個人理財規劃 第四章 貨幣的時間價值與 計算方式

前言： 過去的一塊錢與現在的一塊錢購買力不同，節省現在的一塊錢不消費，改在未來消費，則在未來消費時應該有多於一塊錢可用，此為彌補延遲消費的貼水，這就是貨幣的時間價值。 貨幣因具有時間價值，可在一定時間內賺取利息。了解與運用貨幣的時間價值，是進行理財規劃及投資的入門功夫。

第四章 貨幣的時間價值與 計算方式 4-1 貨幣的時間價值 4-2 理財目標與投資價值 4-3 投資報酬率的計算

4-1 貨幣的時間價值 1.終值與現值 2.年金的計算

1.終值與現值 終值是指未來某一時點以當時幣值計算的價值。 現值則是以目前幣值計算的現在價值，在一段期間內與設定的成長率之下，若已知現值而要計算終值時，應使用複利終值係數；若已知終值而要計算現值時，則應使用複利現值係數。

1.終值與現值 （1）複利終值 （2）複利現值

複利終值 複利終值就是以複利計算的本利和，通常用在整筆投資財富累積成果的計算上面。投資一筆錢經過若干年後，包括本金、利息或資本利得會累積成多少錢。而現在的一筆錢在若干年之後，因為通貨膨脹的結果，屆時約要花費多少錢，才能維持同樣實質水準的生活，也是用複利終值來計算。 因此複利終值就是計算若現在一次存入一筆錢，將來可以獲得多少錢。 複利終值公式 終值FV（本利和）＝現值PV（本金）×（1＋r） n＝期數，若r為則年利率，則n為年數 r＝利率、投資報酬率或通貨膨脹率 （1＋r）即為複利終值係數 =現值×複利終值之因子 n n

複利終值的運用如下： 1.求存款本利和：一筆錢100萬元存銀行3年期定存利率3％，到期一次領取本息的本利和為： 100萬元×（1＋3％）＝1,092,727元 92,727元為以3％複利計算的利息 表查複利終值1.092727*100萬=1,092,727 2.估算整筆投資到期可累積的目標額：如把今年的年終獎金10萬元拿去投資基金，若平均投資報酬率為12％，5年以後可累積的金額為： 10萬元×（1＋12％）＝10萬元×1.762＝17.62萬元 表查複利終值r＝12%，n＝5=1.762 3 5

複利終值的運用如下： 3.計算通貨膨脹效果 40歲的人如果想要在60歲退休時擁有相當於現在1千萬元的資產，假設通貨膨脹率為4％，離退休還有20年。 1,000萬元×（1＋4％）＝1,000萬元×2.191＝2,191萬元 即20年後要準備的名目貨幣金額為2,191萬元，才相當於現在1千萬元的購買力。 為求簡便，計算複利終值，可以用查表法查出複利終值係數。上面兩個例子1.762是r＝12%，n＝5時的複利終值係數，而2.191是r＝4%，n＝20的複利終值係數。查表時只要先確定r與n，在查表中r與n相交叉的數字就可以了。（複利終值表可見書末附表） 20

練習題1-複利終值 一筆錢200萬元，存銀行定存3年，利率3％，以複利計算，三年到期本利和為多少？

練習題1解答 200萬元×（1+3%） =200萬元×1.093 =2,186,000 3

（2）複利現值 複利現值係數為複利終值係數的倒數。 複利現值是指計算要達到未來的一定金額，現在一次需投入多少錢。 公式： 1 複利現值=終值×(1+利率) =終值÷(1+利率) =終值×複利現值因子 期數 期數

複利現值的運用如下： 1.已知目標額與年限、報酬率，現在應該投入多少錢來準備。 在理財規劃時若確定20年後退休需要準備1千萬元，若以平均複利報酬率10％為目標的話，現在應存多少錢到退休金信託帳戶？ 以n＝目標年數，r＝預期投資報酬率計算 公式：複利現值=終值×複利現值因子 1,000萬元÷（1＋10％）＝149萬元（查複利終值） 或查表n＝20，r＝10％的複利現值係數為0.149 1,000萬元×0.149＝149萬元 20

複利現值的運用如下： 2.計算零息債券的目前價值 零息債券的目前價值 ＝到期還本額（面值）×CP（n,r） 此時n＝零息債券剩餘年限，r＝市場殖利率。如零息債券面額100萬元，還有5年到期，市場殖利率為4％， 100萬元÷（1＋4％）＝82.2萬元 或查n＝5，r＝4％的複利現值係數為0.822，100萬元×0.822＝82.2萬元 5

