高雄女中 林義強 John Lin

介紹許多解法與遞迴數列相關的益智玩具 九連環、大象扭出來、河內塔、Binary Burr、瘋狂象舞、Rudenko Clips、…

受到（大量）的衝擊，授課時數漸漸減少 ... 思考的時空條件受到壓縮 ... 有多少學生有機會充分理解 ? 受到（大量）的衝擊，授課時數漸漸減少 ... 思考的時空條件受到壓縮 ... 有多少學生有機會充分理解 ? 學測 數學試題 的影響 試題的型態受限， 你還教証明嗎? 考嗎? 你覺得哪些數學內容 最重要 ?

許多 Mechanical Puzzles 可以將某些（數學知識）以一種類似（藝術）或是（對話）的型態呈現。

（解題）是一種非常 ”個人” 的經驗 許多數學題目有其獨特性，賞味期限只有一次壽命； --- 在人跟（題目）初次相遇的那一次。 --- 時機、方式，不得不慎啊 ...

（套住）的狀態編碼為 1 ，（分開）的狀態編碼為 0

在此基礎上，猜測數列的內容 …，似乎還是頗有些難度。 配合一些 玩的經驗 以及 充分思考 的時空條件，... 可理解 - 數列  RPk  內容 恰好就是【k連環】的解答路徑

 RP4  有11項；解開【四連環】需要10次移動。 知道 341次移動可解開【九連環】，對（玩）幫忙不大。 重點還是 --- 數列  RPk  內容的探討。

要解開一個 k 連環( k ≥ 3 )，需要如下三個步驟：

數列  RPk  的內容由以下三個部分組成：

以數列  RP5  內容為例。

格雷碼 Gray code : 由貝爾實驗室的Frank Gray於1940年提出，用於在 PCM（脈衝編碼調變）方法傳送訊號時防止出錯，並於1953年取得美國專利。格雷碼是一個數列集合，相鄰兩數間只有一個位置上的數字差 1 ，且格雷碼的順序不唯一。 數列  RPk  中，任意相鄰的兩項之間均恰有一個位元改變， 故為一組格雷碼(Gray code)

根據 Rob Stegmann 先生 對現代 Mechanical Puzzles 的分類， 解法有使用到類似格雷碼概念的 Puzzles， 就稱之為 Gray code puzzles 格雷碼智玩。 例如：九連環、河內塔、大象扭出來、Binary Burr、瘋狂象舞、Rudenko Clips、…

Tower of Hanoi 河內塔 < http://en. wikipedia Tower of Hanoi 河內塔 < http://en.wikipedia.org/wiki/Tower_of_Hanoi > -- Édouard Lucas (1842~1891) 於1883發表 -- 有傳說的故事包裝，有趣 ?? -- 與高中課程內容相關程度最高，幾乎每個學校都有 …

編碼規則如下： (1). 由小而大圓盤依序為1, 2, 3, 4 號，每個圓盤的狀態依序對 應到一個（二進制四位數）的個位、十位、百位、千位 (2). 目標是中柱，因此，可以想像在初始狀態時中柱上已經 有一個虛擬的第5號圓盤。 (3). 遊戲目標解譯為第 k 號圓盤要蓋住第 k+1 號( k = 1, 2, 3, 4 )。 遊戲的過程中第 k 號圓盤總是有兩種狀態 --- 有蓋住或是沒蓋住第 k+1 號圓盤； 將（有蓋住）的狀態編碼為 0，（沒蓋住）編碼為 1

【4圓盤河內塔】的 最短解答路徑shortest solution path ， 可編碼成一個數列  HP4  ( Hanoi Path #4 )

在此基礎上，猜測數列  HPk  的內容 …，難度 ? 玩的經驗 以及 充分思考的時空條件，...

