第七章 空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数 空间解析几何知识对于学习多元函数微积分 是必不可少的。本章在建立空间直角坐标系、引 第七章 空间解析几何与向量代数 空间解析几何知识对于学习多元函数微积分 是必不可少的。本章在建立空间直角坐标系、引 入向量的运算的基础上，介绍空间的曲线、曲面 的方程；并以向量为工具讨论空间的曲线、曲面 的方程的建立，学会用代数的方法处理某些几何 的问题。本章的重点为：向量、单位向量、方向 余弦及向量的坐标表示；向量的运算（线形运算、 数量积、向量积）；空间平面、直线方程的建立 及相互之间位置关系的判定；柱面、旋转面及二 次曲面的识别及其对应的图形。

第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 向 量：既有大小，又有方向的量称为向量，常 用的表示方法有： 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 向 量：既有大小，又有方向的量称为向量，常 用的表示方法有： 向量的模：向量的大小或向量的长度，记作 单位向量：模为 1 的向量称为单位向量； 零 向 量：模为0的向量称为零向量；通常记作 （注：零向量的方向是任意的）

负 向 量：与向量 方向相反，模相等的向量， 称为向量 的负向量，记作： 向 径：起点位于坐标原点的向量称为向径， 通常表示为： ， 与 同向，且模相等 向量相等： 此意义下的向量都是自由向量。

二、向量的线性运算 1．加减法 规定： 向量的加、减法遵循平行四边形法则或三角形法则

2．数乘（数乘向量） ~~ 数量， ~~ 向量， 则 仍然是向量，且 当 时，

注：⑴若 ，取 ，则 是 与 同方向的单位向量，记作： 是与 平行的单位向量， ； ⑵将上面的等式变形为： ，表明任一非零 向量均可用与其同方向的单位向量的数乘来表示， 并且所乘的系数就是该向量的模。

3．线性运算的运算律 ⑴交换率与结合率（加法） ⑵结合率与分配率（数乘）

定理1. 设 ， 为非零向量，则 存在非零 常数 ， 使得 。 证：如果 ，则 ，即 从而 ； 反之，由 及数乘的定义，可知 。 注：定理表明，当两个向量平行时，其中一个向 量必然可以用另一个向量的数乘表示，或两 个平行的向量可以相互线性表出。

三、向量的投影与投影向量 1．向量的投影：设向量 ， 的夹角为 （ ） 称 为向量 在向量 方向 的投影，记作

若记 ，且 在向量 方向上的投影点 在向量 方向上的投影点 ，则： 定理2、（投影定理） 和向量的投影等于投影向量的 和。 注：向量的投影是一个数量。

2．投影向量：设向量 在 方向上的投影为 则称向量 为向量 在 方向上 的投影向量，即 因为 当与 方向相同时 ，则

因为 当与 方向相反时 ，则 其中 是 与 的夹角（ ）， 是与 同 方向的单位向量。 与 同向； 注：如果 ， 时， 与 反向。

四、空间直角坐标系 任意选定一参考点作为坐标原点， 记作 ； 过点 作三条相互垂直的数轴，依次称为 轴、 轴、 轴；它们的正方向依次符合右手规则； 称为空间直角坐标系，也是右手系。 两两坐标轴确定一个平面，称之为坐标平面， 简称坐标面，共有三个坐标面： 面、 面、 面。三个坐标面将整个三维空间划分为八 部分，分别称为八个卦限。

空间点 有序数组 ，故称有序 数组 为 点的坐标，记作：

例1．在坐标系中给出点 ，并写出其关于 面以及关于 轴的对称点。 解： 关于 面的对称点为 ； 关于 轴的对称点 。

特殊点及其坐标 ⑴坐标原点： ⑵坐标轴上的点：如在 轴上的点 . . . ⑶在坐标面上的点：如在 坐标面上的点 . . .

五．空间点的距离 设空间两点 ， ，则两点之 间的距离为： 特别，空间点 到原点 的距离为：

六．向量的坐标表示与分向量 1．向量的方向角： ，且 依次向量与三个坐标轴正方向 的夹角 向量的方向余弦： 基本单位向量： 依次代表三个坐标轴 正方向的单位向量，即分别代 表三个坐标轴的正方向。

2．向量的分解（沿坐标轴方向的分解） 其中

同理可得： 记 ， ， ，则 分量表达式 坐标表达式

又因为 从而向量又可以写为： 分量表达式 坐标表达式 特别，对于起点在原点，终点为 的向量 通常记作 ，且

3．向量的坐标运算 设 ， 注：如果 ，则应理解为也有 。

七、向量的模、方向余弦的计算 1．模与方向余弦的计算 设 ， ，向量为 则向量的模即为 ， 两点之间的距离，故 或当向量写为： 时，则

并由此可知， （表明向量的方向角 不独立）。 2．关于与 同方向的单位向量 ： 因为 ，则 即：与 同方向的单位向量 的三个坐标分别为 向量 的方向余弦：

例2．已知 ， 试求与向量 平行 的单位向量。 解： 与向量 平行的单位向量为：

例3．向量 ， ，求 以及 在 轴方向上的投影、投影向量。 解： 故 在 轴方向上的投影为： 在 轴方向上的投影向量为：

例4．一向量的终点为 ，在 轴、 轴和 轴上的投影依次为4，-4，7，求此向量的 起点 的坐标。 解：设起点为 ，则 由题意，有 ，比较可得： 即 ， ， ； 所求向量的起点为：

