國立臺北教育大學 數學暨資訊教育學系 副教授 譚寧君(退休) 2013/11/06 新北市三峽國小 國立臺北教育大學 數學暨資訊教育學系 副教授 譚寧君(退休)

學習的革命—從教室出發的改革 思考臺灣教育現象是否為真: 一.學生學習動機與興趣逐年下降? 二.學生明白學習目標與努力方向? 三.愈來愈多學生從學習中逃走? 四.小組討論教學能激發學生自主學習? 觀摩日本教育的寧靜革命:十分之一 中小學進行 (1500所小學2000所中學200所高中) 一.學校推動”學習共同體”運動。 二.教育改革方案應與教育現場零隔閡。 三.競爭教育變為共生教育 目的教育變成意義教育量化教育變為質化教育。 解題 溝通 連結 理性與感性 智與美 公益事業 知與行 2

學習的革命—從教室出發的改革 學習共同體哲學觀: 一.公共性哲學:教室是公共空間 開放觀摩非評鑑而是提升品質。 二.民主主義哲學:教師家長學生有相同發言權。 三.追求卓越哲學:提供學生最好的教育內容與資源。 學習共同體教學實施:邁向共同學習的教學 一.採小組教學: 小一二全班或兩人一組， 三年級以上四人一組。 二.教師建構同僚關係(colleagiality):每人一年至少一次開放觀課 ， 共同討論教學策略，提升教學品質。 三.觀課分享: 人人需發表著重分享學習的優點而非建議如何改善。 四.重視課前備課與課後反省:搜集學生的錯誤類型與迷思概念討論。 五.尊重教師個性化與多樣化，藉由交流促進成長。 六.研討主軸為實際問題:不在應該如何，而在教師發現學習在哪裡 成功哪裡有困難。 解題 溝通 連結 理性與感性 智與美 公益事業 知與行 3

21世紀孩子需要什麼能力? 六種攸關最近的未來有無前途的關鍵性能力，它們分別是： 一.不只有功能，還重設計。 二.不只有論點，還說故事。 三.不只談專業，還須整合。 四.不只講邏輯，還給關懷。 五.不只能正經，還會玩樂。 六.不只顧賺錢，還重意義。 這六種關鍵能力來自兩種感知： 高感性（High Concept）與高體會（High Touch） *投影片 8 解題 溝通 連結 理性與感性 智與美 公益事業 知與行 4

如何提升學生的 高感性(High Concept)? 釐清工具性了解與關係性了解（skemp, 1976） 工具性了解(instrumental understanding） 優點：省時省力 缺點：不容易背頌、持久性低、再製性弱 關聯性了解（Relational understanding） 優點：容易記憶、持久性高、再製性強 缺點：費時費力 知其然不知其所以然 vs 知其然與知其所以然 5

如何提升學生的 高體會(High Touch)? 重視體驗學習 當我們用耳朵聽，我們只能記憶10％ 當我們用眼睛看，我們只能記憶30％ 當我們用身體經歷，我們卻能記憶80％ 當我們用心去感受，將無限內化於心 重視體驗學習 體驗學習係指一個人直接透過真實之情境體驗 而建構知識、獲得技能和提升自我價值的歷程

一、前言 --國小數學教學的疑難問題是什麼? 文字題理解*、 基本運算 、基本概念 二、單步驟文字題基本題型 加與減、乘與除 一、前言 --國小數學教學的疑難問題是什麼? 文字題理解*、 基本運算 、基本概念 二、單步驟文字題基本題型 　　加與減、乘與除 三、92 正綱與97 綱要在文字題上的差異 四、解文字題的理論分析 數學解題認知模式: Mayer, R.E. 認知成份 * 數學解題歷程步驟: Polya, G 解題四步驟 * 五、文字題解題策略 　　教學順序、算式填充題、簡化問題、圖解算術 六、結語

國小數學單步驟文字題分類 (一) 加與減 (二) 乘與除

加與減：正整數單步驟文字題 比較題： 改變題： 等化題 合併題： 差異量未知 結果量未知 被比較量未知 改變量未知 參照量未知 起始量未知 總數未知： 子集合未知

單步驟加減文字題—改變題 結果量未知(改變1、2) 小明有3顆糖，小華給了小明5顆糖，問小明現在有幾顆糖？ 小明有8顆糖，他給小華5顆糖，問小明現在有幾顆糖？ 改變量未知(改變3、4)* 小明有3顆糖，小華給小明一些糖後，現在小明有8顆糖，問小華給小明幾顆糖？ 小明有8顆糖，他給小華一些糖後，現在小明有3顆糖，問小明給小華幾顆糖？ 起始量未知(改變5、6)* 小明有一些糖，小華給他5顆糖後，現在小明有8顆糖，問小明原來有幾顆糖？ 小明有一些糖，他給小華5顆糖後，現在小明有3顆糖，問小明原來有幾顆糖？

