魔方陣與數獨

魔方陣 將數字1、 2、…、 填入 的方格中（簡稱「 n階方陣」 ），使得方陣中縱、橫、對角線的和都相同。這樣的方陣，我們就稱為「 n階魔方陣」 。 

河圖洛書 中國傳統易理哲學中來自上古時代的圖案。 《繫辭》又雲：「河出圖，洛出書，聖人則之」 。 《論語‧子罕》：「子曰，鳳鳥不至，河不出圖，吾已矣夫！」。

河圖 洛書

1階魔方陣 河圖洛書的應用 ：在中醫、易經、占卜、八字學、紫微斗數、風水學、擇日學、奇門遁甲等中國傳統五術中都有結合陰陽五行和應用到河圖與洛書的哲學理論。 1階魔方陣：

2階魔方陣 2階魔方陣： 2階方陣可以分成以下三種（將同構的所有排法視為同一種） 而這三種排法都無法使每行、每列、每條對角線的總和相同，因此2階魔方陣不存在。

3階魔方陣 三階魔方陣: 「九子斜排,上下對異,左右相更,四維挺出, 戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足。 」

n階魔方陣特性 每行、列的和均為 我們可以將一個魔方陣利用鏡射（reflection）或旋轉（rotation）互相轉換，數學上稱這些魔方陣為同構或同形（isomorphism）。

3階魔方陣的同構 給一3階魔方陣 分別對中間行、中間列、左上至右下的對角線、右上至左下的對角線做鏡射，就得到下面四個同構魔方陣：

3階魔方陣的同構 可以繞著中間的5旋轉 既然這8個魔方陣都是同構，表示3階魔方陣就只有一種就是—洛書。

魔術方陣的個數 幻方數目即包含所以同構情況。

奇數階魔方陣 宋朝楊輝（西元1275年）提出了一個構造三階魔方陣的秘訣： 「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出， 戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足」

奇數階魔方陣 楊輝法推廣－菱形法 Bachet de Meziriac ：數字斜排，上下對易，左右相更，四維挺進

奇數階魔方陣 De La Loubere (簡捷連續填製法) 方法：1立首列中，右一上一，受阻下一

偶數階魔方陣概念 概念：在2k階魔方陣，若 i=1,2,…,k，將第 i 個橫列（直行）與第2k+1-i 橫列（直行）中的數字對調k個數字，我們可得此兩橫列（直行）的數字和相同。

偶數階魔方陣 如在12階魔方陣中，第2橫列的數字和為222，第11橫列的數字和為1518，若將兩列對稱位置的6個數字對調，則其和均為 。 如在12階魔方陣中，第2橫列的數字和為222，第11橫列的數字和為1518，若將兩列對稱位置的6個數字對調，則其和均為 。 對調後每列數字和均為870。

偶數階魔方陣 依照上面概念，我們可適當地對調第i個橫列（直行）與第2k+1-i橫列（直行）中的k個數字。

6階魔方陣 依次序填入數字1、…、36於6階魔方陣

6階魔方陣 兩對角線數字反序倒排

6階魔方陣 相對應第i個橫列（直行）與第7-i橫列（直行）間各做1次數字對調，如右圖同色數字對調。

6階魔方陣

4n階魔方陣 把1 ~ 從左上角依序填入方陣內。

4n階魔方陣 用兩條鉛直線和兩條水平線將方陣分隔成四個角落各有一個n階的子方陣，和中心位置有一個2n階的子方陣

4n階魔方陣 以方陣中心為對稱點，將五個子方陣的每個數字與對應點的數字作交換，其它的數字不要動。 以8階方陣為例，先將1、2、…、64數字填入方陣中，在4個角落找出4個 2階子方陣與中間的4階子方陣，作對應變化。

8階魔方陣

8階魔方陣 先將1、2、…、64數字填入方陣中，在4個角落找出4個 2階子方陣與中間的4階子方陣，作對應變化，如右圖9與56、21與44。

8階魔方陣

4n+2階魔方陣 先將4n+2階魔方陣分成四個2n+1階魔方陣。

4n+2階魔方陣 依照順序利用奇數階方陣的規則，分別將數字{1、2、…、 } ，{ 、…、 } ， { 、…、 } ，{ 、…、 } 依照順序利用奇數階方陣的規則，分別將數字{1、2、…、 } ，{ 、…、 } ， { 、…、 } ，{ 、…、 } 填入A、B、C、D四個2n+1階魔方陣，數字填完之後，方陣中各直行的和就相同了，但列與對角線則否，此時必須在A-D與C- B之間，作一些對應的調換。

4n+2階魔方陣 將A中每一橫列(中間橫列除外)的頭n個元素，與D中對應位置的元素調換。 將C中每一橫列的倒數n-1個元素，與B中對應的元素對調

6階魔方陣 依照順序利用奇數階方陣的規則，分別將數字填入A、B、C、D四個3階魔方陣，

6階魔方陣 將A中每一列(中間列除外)的頭1個元素，與D中對應位置的元素調換。

6階魔方陣 將A的中央橫列、自中央那一格與D中對應位置對調。

數獨介紹 在9格寬×9格高的大九宮格中有9個3格寬×3格高的小九宮格，已經有一些數字在裡面了(但並非一定採用數字，例如採用字母a,b,c...)，根據這些數字，運用你的邏輯和推理,在其他的空格上填入1到9的數字，但是要注意了，每個數字在每個小九宮格內不能重複，每個數字在每行、每列也不能出現一樣的數字。

數獨歷史 數獨是一種源自18世紀末的瑞士數學家歐拉所創造的拉丁方陣游戲。 數獨在1970年代在美國發展，改名為數字拼圖（Number Place）。 數獨在日本發揚光大，以數學智力遊戲智力拼圖遊戲發表。在1984年一本遊戲雜誌《パズル通信ニコリ》正式把它命名為數獨。後來一位前任香港高等法院的紐西蘭籍法官高樂德（Wayne Gould）在1997年3月到日本東京旅遊時，無意中發現了。他首先在英國的《泰晤士報》上發表，不久其他報紙也發表，很快便風靡全英國，之後他用了6年時間編寫了電腦程式，並將它放在網站上，使這個遊戲很快在全世界流行。

數獨特色 數獨需要邏輯思維能力，與數字運算無關。雖然玩法簡單，但數字排列方式卻千變萬化，所以不少教育者認為數獨是鍛鍊腦筋的好方法。

數獨的組合 =66,7090,3752,0210,7293,6960 個組合，在2005年由Bertram Felgenhauer利用暴力法和邏輯計算出，如果將重複（如數字轉換，反射面等）不計算，那有5,472,730,538個組合。

數獨解題技巧 排除法與歸納法。

4×4 與 6×6數獨

六角星數獨

參考文獻 李國賢，趣味數學‧魔方陣，明日世紀。 梁彩麗與梁培基，偶數階幻方的快速構作, 數學傳播，第20卷第4期。 偶階同心魔方陣填製探討 http://home.educities.edu.tw/oddest/mq49.htm 維基百科。 魔方陣的簡介 http://web.ffjh.tyc.edu.tw/math/%E9%AD%94%E6%96%B9%E9%99%A3.doc

參考文獻 卜個掛嗎：河圖、洛書、魔方陣http://xserve.math.nctu.edu.tw/people/cpai/carnival/magic/index.htm 尤怪之家http://oddest.nc.hcc.edu.tw/ 數獨題目及解題技巧 http://net538.blogspot.com/