例5．利用向量的相关运算证明：三角形的中位线 平行于底边，且等于底边的一半。 证：设 ， 分别为 ， 边的中点，则 即： ，表明 且 ，即证得三角形的中位线平行于 底边，且等于底边的一半。

例6．设向量的方向余弦分别满足 ⑴ ； ⑵ ； 试指出向量与坐标轴或坐标面的关系。 解：⑴ ，即 ； 表明向量与 轴正方向一致； （可否回答：向量垂直于 坐标面？） ⑵ ，即 ； 表明向量既垂直于 轴又垂直于 轴，也就是说 向量垂直于 坐标面。

或因为 ，故 即 ，或 ； 表明向量平行于 轴。 返回 继续

第二节 数量积 向量积 混合积* 一、向量的数量积（点积、内积） 1．引例 (1)作功问题：有一方向、大小都不变的常力 ， 第二节 数量积 向量积 混合积* 一、向量的数量积（点积、内积） 1．引例 (1)作功问题：有一方向、大小都不变的常力 ， 作用于某一物体（如图），使之产生了一段 位移 ，求力 对此物体所作的功。

解：由物理学的知识，可得： 且当 时， 作正功； 时， 作负功； 若 ，则 不作功。

(2)流量问题 某流体流过面积为 的平面，其上各点处流速均 为 （常向量）；设 是垂直于平面的单位向量， 计算单位时间内流过此平面的流体的质量即流量 （其中流体的密度为 ）。 解：单位时间内流过此平面的流体即斜柱体内的 流体，其质量 为

定义1. 设有向量 ，夹角为 ，称数量 为向量 与 的数量积，记作： ，即 也称 为 与 的点积，读作 点乘 由此定义，引例中的功可以表示为： 流量为可以表示为:

注：①如果 ，有 ；若 ， 则有 ，故 ②由上面讨论可以得到用点积计算投影的公式： ③由定义

2．性质 ⑴ ⑵ 交换率： 分配律： 结合律： ⑶ 设 为非零向量，则

⑷ 点积的坐标运算：设 则： 因为：

3．点积的两个应用 ⑴ 求两个向量的夹角 的余弦 ⑵ 求投影

例1．在 平面上求一向量 ，使得 ，其中 且 。 解：设 ，将条件带入，有 在 平面上： 或 ，解得 ：则 ， ：即 ，或 解得： ， ， ； 所求向量：

例2．设 均为单位向量，且满足 求 。 解：由条件，有 ，即 同理，由 ，则 由于 ，则 将上面的三式相加： ，即

二、向量的向量积（叉乘积，外积） 例3. 力矩问题 设 为杠杆的支点，力 作用在杠杆上 点处, 根据力学知识，力 对于支点 的力矩为向量 ，其方向垂直于力 与向量 所确定的平面， 且从 到 按照右手规则确定，其模为

1．向量积的定义 定义2. 设有非零向量 ，夹角为 （ ）， 定义一个新的向量 ，使其满足 ① ② ， ， 的方向从 到 按右手 规则确定，称 为 与 的向量积，记作： 读作 叉乘 。

注：⑴ 是一个既垂直于 ，又垂直于 的向量； ⑵ 的几何意义： 以向量 、 为边的平行四边形的面积。

2．性质 ① ② “交换率”： 结合律： 分配律：

例4．证明基本单位向量 ， ， 满足： 证： 表明 是单位向量； 由定义 ，且从 到 满足右手系，故 的方向正是 轴的正方向，即 的方向与 的方向一致；从而证得： 同理可证：

③ 的坐标计算：

如 ， ，则 注：求 时，也可以用下面的方法：

④设 为非零向量，则： 因为 ，即 从而： 整理得：

例5．已知三角形的顶点为 ， ， 求三角形的面积。 解：

例6．已知 ， 求一个单位向 量使之既垂直于 又垂直于 。 解：解法⑴ 根据向量积的定义，若 ，则 满足既垂直于 又垂直于 。 满足条件的单位向量为：

解法⑵ 设所求向量为： ，利用条件 ：即 ，则 ：即 ，则 或 ，则 解此方程组，可得 即

例7．求向量 ，在向量 方向 上的投影。 解： 例8．设向量 ， ，问 满 足什么关系，向量 与 轴垂直。 解： 由于 ， ，则 ； 解得： 。

例9．设空间三个点为 ， ， ，求 。 解： 所以

例10．已知向量的模为2，与 轴、 轴的夹角相等， 与 轴的夹角是前者的两倍，求此向量。 解：设所求向量为 ，则其方向角为 、 、 ， 则 且有 ，即 或 ，即 ，或 从而 ，或 ；又 或