3.整合各項理財目標時，折算為現值後相加總比如5年後購屋3百萬元，10年後子女教育金2百萬元，20年後退休金1千萬元，若考慮貨幣的時間價值，就不能把三個目標相加等於1,500萬元，而是要分別折成現值後再相加。 看範例如下頁

範例： 假設所有目標的折現率都用實質投資報酬率（＝名目投資報酬率－通貨膨脹率），並設為5％，則三個目標的總現值為：購屋300萬元×[CP(5,5%)=0.784]=235.2萬元子女教育200萬元×[CP(10,5%)=0.614]=122.8萬元退休1,000萬元×[CP(20,5%)=0.377]=377萬元目標現值總計＝235.2萬元＋122.8萬元＋377萬元＝735萬元若手邊已有735萬元，只要往後實質投資報酬率可達到5％，應可順利達到上述三項理財目標。CP表複利現值

練習題2-複利現值 老孫確定20年後退休，退休時要準備1,000萬元，若以平均報酬率6%計算， 現在應存入多少錢到退休金信託帳戶？

練習題2-複利現值解答 1000萬元×複利現值係數(n=20,r=6%) =1000萬元×0.312 =312萬元

2.年金的計算： 年金是指每年收取或給付一定金額的意思。 （1）年金終值 （2）年金現值

年金終值 年金終值的觀念可用來計算每月應投資多少錢，才能累積至達成理財目標年限時應擁有的財富。 亦即現在定期存入的錢,未來一共可以獲得多少錢? 年金終值表示每年收取或給付的錢，在經過一段期間後，所能累積的金額。運用年金時，須注意其是否符合兩項要件： 每期的收入或支出金額固定不變。 在計算期間內，每期現金流量持續不能中斷。

年金終值的適用時機 1.計算每期投入固定的金額，在一定的利率下以複利計算，到期會有多少錢。 2.定期定額投資共同基金，在一定報酬率下，計算投資到期後，可以拿回的本金及利息有多少。

年金終值的公式 年金終值的公式 (1+利率)-1 =每期投資本金× 利率 =每期投資本金×年金終值因子 期數

舉例：年金終值 定期定額投資計算幾年後可以累積的理財目標：周先生每月投資5000元於定期定額基金，一年6萬元，假設平均報酬率為5%，請問3年後可累積多少金額？ 年金終值係數=(1+r)n-1 r 6萬元*(1+5%)3-1 5% =6萬×3.153=18.918萬元

練習題3-年金終值 小章每月投資5,000元，若年平均報酬率6%，則30年後，可累積多少退休金？

練習題3-年金終值解答 5000元×12=6萬元(每年投入) 6萬元×(1+6%)30-1 6% =6萬元×年金終值係數(n=30,r=6%) =6萬元×79.058 =474萬元

年金現值 年金現值的觀念，是把未來一段期間的每年或每月收取或給付的現金流量，折現為目前的一筆錢。運用年金現值係數時，同樣要考慮是期初年金還是期末年金。 年金現值係數=1-(1+r) r r=折現率, n=折現期數 年金現值＝每年投資本金×年金終值因子 -n

補充 計算年金現值時，未特別說明原則上採「期末年金現值」計算，附表之表查也是指「期末年金現值」。 但當題意要採「期初年金」方式繳納，這時期初年金現值係數查表時要少查一期再加1。

例如：當保費採「期初」年金方式年繳7萬元，期間15年，在報酬率7%下，如改採躉繳方式繳納，期金額為何？ 期初年金現值係數查表時要少查一期再加1，也就是查期末年金現值表n=14，r=7%之係數是8.745，再加1=9.745 70,000*9.745=68.2萬元

年金現值之運用：計算退休後生活費用總額 老王退休後每月的生活費要30,000元，若預計退休後可活20年，則退休時要準備多少退休金？（設折現率5%） 30,000×12=360,000 360,000×1-(1+5%) 5% 查表，得出年金現值係數(n=20,r=5%)=12.462 360,000×12.462=4,486,320(元) -20

年金現值之運用：計算房貸本利攤還之金額 張先生向銀行辦理房貸，借入400萬元，利率6%，分20年本利攤還，每年攤還金額為多少？ 每期本利攤還額(年金)=貸款額÷年金現值係數(n=20,r=6%) = 400萬元÷11.47=348,736(元)

練習題4-年金現值 某甲向銀行辦理房屋貸款360萬元，貸款利率5%，期限20年按本利和平均攤還，請問每期應償還多少金額？

練習題4-年金現值解答 用年金現值求出每期應償還之金額 360萬元÷年金現值係數(n=20,r=5%) =360萬元÷12.462 =288,878元

練習題-5綜合題 小李現年50歲，預計工作至60歲退休，現有生息資產100萬元，未來工作期間每年可結餘50萬元，均全數投入年報酬率5％之投資至終老。若以72歲為其終老估計，則退休後每年至多可花費多少元？