簡單加減文字題的類型—比較題 差異量未知(比較1、2)* 小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小明比小華多幾顆糖？ 小明有8顆糖，小華有3顆糖，問小華比小明少幾顆糖？ 被比較量未知(比較3、4) * 小明有3顆糖，小華比小明多5顆糖，問小華有幾顆糖？ 小明有8顆糖，小華比小明少5顆糖，問小華有幾顆糖？ 參照量未知(比較5、6) * 小明有8顆糖，小明比小華多5顆糖，問小華有幾顆糖？ 小明有3顆糖，小明比小華少5顆糖，問小華有幾顆糖？

單步驟加減文字題—合併題 總數未知： 喬有3顆彈珠，湯姆有5顆彈珠，兩人共有多少顆彈珠？ 子集合未知： 喬和湯姆兩人共有8顆彈珠，喬有3顆，湯姆有多少顆彈珠？ 箱子裡有37隻雞，小雞有18隻，其他的是母雞，母雞比小雞多幾隻

簡單加減文字題的類型—等化題 差異量未知(等化1、2)* 被比較量未知(等化3、4)* 參照量未知(等化5、6)* －小明有8顆糖果，小華有3顆 ，問小華要再買幾顆糖後， 　才能和小明一樣多？ －小明有8顆糖果，小華有3顆，問小明要吃掉幾顆糖後， 　才能和小華一樣多？ 　 被比較量未知(等化3、4)* －小明有8顆糖果，小華再買5顆糖後，就會和小明有一樣 　多的糖，問小華原來有幾顆糖？ －小明有3顆糖果，小華吃掉5顆糖後，就會和小明有一樣 多的糖，問小華原來有幾顆糖？ 參照量未知(等化5、6)* －小明有3顆糖果，他再買5顆糖後，就會和小華有一樣多 　的糖，問小華有幾顆糖？ －小明有8顆糖果，他吃掉5顆糖後，就會和小華有一樣多

加減文字題解題教學困難 + － × ÷ ＜＞＝ 算術解法 一.加減文字題教學順序的混淆 二.運算符號與關係符號的混淆 + － × ÷ 　＜＞＝ 三.文字題解題方式的混淆 算術解法 代數解法 四. 忽略教具操作對運算了解的重要性*

101年國小數學教科書 比較型文字題出現次數統計表*

例： 12－5　7　　12－5＝13－6　

例題：小君現在有5張貼紙，她需要再買幾張才會有12張貼紙？ 算術解法: ** 5+( )=12 5+( 7 )=12 12-5=7 記錄問題 認知策略 察覺關係 代數解法： 5+( )=12 ( )＝ 12-5 12-5=7 記錄問題 數學性質 加減互逆關係

乘與除：正整數單步驟文字題 Vergnaud(1983):乘法結構分為三類 量數同構型、量數叉積型、多重比例型 Greer(1992):乘法結構分為十類 等組/等量 倍數改變/倍數比較 單位互換 /比率 部分與整體/度量的積 叉積/長方形面積

正整數單步驟乘與除文字題(續) 練鎖、多重比例 一包糖果有5顆，10包裝成一袋，小明買了8袋，請問小明共買了幾顆糖果呢？ 練鎖 小明家有4個成員要一起出外旅遊13 天，住旅館的用每個人每天要花500元，請問他們在這個假期裡旅館費共要花掉多少錢？ 多重 比例

正整數單一步驟乘與除文字題 等組/等量 M:乘法 P:等分除 O:包含除 1.等組－單位量為離散量 M.每個人有4個橘子，3個人共有幾個橘子？ P.12個橘子平均分給3個人，每人可以分得幾個？ Q.每人給4個橘子，12個橘子可以分給幾人？ 2.等量－單位量為連續量 M.每個人有4公升的橘子汁，3個人共有多少橘子汁？ P.12公升的橘子汁平均分給3個人，每個人可以分得多少？ Q.每個人分給2公升的橘子汁，6公升可以分給幾人？

正整數單一步驟乘與除文字題(續) 倍數改變/倍數比較 M1.一塊彈簧可延長為原長度的3倍，4公尺的彈簧可延 多長？ M2.彈簧的重量是銅的3倍，4公斤的銅，彈簧會有多重？ P1. 一塊彈簧可延長原長度的3倍，延長後為18公尺， 原長度是多少公尺？ P2. 彈簧的重量是銅的3倍，和42公斤彈簧同大小的銅 有多重？ Q.4公尺的彈簧可延長為12公尺，它可以延長幾倍？

