值

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 期初年金 期初年金(annuity due)的現金流量發生在每期期初。所有期初預付相等款項的現金流量都是期初年金。 假設,有一項每期 $400 的五期期初年金,攸關折現率是 10%。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 (方法 1) 類似於四年期的普通年金加上(現值為$1,267.95)在時點 0 時的 $400,共計 $1,667.95。 (方法 2) 假設現金流量發生在期末(但實際上卻是發生在期初)以普通年金處理,再將會多折現一期。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 永續年金 有一種特別年金,它的現金流量是永遠持續下去。這種年金稱為永續年金(perpetuity)。永續年金在加拿大和英國又稱為統合公債(consols)。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金   永續年金之現值=C/r 例如 一項投資可獲得每年 $500 永續現金流量,報酬率是 8%。這項投資的價值是多少?   永續年金之現值=C/r=$500/0.08=$6,250

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 範例 6.7 特別股 特別股(preferred stock 或 preference stock)是永續年金中的一個重要例子。當一家公司發行特別股時,購買者所得到的承諾是每期(通常是每季)持續地領取固定的現金股利。特別股股利優先於普通股股利的發放,所以是特別的(preferred)。

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 假設 Fellini 公司擬以每股 $100 發行特別股。已經流通在外的類似特別股的每股價格是 $40,每季股利 $1。如果 Fellini 要發行這支特別股,它必須提供多少股利?

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 特別股之現值是 $40,現金流量是永續的每季 $1:   現值=$40=$1×(1/r) 為了吸引投資者,每季(per quarter)應該發放 2.5% 的股利。如果現值是 $100,股利就是:   現值=$100=C×(1/0.025)   C=$2.50(每季)

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 成長型普通年金與永續年金 假定我們觀察一個給付期二十年的彩券,一年後的第一次給付金額會是 $200,000。之後每一年的給付金額會增加 5%,如果折現率為 11%,那年金的現值是多少呢? 以 g 代表成長率,可以使用修正版的普通年金公式來計算成長型普通年金的現值:

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金

6.2 評估均等現金流量:年金和永續年金 另一個公式可用來計算成長型永續年金的現值: 於前例中,假定給付會永遠持續下去:

6.3 利率的比較:複利的功效 有效年利率和複利 如果年利率是 10%,每半年複利一次,那麼,實際上這項投資的六個月報酬是 5%。問題是:半年 5% 的利率和每年 10% 的利率是一樣嗎? (1) 在 10% 年利率下投資 $1,一年後你將擁有 $1.10。 (2) 在每六個月 5% 的利率下投資 $1,在兩期後(即一年)   的終值是:   $1×(1.05)2=$1.1025 多了 $0.0025。因為第一個六個月的利息 $0.05 在接下來的六個月賺取 5% 的利息。因此多出了 $0.05×0.05=$0.0025。

6.3 利率的比較:複利的功效 半年複利一次的 10% 年利率相當於年利率 10.25%。 在這個例子裡,10% 稱為設定利率(stated interest rate),或牌告利率(quoted interest rate)。 10.25% 則是你實際賺得的,稱為有效年利率(effective annual rate, EAR)。

6.3 利率的比較:複利的功效 計算和比較有效年利率 假設你有下列三種利率報價:   A 銀行:15%,每日複利   B 銀行:15.5%,每季複利   C 銀行:16%,每年複利 如果要開一個儲蓄帳戶,哪一家銀行的利率最好呢?如果上述是貸款利率,那麼又是哪一家銀行的利率最好呢?

6.3 利率的比較:複利的功效 A 銀行每天複利日利率:    0.15/365=0.000411  365 次後就變成:    $1×(1.000411)365=$1.1618 B 銀行每季付 0.155/4=0.03875=3.875%。四季後 就變成:    $1×(1.03875)4=$1.1642 C 銀行提供的是 16% 的年利率。

6.3 利率的比較:複利的功效 計算 EAR 有三個步驟:(1) 把牌告利率除以複利期數;(2) 將加 1,並以複利期數為次方;(3) 將 (2) 的結果減掉 1,就是 (1) EAR。令 m 為一年中的複利期數:   EAR=[1+(牌告利率/m)]m-1

6.3 利率的比較:複利的功效 某項投資的牌告利率為1 2%,每月複利計息,所以 m 是 12。

6.3 利率的比較:複利的功效 範例 6.8 EAR 是多少? 某家銀行提供 12% 利率,每季複利一次。如果你存入 $100 到這家銀行,一年後你將有多少錢?EAR 是多少?兩年後你又將有多少錢呢? 每季利率是 12%/4=3%。把 $100 投資 4 期:  終值=$100×(1.03)4    =$100×1.1255    =$112.55 EAR 是 12.55%。

