第四章 分 形 浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进。

第四章 分 形 第一节 什么是分形? 第二节 豪斯道夫维数与规则分形 第三节 容量维数、信息维数 第四节 时序分析与关联维数 第一节 什么是分形? 第二节 豪斯道夫维数与规则分形 第三节 容量维数、信息维数 第四节 时序分析与关联维数 第五节 分形生长 第六节 动力学与分形

第一节 什么是分形?

什么是分形？ 多姿的大自然体形 分形理论的创始人曼德布罗特(Mandelprot)曾说过：“浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进”，说的就是人们一般不应以简单的、理想的体系去对待实际体系。 大自然中存在的不规则的物体，可能存在不同尺度上的相似性，称为自相似性。例如： 1. 布朗微粒轨迹图存在自相似性：虽然记录时间间隔相差很大，但它们仍都具有相同的复杂性。 2. 不管漫步在海岸边以厘米量级观察，还是从人造卫星上以数千米跨度观察，海岸线的弯曲的复杂程度也可能是相同的。以不同尺度去测量都有相似结果说明，测量对象没有特征尺寸，它们具有尺度（标度）不变性。

什么是分形？ 布朗微粒轨迹 皮兰（Perrin）于1908年用显微镜测量了布朗运动的轨迹，他每隔30秒记录一次某个微粒的位置，再将相继得到的两点位置连成直线，得到一幅由长短不等的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩短为每隔3秒，画出的另外一幅微粒的轨迹图。将两图进行比较可以发现，两幅图虽不尽相同，它们具有同等的复杂程度。 以不同尺度去测量都有相似结果说明，测量对象没有特征尺寸，它们具有尺度（标度）不变性。

什么是分形？ 大自然中的自相似体 不管漫步在海岸 边以厘米量级观察 ，还是从人造卫星 上以数千米跨度观 察，海岸线的弯曲 的复杂程度也可能 是相同的。 大自然中的许多 不规则物体，可能 存在不同尺度上的 相似性，称为自相 似性。

什么是分形？ 多彩的大自然 大自然是异常复杂、丰富多彩的，那些简单、正规的理想对象只是少数。人们不应以简单的、理想的体系去对待实际体系。

什么是分形？ 理不清的相轨线

什么是分形？ 奇妙的计算图形

什么是分形？ 分形的定义 基于测量对象体形上的自相似性与标度不变性，曼德布罗特提出了分形理论。1973年，在法兰商学院讲学期间提出了分形的几何学的基本思想， 1977年，出版了第一本著作：《分形对象：形、机遇与维数》， 1982年，出版了第二本著作：《自然界的形几何学》 分形的英文词是“fractal”，是曼德布罗特创造的，用以表征某些不规则的几何形体。分形定义 “A fractal is a shape made of parts simslar to the whole in some way”， “分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形”，或者说： 分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。 维数：与人们熟悉的整规体形的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称为分形维数（简称分维）。 根据分形体不同特征，分形维数的定义有多种，而且不同维数定义计算出的维数也有一些差别。

什么是分形？ 分形研究领域 分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于处理自然科学中相关问题，象雷电、相变、聚合物生长等等，而且在扩展到生态、生命、经济、人文的许多领域。在地震、气象的预报预测、石油的多次开采等应用领域，甚至在股票涨落分析等方面，分形也都得到了广泛的应用。 分形与系统的混沌运动是密切相关的，是非线性科学的一个重要分支。 分形研究领域有如下方面 1. 数学，这是分形的基础领域； 2. 物理学、化学等自然科学， 如雷电、相变、聚合物生长、天文、地理地质、生态、生命等自然现象； 3. 非线性动力系统中的分形研究； 4. 人文、经济 如股票涨落分析等； 5. 国民经济：如地震、气象的预报预测、石油的多次开采等领域。

第二节 豪斯道夫维数与规则分形 1. 豪斯道夫维数与相似维数 2. 规则分形 2.1 康托尔点集 2.2 科赫曲线 2.3 谢尔宾斯基图形 2.4 模拟分形物质

1. 豪斯道夫维数与相似维数 豪斯道夫维数 例. 取长度为 l 的线段，放大 2 倍后的长度 2 l。边长为 l 的正方形，每边长放大 2 倍的面积为 4 l2。边长为 l 的立方体，每边长放大2倍的体积为 8 l3。 结果整理如下： 一维图形（线段） 21= 2 二维图形（正方体） 22= 4 三维图形（立方体） 23 = 8 归结： 取对数 豪斯道夫维数 推论：对于正规几何图形，分子为分母整除，Df 为整数，是欧几里德维数。对非规则图形，分子与分母不总可整除， Df 一般是分数，称为分维。