解 典型 k 圓盤河內塔問題 ( k ≥ 2 )，需要如下三個步驟：

數列  HPk  的內容由以下兩個部分組成：

以數列  HP5  內容為例。

一般而言，數列  HPk  有 2k 項； 前 2k–1 項 的 末 k–1 碼 恰為 逆序的  HPk–1  後 2k–1 項 的 末 k–1 碼 恰為  HPk–1  ∴  HPk  前半部與後半部的 末 k–1 碼 互相對稱

一般而言，數列 HPk  有 2k 項；  HPk  前半部與後半部的 末 k–1 碼 互相對稱 所有的數列  HPk  都是具有這種對稱性的格雷碼， 像這種類型的格雷碼也稱做 reflected Gray code

Binary reflected Gray code ( OEIS : A014550 ) The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ( OEIS ) Neil James Alexander Sloane ( 1939.1010 ~ )

有些人在玩【九連環】與【河內塔】時， 會隱約感覺到兩者非常類似；  HP4  : 1000, 1001, 1011, 1010, 1110, 1111, 1101, 1100, 0100, 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000,  RP4  : 1111, 1101, 1100, 0100, 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000, 有些人在玩【九連環】與【河內塔】時， 會隱約感覺到兩者非常類似；

 HP4  : 1000, 1001, 1011, 1010, 1110, 1111, 1101, 1100, 0100, 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000,  RP4  : 1111, 1101, 1100, 0100, 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000, ..... 比較 數列  RPk  與  HPk  的內容，我們確認 【k連環】與【典型河內塔問題】的玩法在數學上可以是 完全等價的。

 HP4  : 1000, 1001, 1011, 1010, 1110, 1111, 1101, 1100, 0100, 0101, 0111, 0110, 0010, 0011, 0001, 0000, 利用數列  HP4  的內容，我們確實可以把【四連環】由 初始狀態 (1111)，移動到狀態 (1000)，而那裏才是【四連環】 路徑最深之處；【k連環】亦然。

若以 (100…0) 作為【k連環】的初始狀態；那麼我們也可以 為【k連環】建立與【河內塔】完全一致的遞迴規則。

【河內塔】 新玩法： 初始狀態為 5個圓盤均套在左柱上， 目標是將 5個圓盤移動到右柱上。 增加一個限制 --- 每次移動一圓盤，且 只能移動到相鄰柱子 上 編碼規則如下： (1). 遊戲的過程中每個圓盤總是有三種狀態 --- 套在左柱、中柱或是右柱； 套在（左柱）編碼為 2，（中柱）為 1，（右柱）為 0 (2). 將 5個由小而大的圓盤的狀態依序對應到一個 （三進制五位數）的個位、十位、百位、千位、萬位。

路徑數列  TP3  : ( Ternary Path #3 ) 222, 221, 220, 210, 211, 212, 202, 201, 200, 100, 101, 102, 112, 111, 110, 120, 121, 122, 022, 021, 020, 010, 011, 012, 002, 001, 000

 TP1  : 2, 1, 0  TP2  : 22, 21, 20, 10, 11, 12, 02, 01, 00  TP3  : 222, 221, 220, 210, 211, 212, 202, 201, 200, 100, 101, 102, 112, 111, 110, 120, 121, 122, 022, 021, 020, 010, 011, 012, 002, 001, 000

解 移到鄰柱k圓盤河內塔問題 ( k ≥ 2 )，需要五個步驟：

數列  TPk  的內容由以下三個部分組成：

 TPk  的項數恰為  TPk–1  項數的3倍  TP1  : 2, 1, 0 共有 3 項，故  TP2  有 32 項，  TP3  有 33 項，…，  TPk  有 3k 項

 TPk  的項數 有 3k 項， k 為自然數 以數列  TP3  為例，其內容 33 = 27項 如下

一般而言， TPk  的項數 有 3k 項 前三分之一 ( 3k–1 項 ) 的 末 k–1 碼 恰為  TPk–1  中三分之一 ( 3k–1 項 ) 的 末 k–1 碼 為逆序的  TPk–1  後三分之一 ( 3k–1 項 ) 的 末 k–1 碼 亦為  TPk–1  ∴  TPk  的 末 k–1 碼 也具有對稱性

一般而言， TPk  有 3k 項，其 末 k–1 碼 具有對稱性 數列  TPk  也是一種 reflected Gray code

Ternary Gray code ( OEIS : A128173 ) The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences ( OEIS ) Neil James Alexander Sloane ( 1939.1010 ~ )

