§2 线性空间的定义与简单性质 主要内容 引例 线性空间的定义 线性空间的简单性质 目录 下页 返回 结束

一、引例 线性空间是线性代数最基本的概念之一. 这一节介绍它的定义,并讨论它的一些最简单的性质. 线性空间也是我们碰到的第一个抽象的概念, 为了说明它的来源, 在引入定义之前, 先看几个熟知的例子. 例1 在解析几何中，我们讨论过三维空间中的向量. 向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加，也可以与实数作数量乘法. 我们知道, 不少几何和力学对象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 首页 上页 下页 返回 结束

例2 为了解线性方程组，我们讨论过以 n 元有序数组 ( a1 , a2 , … , an ) 作为元素的 n 维向量空间 ( a1 , a2 , … , an ) + ( b1 , b2 , … , bn ) = ( a1 + b1 , a2 + b2 , … , an + bn ) , k ( a1 , a2 , … , an ) = (k a1 , k a2 , … , k an ) . 例3 对于函数, 也可以定义加法和函数与实数的数量乘法.譬如说,考虑全体定义在区间[a, b]上的连续函数.我们知道, 连续函数的和是连续函数, 连续函数与实数的数量乘积还是连续函数. 首页 上页 下页 返回 结束

从这些例子中我们看到, 所考虑的对象虽然完全不同, 但是它们有一个共同点, 那就是它们都有加法和数量乘法这两种运算. 当然，随着对象不同这两种运算的定义也是不同的. 为了抓住它们的共同点, 把它们统一起来加以研究, 我们引入线性空间的概念. 首页 上页 下页 返回 结束

在第一个例子中, 我们用实数和向量相乘. 在第二个例子中用什么数和向量相乘, 就要看具体情况. 例如, 在有理数域中解线性方程组时, 用有理数去作数量乘法就已经足够了，而在复数域中解线性方程组时, 就需要用复数去作乘法运算. 可见，不同的对象与不同的数域相联系. 当我们引入抽象的线性空间的概念时, 必须选定一个确定的数域作为基础. 首页 上页 下页 返回 结束

二、线性空间的定义 首页 上页 下页 返回 结束

(加法交换律) (加法结合律) 首页 上页 下页 返回 结束

(数量乘积结合律) (分配律)　 (分配律)　 首页 上页 下页 返回 结束

(1) 线性空间要有数域作基础, 同一个集合在不同的数域上所得到的线性空间是不同的. 关于定义的几点说明: (1) 线性空间要有数域作基础, 同一个集合在不同的数域上所得到的线性空间是不同的. (2) 一个非空集合V是否作成线性空间, 是针对运算来说的, 同一个集合和同一个数域, 对不同的运算作成的线性空间也是不同的. 线性空间的元素也称为向量. 当然，这里所谓向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多. 因此线性空间有时也称为向量空间. 首页 上页 下页 返回 结束

一般用小写的希腊字母 ,  ,  , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数. 例4 解析几何里,平面或空间中的一切向量对于向量的加法和实数与向量的数乘来说都作成实数域上的线性空间. 一般地, 对n元数组的加法与数乘作成数域P上的线性空间. 首页 上页 下页 返回 结束

例5 数域P上的一元多项式环P[x],对于多项式的加法和数与多项式的乘法, 作成数域P上的线性空间. 特别地, 数域P上次数小于n的多项式全体和零多项式组成的集合 对于多项式的加法和数与多项式的乘法, 作成数域P上的线性空间. 但是, 数域 P 上的n次多项式集合 对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式. 首页 上页 下页 返回 结束

例7 全体实函数, 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 作成实数域上的线性空间. 例7 全体实函数, 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 作成实数域上的线性空间. 例8 数域 P 对于数的加法与乘法,作成自身上的线性空间. 例9 复数域C可以看成实数域R上的线性空间. 首页 上页 下页 返回 结束

三、线性空间的性质 1. 零元素是唯一的 . 证 假设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素. 只要证明 01 = 02 即可. 1. 零元素是唯一的 . 证 假设 01, 02 是线性空间 V 中的两个零元素. 只要证明 01 = 02 即可. 一方面由于 01 是零元素，所以 01 + 02 = 02 . 另一方面又由于 02 也是零元素，所以 01 + 02 = 02 + 01 = 01 ， 于是 01 = 01 + 02 = 02 . 首页 上页 下页 返回 结束

即适合条件  +  = 0 的元素  是被元素  唯一决定的. 2. 负元素是唯一的. 即适合条件  +  = 0 的元素  是被元素  唯一决定的. 证 假设  有两个负元素  与  ，  +  = 0，  +  = 0 . 那么  =  + 0 =  + ( +  ) =( + )+  = 0 +  =  . 元素  的负元素记为 - . 利用负元素，我们定义减法如下：  -  =  + ( - ) . 首页 上页 下页 返回 结束

3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - . 证  + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 =  . 两边加上- , 即得 0 = 0 .  + (-1) = 1 + (-1) =[1 + (-1)] = 0 =0 , 两边加上- , 即得 (-1) = - . k0 + k = k(0 + ) = k 两边加上-(k) , 即得 k0 = 0 . 首页 上页 下页 返回 结束

4. 如果 k =0，那么 k = 0 或者  = 0 . 证 假设 k  0，于是一方面 而另一方面 k -1( k ) =(k -1k) = 1 =  . 于是  = 0 . 综合(3),(4),有 首页 上页 返回 结束