1. 豪斯道夫维数与相似维数 相似维数 换一个视角： 把单位面积的正方形等分成九个小正方形，每个小正方形边长缩短为原来长度的1/3，即有： 9×(1/3)2＝1 指数 2 显然为正方形维数。该式表示局部与整体有相似关系。 定义：假定某个几何体由N个局部组成，每个局部以相似比 b 与整体相似，则客体的相似维数为： 例：边长为 2l 的正方体，四等分得边长 l 的四个小正方形。小正方形边长与原正方形边长之比为＝1/2，局部与整体的相似比为： b = l/2l =1/2 ，Ds 为:

2. 规则分形 康托尔点集 许多数学家从纯数学兴趣出发，构造出一批自相似的几何图形：康托尔点集，科赫曲线，谢尔宾斯基地毯等。采用分形理论分析，看出这些图形与正规几何图形之间存在直接联系。 构成 取一线段 [0,1] 将其三等分，各段长度为原线段的 1/3。取走中间一段，保留两侧。将留下的两段再三等分并再取走中间一段，保留两侧其余两段。继续分割、取走，留下线段愈多则长度愈短。随着线段分为无穷多段，每段长度为零，总长度也为零，构成了由无穷个点组成的点集。

2. 规则分形 康托尔点集 康托尔点集分维 它的豪斯道夫维数，每次三等分后的一小段，将此放大三倍，把中间的 1/3 段舍去得到两个1/3 段，在豪斯道夫维数公式中，L＝3，K＝2，因此有： 它的相似维数，初始元线段长度为1，生成元为两个1/3，得局部与整体的相似比β＝1/3，N＝2：

2. 规则分形 康托尔点集 康托尔点的长度 生成元 En 由长度为(1/3)n 共有 2n 区段，当 时，因此各点总长度 多分集 上面的组成中每次将线段一分为三，故称康托尔三分集。依此法则，可以生成四分、五分…等多种康托尔点集。如四分康托尔点集，将一线段四等分，舍去中间两段，保留两侧的两段，如此进行同样操作下去。

2. 规则分形 康托尔点集 多分集维数 康托尔四分点集的维数 对于 n 分点集，（把一线段进行 n 等分，舍去中间的 n－2 段，保留两侧两段） 结论： 当 n→∞时，Df →0 各次多分集的 Df 维数

2. 规则分形 科赫曲线 科赫曲线 构成 科赫曲线是具有相似结构的弯曲线段。将长度为 1 的直线段三等分，保留两侧，将中间一段改成夹角60度的两个等长直线。再将上次操作的四段边长 1/3 的线段三等分，每段长度为 1/9，也将中间一段改成夹角60度的两直线。操作进行下去，得一条有自相似结构的曲 线，称为三次科赫曲线。 维数 三次科赫曲线由四个与整体相似的局部 组成，相似比 b = 1/3 ，因此相似维数 可见

2. 规则分形 科赫曲线 科赫雪花 构成 以三角形为源多边形，每一边作三等分并舍去中间 1/3。类似科赫曲线生成规则。第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边按科赫曲线规则，得 48 条边图形，以后依此进行同样得操作，直至无穷，称为科赫雪花。极限情况下，科赫雪花上的折线演变成为曲线。 科赫雪花周长 科赫雪花面积 维数 与科赫曲线维数 相等

2. 规则分形 谢尔宾斯基图形 1 垫片 构成： 取一个等边三角形，四等分得四个较小三角形。舍去中间小三角形，保留周围的三个。此后将这三个较小三角形按上述分割与舍去法则操作下去，得到一种介于线段与面之间的几何图形。 维数： 设想从一个小三角形开始，将每边扩大 2 倍，得与之相似的大三角形，面积为小三角形4倍。将中间一个小三角形舍去， 实际面积为小三角形 3 倍。 维数计算 Df ，由 L＝2，K＝3， 因此

2. 规则分形 谢尔宾斯基图形 2 地毯 (1) 构造 取正方形将其 9 等分，得 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。 分维 从一个小正方形出发，将每边扩大三倍，由于舍去中间的正方形，在 计算中，L＝3，K＝8， Df