練習題-5綜合題解答 （1）100萬元×複利終值係數(n=10,r=5%) =100萬元×1.629=162.9(萬元) =50萬元×12.578=628.9(萬元) （3）162.9 (萬元)+628.9 (萬元)=791.8 (萬元)退休時之資產 （4）791.8萬元÷年金現值係數(n=12,r=5%) =791.8萬元÷8.863=89.3萬元

4-2理財目標與投資價值 1.理財目標 2.計算投資價值

理財目標 以目前的淨值與儲蓄能力，檢驗單一理財目標達成的可能性，可運用如下的理財目標方式： 目前的可投資額×複利終值係數＋未來每年儲蓄金額×年金終值係數＝理財目標額

如果理財目標是5年後要準備創業基金1百萬元，目前有現金20萬元及每月儲蓄1萬元， 按理財目標公式，20萬元×複利終值係數（n＝5,r）＋1萬元×12×年金終值係數（n＝5,r）＝100萬元 可以查複利終值表及年金終值表的方法，求出應有的投資報酬率r。 當投資報酬率為8％時，複利終值係數＝1.469，年金終值係數＝5.867，此時算出來可達成的資產累積額＝20萬元×1.469＋12萬元×5.867＝100萬元，以目前的條件可以達到創業的夢想。 假使自己的投資習性還能適應此種投資報酬率所承受風險的話，此時的投資組合就要以5年平均報酬率可達8％以上的投資工具為主。

依照上述的關係式，可有以下的推論： （1）若資產條件固定，而已目前的情況估計儲蓄也是相對固定，但若理財目標金額、達成期間及期望報酬率均不變時，提升未來的儲蓄能力是唯一的努力方向。 （2）在現況條件與理財目標均固定的情況下，達成目標的時間愈短，所需要的報酬率愈高。若算出的報酬率超過合理的水準，則應考慮是否延長目標達成的年限。

依照上述的關係式，可有以下的推論： （3）有些理財目標的年限比較沒有彈性，如子女18歲左右要上大學，退休年齡最多延到65歲等。在此情況下，若現況條件與投資報酬率改變的空間均不大，則應調整原有的夢想，降低理財目標額。 （4）預期報酬率應列為最後調整的變數，而預期報酬率、可投資期間與個人的風險承受度有關。 假設每年預期報酬率30％，只要時間夠常，幾乎每個人都可以用目前有限的條件，達到遠大的理財目標夢想。然而長期維持30％的年平均投資報酬率，幾乎是不可能的。

計算投資價值 投資價值的計算方法可廣泛應用於計算房地產、債券、股價投資價值。是一個很實用的投資應用工具喔！ 合理的投資價格＝每年可領取的租金或利息×年金現值係數（n＝領取年數，r＝折現率）＋到期收回的本金×複利現值係數（n＝到期年數，r＝折現率） 著現率可用資金利率或期望報酬率計算。

（1）房地產的投資價值 假設投資房地產時，若投資時間為5年，每年可領取租金20萬元，5年後預期的房價是5百萬元，以房貸利率4％為折現率，複利現值係數＝0.822，年金現值係數＝4.452，則合理的房地產價格為5百萬元。 因此，在投資者已知的收益條件及預期的屆時房價下，高於5百萬元的房價並不值得投資。換句話說，若你預期5年後的房價不會比現在高，即使目前租金收益率接近4％，仍不宜購屋投資。 合理的房地產價格＝20萬元×4.452＋500萬元×0.822＝500萬元。

練習題-6房地產的投資價值 若投資時間為5年，每年可領回36萬元，以房貸利率4%折現率，5年後預期房價500萬元，則合理的房地產價格為多少？ 合理的投資價格＝每年可領取的租金或利息×年金現值係數（n＝領取年數，r＝折現率）＋到期收回的本金×複利現值係數（n＝到期年數，r＝折現率）

練習題-6房地產的投資價值解答 合理的投資價格＝每年可領取的租金或利息×年金現值係數（n＝領取年數，r＝折現率）＋到期收回的本金×複利現值係數（n＝到期年數，r＝折現率） 36萬×年金現值係數(n=5,r=4%)+500萬元×複利現值係數(n=5,r=4%) =36萬元×4.452+500萬元×0.822 =160.27萬元+411萬元 =571.27萬元