例11．设 ， ，求 向量 间的夹角 。 解： 因为 ： 因为 ： 两式相减： ，解得： 即 返回 继续

第五节 平面及其方程 称三元函数方程 是空间曲面 的方程 的充要条件是：曲面上的任意一点都满足方程，且 满足方程的点一定在曲面上。 第五节 平面及其方程 称三元函数方程 是空间曲面 的方程 的充要条件是：曲面上的任意一点都满足方程，且 满足方程的点一定在曲面上。 一、平面方程 1．平面的点法式方程 平面的法向量：与平面垂直的非零向量称为平面的 法向量，记作 ； 其坐标表达式常写为：

注：根据法向量的定义，若 是平面的法向量，则 （ ）也是平面的法向量。 由空间几何知识可知，过一定点 垂直于已知直线的平面是唯一确定的。从而过 点垂直于已知向量 的平面也就是唯一确定的。 通常用 来表示平面。

设有一平面 ， 是 上的一个已知点， 是平面 的法向量；在平面 上任 意取一点 ，得向量： 则有 ，即 或 ★ 表明：平面 上任意一点 的坐标满足方程 ★。

反之，若 不在平面 上，则 就不成立，从而推不出 ，即此时点 的坐标不满足方程 ★。 综合上面的讨论，得出过点 ，以 为法向量 的平面 的方程为： 平面的点法式方程 注：建立点法式方程的关键是确定平面上的一个 点及平面的法向量。

例1．一平面过点 ，且与 到平面外一 点 的连线垂直，写出平面的方程。 解：由条件，向量 与平面垂直，故可以取平面的法向量 所求平面方程为： 或 ，或

例2．某平面过空间的三个点 试写出平面的方程。 解： 取 平面方程为 或 ，或

注：根据平面的法向量的定义，也可以取 其中 。如上题中，令 则 建立平面方程为： 整理后可得：

2．平面的一般方程 ⑴ 法向量为 的平面的一般方程 设 是平面经过的一个点，则平面的 点法式方程为 整理可得： 记 ，点法式方程变为： 以 为法向量的平面的一般方程。

注：①平面一般方程 中 的系数恰好是平面法向量的坐标 ； ②平面方程的特点是三元一次线性方程，而且任何 一个三元一次的线性方程均为平面的方程； ③在平面的一般方程 ，中 四个数只有三个是独立的。法向量 为非零向量，故其坐标 不可能同时为零。 不妨设 ，则可将平面方程改写为： 或 因此建立平面的一般方程只需三个独立的条件。

例3．平面 经过点 、 ，并且于 已知的平面 垂直，求 的方程。 解：①设平面 的一般方程： * 在平面 上： 在平面 上： 解得： ， ， ，带入方程 *可得： 即：

②设平面法向量 ，由条件 且 即 可取 建立平面的点法式方程，并整理为：

⑵几类特殊位置的平面方程 ① 过原点的平面： ② 平行于坐标轴的平面： 若平面平行于 轴，则必有 ，即 从而 ，则平行于 轴平面方程为： 同理可得，平行于 轴的平面： 平行于 轴的平面：

③ 经过坐标轴的平面 若平面过 轴，或称 轴在此平面上，则平面 必然经过坐标原点，故 ； 由②可知，过 轴平面方程为： 或 同理可得，过 轴的平面： 或 过 轴的平面： 或

④ 平行于坐标面的平面： 若平面平行于 坐标面，则平面的法向量 可以取为： ，从而平面的方程为： 或 且 时，方程 为 坐标平面的方程； 同理，平行于 面的平面方程： ； 而 坐标面的方程为： ； 平行于 面的平面方程： ； 而 坐标面的方程则为： 。

3．平面的截距式方程： 其中 ，依次为平面在 轴上的截距。 （便于作图） 当 均大于零时，根据 平面方程的截距式，平面位 于第一挂限部分的图为：

4．平面之间的夹角 规定：两平面的夹角为： （ ） 设 法向量分别为： ，即 则 ，或 从而

注意到 ，从而 ，则平面 与 夹角的余弦为： 易知，

5．点到平面的距离公式 设平面为 ， 是 平面外的一点，求 到平面 的距离。 设 是平面上的任意一点，则 根据 ，有

因为 ，则 （★） 又 是平面上的点，故 或 ，带入★

其中 是平面外的一点。 ~点到平面的距离公式~ 例4．确定 的值，使平面 与 与坐标原点的距离为3。 解： ， ，则 即 ， ，即 即原点到平面 的距离为3。

例5．求平面 的方程，使其平行于平面 且与三个坐标面围成的四面体的体积等于1。 解：平面 平行于平面 ，可设 其方程为： 在三个坐标轴上的截距分别为： ， ， 因为四面体的体积等于1，则 解得： ，即 ， 平面 的方程为：

例6．求过点 和 且与点 的距离为1的平面方程。 解：直接由已知条件列方程组求解：设平面方程： 将已知条件带入： 在平面上： 在平面上： 与点 的距离为1：

解得： 或 所求平面方程为： ，或 ，或 返回 继续