2. 规则分形 谢尔宾斯基图形 地毯 (2) 构造 地毯 2 的构成方法是取边长为 1 的正方形按 p : q : p 的方法划分每边，并去掉中间 q 部分，留下四角。然后对四角小正方形进形类似的操作以至无限。它具有自相似性。 维数 右图是 p =0.45, q =0.1 的地毯图。 按 Ds 维数计算公式，局部与整体相 似比β＝2/9，N＝4，得：

2. 规则分形 谢尔宾斯基图形 海棉 构造 一个立方体的每边三等分，得27个小立方体。将体心和面心上七个小立方体舍去保留其余 20 个小立方体。再对每个小立方体进行同样操作，得到更小的 20×20＝400个立方体，如此操作进行下去直至无穷。其局部与其整体具有严格自相似性，极限情况下它的体积趋于零，而表面积趋于无穷大。 维数 用 3 维尺度测量时体积为零，用 2 维尺度测量时面积为无穷大，分维值介于 2 、 3 之间。从一个小立方出发，每边扩大 3 倍体积放大27倍，但舍去了7个体心和面心立方体。 因此

2. 规则分形 模拟分形物质 构造 这是由物理或化学家们构造出来的。构成方法：将一个半径为 1 的原子放在原点作为种子，在球的四个方向上结合四个原子，五个原子组成一个晶胞。再以这个晶胞为中心，在其四个原子的方向上结合四个晶胞，再在四个晶胞的方向上结合上由五个晶胞结合成的集团。这种模拟物质具有自相似性。 维数 由图可见当线径放大 L=3 倍数时，其面积放大 K=5 倍数。 因此

第三节 容量维数、信息维数 1. 容量维数与信息维数 2. 布朗运动 3. 自然界分形

1. 容量维数与信息维数 容量维数 大自然中存在大量的在统计意义下的自相似体，一般并不知道自相似比。为了解决这类物体的分维计算，发展了计算容量维数方法。 盒子计数法(box counting) 计算相似比复杂图形时，采用小方块(或圆片)去覆盖(或填充)被测对象，统计覆盖所需的方块数来计算其维数。如此方法计算的维数称为容量维数。 现用长度为 r 尺子去测长度为 L 的线段， L 与 r 之比为N。 N 值的大小与 r 长短有关， r 越小N 越大： 对于平面： 对于立方体： 对于 Dc 维物体： 取对数得容量维数

1. 容量维数与信息维数 容量维数 例子 应用于物质模型。 设晶胞重复结合了P 次，物质的线径为 L = 3p ，包含原子数有: 例子 应用于物质模型。 设晶胞重复结合了P 次，物质的线径为 L = 3p ，包含原子数有: N = 5p 个 用线径为 r = 3s 的小球覆盖：

1. 容量维数与信息维数 容量维数 埃侬吸引子 用边长 1:1/2:1/4 三种方块覆盖。 埃侬吸引子 用边长 1:1/2:1/4 三种方块覆盖。 边长 1 方块覆盖 35 块，边长 1/2 方块覆盖 95 块， 边长 1/4 方块覆盖 220 块, 可以用更短边长覆盖。 实际计算得：

1. 容量维数与信息维数 信息维数 通常，测量对象具有不均匀性，导致不同计数盒子有不同填充程度，但盒子计数法不能反映客体的不均匀分布。改进方法： (1) 对每个覆盖盒子按填充程度（所含点多少）进行编号; (2) 统计出分形结构落入第 i 只盒子的几率Pi(r)： 得信息维数 当各个盒子有同样填充程度：Pi(r) = 1/N(r) 信息维数等于容量维数： Di = Dc ， 一般情况下:

2. 布朗运动 布朗运动 无规行走 布朗运动是一种无规行走，它出自于醉汉的不自主行走，每走一步方向是任意的，行走路线迂回曲折。布朗运动无规行走的物理原因是液体中周围分子对微粒撞击造成的瞬时涨落，具有统计自相似性。 布朗微粒在行走中迂回曲折，虽经长时间行走离起点不会太远。理论计算表明实际的行走距离正比于时间方根t 1/2。 插图是从原点出发行走 500步线路图。

2. 布朗运动 布朗运动 分维 计算粒子走 N 步后离原点距离。总位移矢量 R 是它每步位移矢量 r 之和， 但空间是对称的，故〈R〉＝0，需求总位移的均方根平方： 每步位移是独立的 0 取对数得： 容量维数 b每步平均位移 本推导适合多维空间，即1、2或3维布朗运动，维数都为2。原因是运动路线迂回曲折。一维布朗粒子沿直线来回行走走出二维的图形，高维数运动空间又没有使维数增加，十分有趣。