謝爾賓斯基三角形 Sierpinski triangle --- 一種碎形 波蘭數學家 W. F 謝爾賓斯基三角形 Sierpinski triangle --- 一種碎形 波蘭數學家 W. F. Sierpinski ( 1882 ~ 1969 ) 於1915年提出

【k 圓盤河內塔】問題的所有節點與連通路徑恰構成一個 k 階的謝爾賓斯基三角形

【k 圓盤河內塔】問題的所有節點與連通路徑恰構成一個 k 階的謝爾賓斯基三角形

初始狀態(222)，目標狀態(000) 解答路徑有 33 = 27 個節點 每個節點 --- 一個合法狀態 謝爾賓斯基三角形 Sierpinski triangle

初始狀態(222)，目標狀態(000) 典型 3圓盤河內塔問題， 從 (222) 到 (000) 只需要 走底部的水平線。 已將此最短路徑 編碼為  HP3 

路徑數列  TP3  : 222, 221, 220, 210, 211, 212, 202, 201, 200, 100, 101, 102, 112, 111, 110, 120, 121, 122, 022, 021, 020, 010, 011, 012, 002, 001, 000 新限制 只能移動到鄰柱 --- 使得解答路徑必須 繞過所有節點恰一次 解答路徑恰為 longest non-repetitive path 最長的不重複路徑 念數學的最愛 沒事找事 ... ?

機械結構大致上與河內塔相同 (較小的圓盤對應到較大的方形套環) 中間分隔的移動限制， 使得解答路徑恰為 7 圓盤河內塔 最長的不重複路徑 解答路徑有 37 = 2187個 節點 需移動 2186 次， 才能將 7個方形套環從最左邊都移到最右邊。 對於學數學的人，這是個有趣的新挑戰，不是太難， 大約需要很專注的20分鐘。

n-ary Puzzles < http://puzzles. schwandtner. info/group_nary n-ary Puzzles < http://puzzles.schwandtner.info/group_nary.html > -- Dr. Goetz Schwandtner (Extremely Puzzling) -- Some Thoughts on "Kugellager" Puzzle -- Binary Burr (Bill Cutler )、Ternary Burr (Goh Pit Khiam )、 K-419 (Kim Klobucher)、 Mysterians(Oskar van Deventer)

【扭出來 Spinout】 -- William Keister (1907~1997)於1972年發明 -- 將九連環的解題概念移植到一個旋鈕式的機械結構， 有七個旋鈕，每個旋鈕均有（垂直）與（水平）兩種狀態 1987年與 Binary Arts 合作生產【扭出來】

【大象扭出來 Elephant spinout】 -- Binary Arts ( ThinkFun ) 於1987年生產， 2000年 改版可愛大象造型的【大象扭出來】 +（快速復原）的機械結構

【Binary Burr】： Bill Cutler , 2003年 二進制概念移植到傳統多桿件組木結構， 獲得 IPP2003 Puzzle Design Competition 的 First Prize 【Barcode burr】： Lee Krasnow , 2004年 二進制概念移植到 6-sided center 組木結構， 獲得 IPP2004 P.D.C. 的 Honorable Mention。

【The Brain】： Mag-Nif 公司 1970年代開始生產 將（九連環）的概念植到圓盤結構的八連環； 每根可移動的圓棒就是（九連環）中的環 【Zankeisen】： Constantin （連環）變體 【Patience Puzzle】【Dirty Dog】： Tavern Puzzle

【瘋狂象舞 Crazy Elephant Dance】： --- 德國人Marcus Götz , 2005 年, 3-ary Puzzle --- 將【大象扭出來】升級到三進制； --- 五個（大象旋鈕），每個旋鈕均 有向上、向右、向下 三種狀態 --- IPP2005 P.D.C. Honorable Mention

【Rudenko Clips , Disc , Matryoshka】： --- 2012年 , 三個（河內塔）的變體設計 --- 俄羅斯發明家 Dr. Valery Rudenko 的設計