6.3 利率的比較:複利的功效 兩年後你所擁有的錢。(方法 1) 把兩年看成 8 季,每季 3%。   $100×(1.03)8=$100×1.2668=$126.68 (方法 2) 利用 EAR,也就是 12.55% 來計算這筆錢在兩年後的價值:   $100×(1.1255)2=$100×1.2688=$126.68

6.3 利率的比較:複利的功效 範例 6.9 牌告利率 既然已經知道如何將牌告利率轉換成 EAR,我們來看看反方向的轉換。身為放款人,你想從一筆放款中賺取 18% 的利息,而且你想以每月複利計息的方式報價。那麼,放款的牌告利率應是多少呢?

6.3 利率的比較:複利的功效 EAR 為 18%,這是每月複利的結果。令 q 為牌告利率: 利率可設定為 16.68%,採每月複利計息。

6.3 利率的比較:複利的功效 EARs 和 APRs 年百分率(annual percentage rate, APR)就是一年中每期的利率乘以該年中的期數。就是我們前面討論過的設定利率或牌告利率。例如:如果銀行對汽車貸款收取每月 1.2% 的利息,那麼 APR 就是 1.2%×12 = 14.4%。 例如:採月付款方式,APR 為 12% 的貸款,實際上每個月利率是 1%:   EAR=[1(APR/12)]12-1     =(1.01)12-1=12.6825%

6.3 利率的比較:複利的功效 範例 6.10 你付出多少利息? 典型的信用卡發卡銀行均設定 APR 為 18%,而且消費者要每月償還款項。這種信用卡的實際利率是多少呢? 每月利率為 0.18/12=0.015。因此,EAR 是:   EAR=[1(0.18/12)]12-1     =(1.015)12-1     =1.1956-1=19.56%

6.3 利率的比較:複利的功效 是誠實存款法(truth-in-saving laws)要求銀行或其他借款人針對存款帳戶所公佈年百分殖利率(annual percentage yield, APY)。其實就是 EAR 的報價利率(APYs)。

6.3 利率的比較:複利的功效 例如,在美國的某一州,消費者交付 AmeriCash Advance 公司一張面額 $120 的 15 天遠期支票,而 AmeriCash Advance 則交付 $100 現金給消費者,請問這筆交易的 APR 和 EAR 是多少呢?    終值=現值×(1+r)1    $120=$100×(1+r)1     1.2=(1+r)       r=0.20 或 20% 15 天的利率

6.3 利率的比較:複利的功效 APR=0.20×365/15 APR=4.8667 或 486.67% EAR=(1+牌告利率/m)m-1 EAR=(1+0.20)365/15-1 EAR=83.4780 或 8,347.80%

6.3 利率的比較:複利的功效 極限型的連續複利 以 q 代表牌告利率,當複利次數非常非常大時:   EAR=eq-1 意思為說錢是連續地(continuously)或是瞬間地(instantaneously)複利。

6.3 利率的比較:複利的功效 例如,以 10% 來說,最大的 EAR 為: 所以金額是持續不斷地成長的。

6.3 利率的比較:複利的功效

6.3 利率的比較:複利的功效 範例 6.11 法律有何規定?   在很久以前,商業銀行和儲貸機構(&s)的儲蓄存款利率都有上限。在 Q 條款(Regulation Q)下,S&Ls 最多只能支付 5.5% 的利率,而銀行則不能支付超過 5.25%(其概念是為了要增加 S&Ls 的競爭力;但是並沒有用)。然而,Q 條款並沒有規定複利的期間。那麼,在 Q 條款下,利率上限是多少呢?

6.3 利率的比較:複利的功效 最大可能利率是發生在連續複利,或稱為瞬間複利時。5.25% 的連續複利為: EAR=e0.0525-1   =2.718280.0525-1   =1.0539026-1   =5.39026% S&Ls 可以支付到 5.65406%。

6.4 貸款種類與分期償還貸款 純折價貸款   純折價貸款(pure discount loan)是最簡單的一種貸款。借方在今天收到錢,在未來某個時點一次償還本息。

6.4 貸款種類與分期償還貸款 假設借款人在五年後將償還 $25,000,如果我們想從這筆貸款中賺得 12% 的利息,至多借他多少錢呢?   現值=$25,000/1.125     =$25,000/1.7623     =$14,186

6.4 貸款種類與分期償還貸款 範例 6.12 國庫券 美國政府需要短期借款(一年或少於一年)時,就發行所謂的國庫券(Treasury bills或T-bills)。國庫券是政府承諾在未來某時點,例如 3 個月或 12 個月後,償還一筆固定金額的有價證券。