3. 自然界分形 自然界分形 大自然中普遍存在着分形体。山脉，树林，闪电，海岸线  ，都会包含各种形式自相似体。 海岸线 为什么是分形体？首先具有自相似性。如果以不同比例尺去测量，所得到的长度是不同的。我国海岸线全长一万八千余公里，是以1公里标尺测量的。 1公里为单位：N=1.763x104 段， 1厘米为单位： N=3.812x104 段， 长度为381.2万公里，是地理书212倍。

3. 自然界分形 自然界分形 我国海岸线维数 用不同尺寸 r 测量，得不同的段数 N ，作 logN～logr 斜线。得斜线其方程为： 系数1.267 直线斜率，即海岸线分维值为 海岸线维数计算有两种： ①用不同 r 方格去覆盖，统计出覆盖海岸线的格子数； ②在地图上以不同 r 的标尺去测量海岸线，得一组与标尺对应的段数。 两种方法都用容量维数将测量结果作 logN～logr 双对数图，如得负斜率直线，其绝对值就是维数。如不是直线，此段海岸线就没有分形特征。

第四节 时序分析与关联维数 1.时序分析 2.关联维数

1.时序分析 时间序列 按一定的时间间隔测量系统某些变量： xt 时刻 t 时的数据 嵌入空间 由测量数据得一序列： 嵌入空间 由测量数据得一序列： g 嵌入间隔，嵌入空间维数 p p-维嵌入空间一个点，每一时刻 t 一个点，每点代表系统该时刻状态。 洛仑兹方程 方程组中参数 r =28，b=8/3，s=10 是出现奇怪吸引子条件

1.时序分析 嵌入空间 洛仑兹吸引子 左图是三维相空间（x, y, z）中洛仑兹方程的图象。 取嵌入间隔 g = 8，则得三维嵌入空间坐标: ，右图为嵌入空间内的图象。 由比较可以见到，两图的轨线虽然不尽相同，但它们都显示出了洛仑兹方程的奇怪吸引子特征。

1.时序分析 重现图 构筑好嵌入空间后，计算在两个时刻 i与 j点间距离 当时间系列是以 T 为周期的 则 当时间系列是非周期， 不满足这条件。 我们设定距离 r，如两点距离 ，则两点相关，否则不相关。 当用图象表示相关性，则以 i 为横坐标，j 为纵坐标，如 在(i, j)平面打个点。在平面上将出现所有由点 构成的图象，称重现图。 重现图上点的数目说明，轨道多少次到了事先设定距离内。重现图描述了重构轨道的再现情况。

1.时序分析 重现图 平方映射 在不同 m 值时重现图。 m =3.52 时，映射为周期 4 轨道。设嵌入空间的维数 p = 2，r = 0.001，重现线是45度角的直线，直线条的水平间距与垂直间距都为周期T = 4。当增加 r，如 r = 0.01，实验结果重现图与r = 0.001的情况相同。 m =4时，仍设嵌入维数 p = 2，设定距离 r = 0.001，重现线仍为45度，但不再是平行直线条，而是长短不一的线段，对应平方映射处于混沌状态。 r 增加时，对应有混沌特征的时间系列，重现图的结构会非常复杂。

2.关联维数 关联积分 由两点的相关性定义关联积分： C(r)与 r 之间的定性关系是: C(r)随 r 增加而增加，但随 r 增加的趋势与运动状态有关，以如平方映射为例： 在周期运动下，如 m =3.52时作 周期 4 运动，r = 0.001与 r = 0.01有同样的重现图，即C (r) 随 r 的增加是相同的或很慢的； 在作混沌运动时， C(r)随 r 单调增加。 N 很大时 m =4 的重现图是具有分数维的分形图象。因为当体系进入混沌后，它的某些行为，如奇怪吸引子，具有自相似性。我们可以利用重现图来计算系统的分形特性。