正整數單一步驟乘與除文字題(續) 單位互換/比率 M1.一吋約2.5公分，3吋約幾公分 ？ M2.一條船每秒走4公尺 3秒走幾公尺？ P1. 3吋約7.8公分 1吋約幾公分 ？ P2. 一條船3秒走12公尺，每秒走幾公尺？ Q.4公尺的彈簧可延長為12公尺，它可以 延長幾倍？

正整數單一步驟乘與除文字題(續) 部分/整體 單位當量－相當除 M.某校有3/5的學生考試及格 ， 80人 參加考試有幾人及格？ P. 某校有3/5的學生考試及格 ，如果 有48人及格，有幾人參加考試？ Q.某校有80人參加考試，有48人及格， 及格人數占幾分之幾？

正整數單一步驟乘與除文字題(續) 叉積（組合） M.從甲鎮到乙鎮有三條路，由乙鎮到丙鎮有四條路，則由甲鎮經乙鎮到丙鎮有幾條不同的路徑？ M.小英有6 件不同的襯衫及4 件不同顏色的裙子，共可搭配幾套外出服？ P.假如由甲鎮經乙鎮到丙鎮有12條不同的路徑，而從甲鎮到乙鎮有三條路，則由乙鎮到丙鎮有幾條路？

正整數單一步驟乘與除文字題(續) 長方形面積（陣列） M1.長方形的寬是3公尺，長是4公尺， 求長方形的面積？ M2.浴室地磚橫的有7列，直的有6行， 請問浴室共有多少塊地磚？ P. 長方形的面積是12㎡，寬是3公尺， 求長方形的長？

正整數單一步驟乘與除文字題(續) 度量的積 M1.一部電熱器每小時耗費3千瓦， 4小時以後耗費3千瓦/小時？ P. 一部電熱器每小時耗費3千瓦， 多少時間將耗費1千瓦？

各版本教科書全數乘法文字題 結構之順序(林碧珍,2009,p49) 六十四年 審 定 版 等組群→等量→乘法改變→乘法比較→陣列 →鍊鎖型→組合→多重比例型、量數同構3規則 八十二年 審 定 版 等組群→乘法改變→陣列→等量→量數同構3規則 →乘法比較 等組群→乘法改變→乘法比較→等量→陣列→組合 →鍊鎖型 九年 一貫 暫綱 康軒版 等組群→等量→陣列→鍊鎖型→乘法比較→鍊鎖型 →量數同構3規則 南一版 等組群→陣列→等量→乘法改變→乘法比較→陣列 →組合→鍊鎖型 牛頓版 九年 一貫 正綱 國編版 等組群→陣列→等量→乘法比較 康軒版 等組群→陣列→乘法比較→等量 南一版 等組群→陣列→乘法比較→等量

92正綱與97 綱要 在文字題教學綱要上的差異 1.等號意義的引入:運算結果或等量公理 2.數學性質的引入:交換律、結合律、分配律 或符號關係 3.算式填充題的定位: 教學目標或過程目標

等號意義與數學性質

算式填充題的定位

代數教材設計(教育部,2003) 1、理解常用算術符號的使用, 並運用於日常問題算式以進行解題 數字符號： 1 2 3 4 …; 關係符號：＜ ＞ ＝ 運算符號： ＋ － × ÷ ; 未知數符號： □ ○甲乙丙x y z 2、瞭解個基本運算的性質 ， 並應用於解題活動。 如交換律* 、 結合律 、 分配律* 、遞移律 、 加減互逆 、 乘除互逆*。 3、了解併式演算，並活用運算律於簡化問題 4、協助發展對數學問題的解題策略。 例如代入法 *、逆思考法。 5、能理解等量公理。

代數學習的迷思 1.認為等號式運算的結果而非兩量的關係。 4+2=6 ； 3+5=4+4 2.以記憶規則學習逆算關係。如加移項變減 乘移項變除， □-5=15 ； □+5=10 ； □ ÷5=10 當 23-□=15； a-□=b ； a ÷ □=b 產生困難。 3.用文字或括號表示未知數的差別覺得混淆。 13+22=( ) ； □-23=15 ； 2x+5=8 4.題意理解的困難，不易將問題中已知條件列出關係式。 0.2χ× 15＝2340 5.算式與代數式的差別混淆 a+3=5,( )+3=5; 0.2χ, χ0.2; Y÷5=Y × 1/5=1/5Y 6.文字符號的運算混淆 3a+b=3ab