6.4 貸款種類與分期償還貸款 國庫券是純折價貸款。如果一張國庫券在 12 個月後償還 $10,000,而市場利率是 7%,那麼,這張國庫券在市場上可以賣多少錢呢?   現值=$10,000/1.07=$9,345.79

6.4 貸款種類與分期償還貸款 純付息貸款 純付息貸款(interest-only loans)是借款人每期必須支付利息,然後在未來某時點償還全部本金。如果只有一期,那麼純折價貸款和純付息貸款是完全一樣的。 例子,某項三年期,利率 10% 的 $1,000 純付息貸款。 (1) 在第一年和第二年年底借款人必須支付 $1,000×0.10=  $100 的利息。 (2) 第三年年底時,借款人必須償還本金 $1,000 和該年的  利息 $100。

6.4 貸款種類與分期償還貸款 分期償還貸款 分期償還貸款(amortized loan),放款人可能要求借款人分期償還本金。定期攤還本金的過程就稱為貸款本金的分期攤還(amortizing)。 例如,某公司借款 $5,000,為期五年,利率 9%。借款合約規定借款人每年支付借款的利息,及償還 $1,000 的借款本金。

6.4 貸款種類與分期償還貸款 因為借款本金每年減少 $1,000,五年後就全部還清。 但每年的總付款額遞減 第一年的利息是 $5,000×0.09=$450,總付款額是 $1,000+450=$1,450; 第二年時,貸款餘額剩下 $4,000,利息費用是 $4,000×0.09 = $360,總付款額就是 $1,360。 分期償還貸款表(amortization schedule)如下:

6.4 貸款種類與分期償還貸款

6.4 貸款種類與分期償還貸款 例如,前述五年期,利率 9%,$5,000 的貸款若採取這種償還方式,分期償還貸款表應該是什麼樣子呢? 貸款的現金流量就是普通年金形式。   $5,000=C ×{[1-(1/1.095)]/0.09}      =C ×[(1-0.6499)/0.09]   C=$5,000/3.8897=$1,285.46

6.4 貸款種類與分期償還貸款 在這個例子裡,已知總付款額。因此,先計算利息,然後從總付款額中減掉利息,剩下的就是償還本金的金額。   第一年的利息是 $450   本金償付=$1,285.46-450=$835.46   期末貸款餘額=$5,000-835.46=$4,164.54 第二年的利息是 $4,164.54×0.09=$374.81, 貸款餘額減少了 $1,285.46-374.81=$910.65。

6.4 貸款種類與分期償還貸款

6.4 貸款種類與分期償還貸款 範例 6.13 部份分期償還貸款 (partial amortization) 一種常見的不動產貸款是將 5 年期借款以更長的期限(譬如說 15 年)來分期償還。也就是說,借款人以 15 年分期償還為基礎,每月付固定金額。然而,60 個月後,借款人必須以一筆高出前面每月付款的金額,稱為「汽球式付款」(balloon),來還清所有貸款。因為每個月所支付的金額(以 15 年為計算基礎)低於一般5年分期償還的金額,所以這種貸款稱為部份分期償還貸款。

6.4 貸款種類與分期償還貸款 假設有一筆 $100,000 的商業大樓抵押貸款,APR 為 12%,分 20 年(240 個月)償還。並且,假設這項貸款期限是五年。那麼,每月的部份分期付款額是多少?五年後最後一筆汽球式付款是多少呢?

6.4 貸款種類與分期償還貸款 每月的付款額就是現值為 $100,000 的普通年金之每月現金流量。共有240期,每個月利率是 1%,所以付款額為:    $100,000=C ×[1(1/1.01240)/0.01]=C ×90.8194      C=$1,101.09

6.4 貸款種類與分期償還貸款 計算五年後的最後一筆汽球式付款的方法有 2:(1) 複雜的方法是編製 60 個月分期償還貸款表。(2) 簡單的方法則是找出 60 個月後,所剩下 240-60=180 個月貸款在當時(即 60 個月後)的現值。   貸款餘額=$1,101.09×[1-(1/1.01180)/0.01]       =$1,101.09×83.3217       =$91,744.69 最後一筆汽球式付款是 $91,744。

6.4 貸款種類與分期償還貸款 策略試算表 使用試算表求算貸款分期償還 貸款分期償還是試算表的一種很普遍的應用;我們以前述五年期,利率 9%,$5,000 的貸款問題為例,試算表就如下所示:

6.4 貸款種類與分期償還貸款