2.关联维数 关联维数计算 关联维数 用重现图计算的分形维数称关联维数,方法与容量维数方法相同。 按容量维数思想: 关联维数 用重现图计算的分形维数称关联维数,方法与容量维数方法相同。 按容量维数思想: 一维曲线上散落在尺度r内的点数比例于 r (一次方)， 二维平面上散落尺度r内的点数比例于 r2 ， 三维体积内散落尺度r内的点数比例于 r3 ， 维数为 v 的重现对象，散落的点数比例于 rn ， A 是比例常数 两边取对数： 取不同的 r 值对上式作图得一直线，直线的斜率即为所要求的 v 。 实际工作中，需要计算吸引子正维数，但事先并不知道。这时可以从小到大取数个 p 值，并由关联积分计算维数，并作曲线，可以发现，开始时随 p的增加而增加，以后逐渐变慢以至恒定，这就是所要求取的维数。

第五节 分形生长 1.扩散置限聚集模型 2.粘性指进

1.扩散置限聚集模型 扩散置限聚集模型 1981年，Witten 和 Sander 提出扩散置限聚集 (diffusion-limited aggregation-DLA)模型，1983年研究了模型与扩散方程关系，完善了这个模型。 DLA是针对生长过程出现无规分形提出的。该模型在计算机上模拟完成。 生成过程这样： 在一个二维点阵中心放上一棵种子，在点阵边缘引进一棵粒子让它在点阵上随机游荡。当粒子游动到点阵中心附近时，与位于中心点种子相结合(A粒子)后附着不动；当游动到点阵边缘就会消失(B粒子)。点阵上一旦失去游动粒 子，从点阵边缘引进新的游动粒子。

1.扩散置限聚集模型 扩散置限聚集模型 DLA模型可以说明许多物质生长现象。例如：铁丝表面镀锌，绝缘气体 (SF6)中在玻璃板面上放电图象等。 铁丝表面镀锌 SF6气体中玻璃 板上放电 中心种子生长 的细菌群落

2．粘性指进 粘性指进 (viscous fingering) 近年来一种粘性指进现象的研究很受重视。原来在采石油中，在经过一段时期的初期开采以后，随着地层内部压力的下降，地下还有一定数量的石油就取不出来了。 最初想到的办法是向地下注水，根据水的比重大油的比重小，水将下沉到底部的道理剩余在地层内的石油应该能托向地面。可是事与愿违，在压上来的油中含有大量压下去的水。

2．粘性指进 粘性指进 十九世纪英国造船工程师海尔-肖(Hele-Shaw)做过一个实验：在两块一定间隔平躺着的玻璃间充大粘度液体(如甘油)。上玻璃板中央有一小孔，从中注水其它小粘度流体)。 粘性指进实验装置颇为简单。取两块平板玻璃做海尔-肖盒，一块大些(如40厘米见方)作底板，小些作面板。几个垫脚将面板支架在底板上，两者间隙约0.5~1毫米。在面板上方置一照相机拍摄图象。在底板中心钻一小孔(约2毫米)用于注水，注入水应是染色的。实验时中充上所研究的高粘性液体，如甘油、原油之类。然后通过底板的小孔注水。实验中注水的压力应是恒定的。

2．粘性指进 粘性指进 海尔-肖发现在压力的驱动下，水在甘油中并非均匀地向四周扩散开来，而呈张开的手指形状四散地游动，称“粘性指进”。 为什么水在油中呈手指形状游动呢？原来当水在油中游动时，水-油间界面受到很大压力，水的游动是界面压力平衡结果，好似一个手指顶向一块橡皮薄膜，被手指顶住地方受力最小。当油从海尔-肖盒四周外溢时，压力减小，水就以手指状的方式向四周扩散开来。粘性指进以DLA生长方式发展。

第六节 分形与动力学 1. 奇怪吸引子的维数 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 3. 魔鬼楼梯的分形 4. 吸引域边界上的分形 第六节 分形与动力学 1. 奇怪吸引子的维数 2. 奇怪排斥子与康托尔点集 3. 魔鬼楼梯的分形 4. 吸引域边界上的分形 5. 一维映射的分数维 6. 1/f噪声 时序中的自相似性 7．复数域上的分形

1.扩散置限聚集模型 扩散置限聚集模型 DLA集团生长具有屏蔽性，新的粒子只能在聚集体外缘结合上去，不能深入到内部。结合起来的聚集体具有树枝状的松散结构，产生出一种无序的、不可逆生长的特殊的分数维体形。DLA集团具有统计意义上的自相似性。 以分形体内任一点为中心，取不同半径 r 作圆，在圆内的粒子数与 r 的关系为： D 为 DLA 集团的分形维数。通常在 1.6～1.7 之间。