（2）債券的投資價值 假設投資債券時，若7年期的公債還有5年到期，票面利率7％、面額5百萬元的公債，每年可領取票面利息為35萬元，5年後以面額還本5百萬元。 若買進時，新發行5年期公債票面利率已跌到6％，需以此6％為折現率，複利現值係數＝0.747，年金現值係數＝4.212，則合理的債券價格為521萬元。 同樣還有5年到期的新發行公債，其票面利率降低，新持有舊債券的投資人每年可以多拿1％的利息，故買進價格一定要高於面額，才能反映額外的利息收益。 合理的債券價格＝35萬元×4.212＋500萬元×0.747＝521萬元。

練習題7-債券投資價值 某一7年期公債，還有5年到期，票面利率5%，面額100萬元，若目前發行的5年期公債票面利率已跌到4%，則合理的債券價格為多少？

練習題7-債券投資價值解答 合理的債券價格 合理的投資價格＝每年可領取的租金或利息×年金現值係數（n＝領取年數，r＝折現率）＋到期收回的本金×複利現值係數（n＝到期年數，r＝折現率） =(100萬元×5%) ×年金現值係數(n=5,r=4%)+100萬元×複利現值係數(n=5,r=4%) =22.26萬元+82.2萬元 =104.46萬元

（3）股票的投資價值 假設投資股票時，一支股票目前價格為40元，每年現金配息1元，投資期間5年，若有把握5年後可以70元賣出，期望報酬率12％為折現率，目前的股價是否值得買？ 經查表n＝5，r＝12％之複利現值係數＝0.576，年金現值係數＝3.605，算出之合理股價為43.3元。 合理股價＝1元×3.605＋70元×0.567＝43.3元 而若目前的股價40元，表示仍在合理價位之下，應該還值得買。

練習題8-股票的投資價值 假設某一支股票每年現金配息1元，投資期間5年，若有把握5年後可以70元賣出，以期望報酬率6％為折現率，則目前合理股價應為多少？

練習題8-股票的投資價值解答 合理股價：每年可領取的租金或利息×年金現值係數（n＝領取年數，r＝折現率）＋到期收回的本金×複利現值係數（n＝到期年數，r＝折現率） 1元×年金現值係數（n=5,r=6%）+70元×複利現值係數（n=5,r=6%） =1×4.212+70×0.747 =4.212+52.29 =56.5（元）

（4）開店的投資價值 假設開店創業時，若預期每年可有2百萬元的淨收入，5年後若把店轉讓還可賣得8百萬元，期待5年回收，以20％為折現率，其複利現值係數＝0.402，年金現值係數＝2.991，算出合理的開店資本額為920萬元。 合理的開店資本額＝200萬元×2.991＋800萬元×0.402＝920萬元

練習題9-開店投資價值 假設開店創業時，若預期每年可有120萬元的淨收入，5年後若把店轉讓還可賣得600萬元，期待5年回收，以10％為折現率，合理的開店資本為多少？

練習題9-開店投資價值解答 合理開店資本：每年可領取的租金或利息×年金現值係數（n＝領取年數，r＝折現率）＋到期收回的本金×複利現值係數（n＝到期年數，r＝折現率） 120萬元×年金現值係數（n=5,r=10%） +600萬元×複利現值係數(n=5,r=10%) =120萬元×3.791+600萬元×0.621 =454.92萬元+372.6萬元 =827.52萬元

4-3 投資報酬率的計算 投資績效的衡量與分析屬於事後的理財管理，投資報酬率的計算是有意學習投資理財的人的必備常識。 本節所要探討的內容： 1.投資報酬率的計算 2.年投資報酬率 3.定期定額投資報酬率

1.投資報酬率的計算 總投資報酬率 （1）無交易成本時 Ra=(Ve-Vb) Vb Vb＝期初投入本金，Ve＝期末總回收金額 Ra＝無股利及交易成本下，整段期間的投資報酬率

例題 林先生投資購買基金1000單位，投資時單位淨值為10元，一年後以12元贖回，投資報酬率為多少？ Ra=(Ve-Vb)/Vb =（$12×1,000-$10×1,000）÷（10×1,000）=20%

（2）有交易成本時 Rb＝(Ve-Vb-C) C＝交易成本 Rb＝有交易成本下，整段期間的投資報酬率 Vb＝期初投入本金，Ve＝期末總回收金額

例題 林先生投資購買1000單位共同基金，投資時單位淨值為10元，基金經理公司收取2％的手續費，一年後以12元贖回，投資報酬率為多少？ Ra=(Ve-Vb-c)/Vb =（$12×1,000-$10×1,000-10×1,000×2%）÷（$10×1,000）=18%