【Kugellager 軌道與球 】 -- Jean Claude Constantin , 2010年 -- 將（五進制）的概念移植到 Expandable Maze 結構 -- Dr. Goetz Schwandtner ( Kugellager 1250 moves analysis )

【Kugellager 軌道與球 】 --（五進制）編碼，依序為 (4444) , (4130) , (4301) , (0000) -- 解答路徑有 54 = 625 個節點， -- 從 (4444) 到 (0000) 會通過所有（5進制四位數） 所以也是一條 最長的不重複路徑

【Die Welle 波浪】 -- Jean Claude Constantin , 2010年 ,【Kugellager 】改版 -- （五進制）Curve Maze 結構 -- 解答路徑有 53 = 125 個節點， -- 從 (444) 到 (000) 會通過所有 （5進制三位數）， 也是 一條 最長的不重複路徑

絕大部分的 Puzzles 都可以被視為一種（廣義的圖書資源） 在個人的家庭、班級、學校甚或社區圖書館提供這樣的 （圖書資源）給學生（借閱）、（使用） 有助於經營一個 『有思考樂趣』的學習環境

2009年高雄高工 試行【廣義圖書計劃 General Library Project】 也許，我們可以從教室的書櫃做起 ... 鼓勵勇於冒險的實驗精神 自製的實驗 購買的實驗 課程的實驗 ...

中國古代益智遊戲(藝智堂) < http://chinesepuzzles 中國古代益智遊戲(藝智堂) < http://chinesepuzzles.org/hk/ > 張衛、雷彼得, 收藏許多 珍貴的骨董級九連環

Rob’s Puzzle pages Rob Stegmann < http://home. comcast Rob’s Puzzle pages Rob Stegmann < http://home.comcast.net/~stegmann/home.htm > 目前 最學術理論化的 Puzzles 文件資源

Extremely Puzzling - “n-ary Puzzle Pages” ; Dr Extremely Puzzling - “n-ary Puzzle Pages” ; Dr. Goetz Schwandtner < http://puzzles.schwandtner.info/group_nary.html > Extremely Puzzling - “n-ary Puzzle Pages” ; Dr. Goetz Schwandtner < http://puzzles.schwandtner.info/group_nary.html > Extremely Puzzling - “n-ary Puzzle Pages” ; Dr. Goetz Schwandtner < http://puzzles.schwandtner.info/group_nary.html >

九章出版社 < http://www. chiuchang. com 九章出版社 < http://www.chiuchang.com.tw/ > 孫文先 台北市 大安路一段 157巷8號1樓 (02)2325-7970 台灣 品項最多 Puzzles Shop，有 ThinkFun 及 IPP exahanges LiveCube - 最佳的 Puzzles 的實驗器材 施宣民 0920-467367；施宣光 0987-467097

Puzzle Master Puzzles Inc. < http://www. puzzlemaster Puzzle Master Puzzles Inc. < http://www.puzzlemaster.ca/ > 加拿大，目前全球規模最大的Puzzles Shop網站

Bill Cutler Puzzles, Inc. ; Bill Cutler < http://home. comcast

Cubic Dissection ; Eric Fuller < http://www. cubicdissection

Tavern Puzzles < http://www. tavernpuzzle

My difficulty in understanding mathematics: How was it discovered? If you can't solve a problem, then there is an easier problem you can't solve; find it. George Pólya ( 1887 ~ 1985 ) "We turn the cube and it twists us" - Dr. Erno Rubik Things that are pleasing you can hurt you somehow. - Don Henley / Glenn Frey ( Desperado )

升學考試決定了我們絕大部分的教學內容， 主導我們對各種數學素材的取捨 … 但不管考試的分數如何； 永遠不要忽略 “探索” 所帶來的樂趣及可能附加的成就 有能力體會到（數學內容）多面向的樂趣； （教室數學）之外，有能力分辨 Reachable Math , Expert math 樂於持續吸收未接觸過但可理解的數學知識。 - 阿強 共勉 2013.05

教一種技能，要用 train 這個字，而非 educate 。