算算看，答案是多少？ １ 6 ÷ 2 ( 1 + 2 ) =？ (1) 1 (2) 9 (3) 不確定

有24個布丁，每6個布丁裝1盒，每2盒 裝一箱，請問可裝成幾箱？ 把問題用一個算式記下來。 想想看，這兩個算法都可以嗎？ 小明的記法 24 ÷ 6 ÷ 2 =（ ） 小英的記法 24 ÷ (6×2) =（ ） 想想看，這兩個算法都可以嗎？ 看看小明為什麼這樣記？ 小明的算式 看看小英為什麼這樣記？ 小英的算式

有24個布丁 ， 每6個布丁裝1盒 ， 每2盒裝一箱 ，請問可以裝成幾箱？ 小明的算式記成： 24 ÷ 6 ÷ 2 =（ ） 24 ÷ 6 24 ÷ 6 ÷ 2 =（ ） 有24個布丁 ， 每6個布丁裝1盒 ， 每2盒裝一箱 ，請問可以裝成幾箱？ 24 ÷ 6 ÷ 2 =（ ） 2 可裝4盒 2盒2盒裝成一箱， 共裝成2箱。 所以，小明記成 24 ÷ 6 ÷ 2 =（ 2 ） 小英的算式

有24個布丁 ， 每6個布丁裝1盒，每2盒裝一箱 ，請問可以裝成幾箱？ 小英的算式記成： 24 ÷ (6×2) =（ ） 24 24 ÷ (6×2) =（ ） 有24個布丁 ， 每6個布丁裝1盒，每2盒裝一箱 ，請問可以裝成幾箱？ 24 ÷ (6×2) =（ ） 2 1箱有 12個布丁 12個布丁裝成一箱， 共裝成2箱。 所以，小英記成 24 ÷ (6×2) =（ 2 ） 小明的算式

解文字題的理論分析： Mayer解題認知模式與 Polya數學解題步驟 (一)問題表徵( problem presentation) 1.問題轉譯( problem translation )： 將問題轉譯成為個人能理解的內在表徵。必須具備語言 知識、語意知識以瞭解問題情境中的關係結構與意義。 2.問題整合( problem integration )： 將有關的資訊整合成為連貫的問題表徵。認識問題的類 型、決定解題所需的資料，此時需要基模知識。 (二)問題解決( problem solving ) 1.解題的計畫與監控( solution planning and monitoring )： 將問題分成數個小問題，然後逐步地加以解決 2.解題的執行( solution execution )： 應用演算規則進行計算

數學解題的四成分、五知識 一條彈簧可延長至原長度的3倍，如果延長後的長為18公尺，原長度是多少公尺？ 成 分 地 磚 問 題 的 例 子 成 分 地 磚 問 題 的 例 子 問題轉譯 語言知識 延長至原長度的3倍 延長後的為18公尺 事實知識 倍 問題整合 基模知識 延長後的為18公尺=原長度的3倍 解題計畫及監控 策略知識 規劃解題步驟： (1)原長度的3倍 = 18公尺； (2)原長度× 3 = 18公尺； (3)原長度= 18公尺 ÷3 解題執行 程序性知識 18公尺÷3＝6

Polya(1945)之數學解題歷程:解題四步驟* * * 1.瞭解問題(understanding ): 能指出問題的主要成份 2.擬定計畫( plan ): 找出未知數和已知數之間的關係 3.實行計畫( implementation): 執行與檢查每一個步驟的正確性 4.回顧解答( look back): 考慮這個結果的合理性與邏輯性

文字題解題策略 一.了解題意記錄問題 算式填充題 * 二.分析算式性質察覺關係* 圖解算術* * 三.簡化問題減輕認知負荷 ** 圖解算術* * 三.簡化問題減輕認知負荷 ** 降低文字與數字複雜性* 四.理解題型的認知架構 重視教學順序

兩步驟文字題三種基模（Shalin & Bee,1985）： (一)等級基模（hierarchical）： 一個基模的整體為另一基模的部份 例題一：小安在每個盒子中放入3粒蘋果， 2粒柳丁，小安有7個盒子， 請問小安共有多少粒水果？ (二)分享整體基模（sharing — whole）： 兩個基模分享一個整體。 例題二：教室裡有20個男生和12個女生， 他們要平分成4組，請問每一組有多少人？ (三)分享部份基模（sharing — part）： 兩個基模共同分享一個部份。 例題三：一瓶果汁13元，特價期間每瓶便宜5元， 姐姐買了3瓶，一共要付多少元？

結 語 福祿貝爾： 教育無他，惟愛與榜樣 只要開始永遠不嫌遲 ~願與所有關心教育的朋友共勉* 謝謝聆聽敬請指教