（3）有股利分配時 Rc=(Ve+D-Vb-C) Vb Rc＝考慮股利分配與交易成本下，整段期間的投資報酬率 D＝股利分配 Ve/Vb＝投資市值成長倍數 D/Vb＝以期初市值衡量的殖利率 C/Vb＝以期初市值衡量的交易成本比率

例題 林先生投資購買1,000單位共同基金，投資時單位淨值為10元，基金經理公司收取2％的手續費，一年後以12元贖回，期間配息5%，投資報酬率為多少？ Rc=(Ve+D-Vb-C)/Vb =（$12×1,000-$10×1,000+$10×1,000×5％-$10×1,000×2％）÷（$10×1,000）=23%

（4）有幣別轉換時 Rd＝ (Ve*Fe+D*Fd-Vb*Fb-C*Fc) (Vb*Fb) Rd＝考慮幣別轉換、股利分配與交易成本下，整段期間的投資報酬率 Fe＝賣出時匯率，Fb＝買進時匯率 Fd＝配息時匯率 Fc＝計算交易成本時匯率 前收手續費（A股）時Fc＝Fb；後收手續費（B股）時Fc＝Fe。

如投資某海外債券型基金1年，投資時淨值為10美元，股數1,000股，匯率為30元新臺幣兌換1美元，前收手續費2％，年中配息5％轉入再投資為50股，1年後贖回時淨值為11美元，匯率為32元新臺幣對1美元，總投資報酬率計算如表4-1。（如下一頁） 以美元計算的報酬率為13.5％，但此期間新臺幣貶值有匯差收益，因而以新臺幣計算的報酬率為21.2％。

表4-1 含匯差損益計算 交易情況 單位市值 股數 匯率 美元金額 新臺幣金額 買入 10美元 1,000股 30 10,000美元 300,000元 交易成本 2％ 200美元 6,000元 配息率 5％ 50股 賣出 11美元 1,050股 32 11,550美元 369,600元 總利潤 1350美元 63,600 報酬率 13.5% 21.2%

年投資報酬率 若投資期間超過1年，可計算單利與複利報酬率。 （1）單利或算術平均年報酬率 年報酬率＝總報酬率÷投資年數 若總投資期間5年，總報酬率50％，則年報酬率＝50％÷5＝10％，每年單利或算術平均報酬率為10％。通常是把每年配息領現或資本利得贖回，沒有轉入再投資，才適用單利的算法。

（2）複利或幾何平均年報酬率 年報酬率＝（1＋總報酬率）1/年數－1 若總投資期間5年， 總報酬率50％，（1＋50％）1/5－1＝8.45％。 總報酬率與投資年數相同時，複利年平均報酬率一定低於單利年平均報酬率。且投資年數愈長或漲幅倍數愈高時差異愈大。

何謂算術平均數及幾何平均數 算術平均數也就是平均年報酬率，將過去所發生的報酬率之平均值 例如：95年-97年某檔基金的各年度的報酬率為30%、20%及-20%，將這三年的報酬率相加後總報酬率30%平均每年報酬率為10% ＜30%+20%+(-20%) ＞÷3=10% 幾何平均數也就是年化報酬率、複利之年報酬率：它是將過去幾年報酬率轉化成每年都有相同的報酬率，其最後累積的總報酬率會相同。 例如95年-97年某檔基金的各年度的報酬率為30%、20%及-20%，總報酬率為(1.3*1.2*0.8)-1*100=24.8% 三年的年化報酬率=(1+0.248)^1/3-1=7.664% (1.07664*1.07664*1.07664)=1.2478% 所以，在進行基金績效評比時，最好採「年化報酬率」作為參考依據，因為年化報酬率是代表「每一年以相同的報酬率」計算之複利結果，比較合理。

定期定額投資報酬率 Rs＝ (Ve-F*n) F*(W1+…+Wn) 定期定額投資每月初投資1萬元，持續12個月後，月底贖回時金額15萬元，考慮時間加權後，定期定額投資報酬率為： Rs＝(15萬-1萬*12) 1萬*(1/12+..+12/12)＝46.15％ 如果不考慮時間加權，則投資報酬率為（15萬元－12萬元）÷12萬元＝25％，算出來的報酬率會比較低。

因為第一筆定期定額投入12個月，時間權數為12/12，第二筆11個月，時間權數為11/12，至最後一筆1個月，時間權數只有1/12。 定期定額投資報酬率也可以用年金終值的方法來算。期末值÷定期投入值＝年金終值係數，以上例15萬元÷1萬元＝15，查年金終值表n＝12，月利率r為4％時，年金終值為15.03，即年投資報酬率接近48％。兩種算法的結果相近。