Chapter 1 矩陣 1-1 聯立方程式 1-2 矩陣的定義 1-3 矩陣的運算 1-4 基本列運算 1-5 反矩陣 1-6 行列式

1-1 聯立方程式 m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (1-1) 1-1 聯立方程式 m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (1-1) 稱為線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若x1 = s1, x2 = s2,……, xn = sn能滿足聯立方程式(1-1)時，我們稱(s1, s2,…, sn)為聯立方程式(1-1)的解。

Example 1 聯立方程式可能有解(一個解或是無限多個解)，亦可能無解。 利用消去法(method of elimination)解聯立方程式，其利用方程式乘以適當實數後加到另外一個方程式上，以消去某個變數。 解聯立方程式：

Ex. 1 answer 式(1) × -3 +式(2) 式(1) × -4+式(3) 式(2) × (-6/5) +式(3)

Ex. 1 answer 式(2) × (1/5) +式(3) ×(5/2) 式(2) +式(1) x3=10代入式(1)與式(2)： 得x1=-4 x2 = 2

Ex. 2 解聯立方程式

Ex. 2 answer 式(1) × (-2) +式(2) 式(2)÷3x2=x3-4 代入式(1) 則聯立方程式可寫為： (無限多組解)

Ex. 3 解聯立方程式 式(1) × (-2) +式(2) (無解)

1-2 矩陣的定義 1-1 由 mn 個實數所構成的 m 列(row) n 行(column)長方形數列，稱為 m  n 階(order)矩陣(matrix) A。 (1-2)

1-2 矩陣的定義 1-1 為簡便計，m  n 矩陣常以符號 A = [aij]mn，或更 簡單的[aij]來表示。在矩陣 A 中第 i 列、第 j 行位 置的 aij 稱為矩陣 A 的(i, j)元素(element, or entry)。

矩陣的應用 矩陣除了數學、物理、工程、經濟或管理應用外，目標活動裡的一些數據，亦可利用矩陣符號表示之。例如某工廠生產A、B、C、D、E產品，以連續四天出貨數量，可以下式表示之：

1-2 矩陣的定義 下面介紹幾種具有特殊型態的矩陣。設A為 m  n 矩陣： 1-2 矩陣的定義 下面介紹幾種具有特殊型態的矩陣。設A為 m  n 矩陣： 若m = 1，矩陣 A 只有一列，稱為列矩陣(row matrix)或列向量(row vector)，如 A = [3, 2, 1]。若 n = 1 時，則稱 A 為行矩陣(column matrix)或行向量(column vector)。

1-2 矩陣的定義 當 m = n 時，矩陣 A 稱為 n 階方陣(square matrix of order n)。其中對角線元素a11, a22, ……, ann 構成主對角線(main diagonal)。 若 n 階方陣中，對角線之外的元素皆為0，即aij = 0，當 i  j ，則稱此矩陣為對角矩陣(diagonal matrix)。

1-2 矩陣的定義 若對角矩陣 A 中對角線元素皆為1，則稱 A 為單位矩陣(identity matrix)。通常以符號 In 表之。 1-2 矩陣的定義 若對角矩陣 A 中對角線元素皆為1，則稱 A 為單位矩陣(identity matrix)。通常以符號 In 表之。 若對角矩陣 A 中，對角線元素皆相等，即 aii = c, i = 1,…, n，則稱矩陣 A 為純量矩陣(scalar matrix)。

1-2 矩陣的定義 若 n 階方陣 A 中，aij = 0，當 i > j 時，則 A 稱為上三角矩陣(upper triangular matrix)。

1-2 矩陣的定義 若 aij = 0，當 i < j 時，則稱 A 為下三角矩陣(lower triangular matrix)，例如 不論是上三角矩陣或下三角矩陣，均通稱為三角矩陣(triangular matrix)。 元素皆為 0 的矩陣稱為零矩陣(zero matrix)，以符號 O 或 Om  n 表之。

1-3 矩陣的運算 1-2 若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m  n 矩陣，且aij = bij ，1  i  m， 1  j  n ，則稱矩陣 A 和矩陣 B 相等(equal)。並寫成 A = B。

1-3 矩陣的運算 加法運算(matrix addition) 1-3 矩陣的運算 1-3 加法運算(matrix addition) 若 A = [aij]， B = [bij] 皆為 m  n 矩陣，則 A 與 B的和(sum) C = [cij] 亦為 m  n 矩陣，且 即 C 是一個由 A 與 B 中相對應的元素相加而得的 m  n 矩陣，或寫成 C = A + B。

Ex. 4 2×2 3×2

1-3 矩陣的運算 乘法運算(matrix multiplication) 1-3 矩陣的運算 1-4 乘法運算(matrix multiplication) 若 A = [aij] 為 m  n 矩陣，B = [bij] 為 n  p 矩陣，則 A 和 B 的乘積(product) C = [cij] 為 m  p 矩陣，其中

1-3 矩陣的運算 若以符號表示，可寫成 C = AB  第 j 行

Ex. 5 為(2×3)×(3×3)=( 2×3)矩陣，若將A、B相乘次序顛倒，則得：

Ex.6

Ex. 7 故一般而言，AB≠BA

矩陣加法性質 設 A、B、C、O 為同階矩陣，則 (1) A + B = B + A 交換律(commutative property) 1-1 矩陣加法性質 設 A、B、C、O 為同階矩陣，則 (1) A + B = B + A　交換律(commutative property) (2) A + (B + C) = (A + B) + C　結合律(associative 　　 property) (3) A + O = O + A = A　同一律(identity property) ，這裡零矩陣O所扮演的角色正與實數中的零一樣。

Ex.8 則A+(B+C)=(A+B)+C

設A、B、C為三個矩陣，並設其加法與乘法的運算均能符合定義要求。 1-2 矩陣乘法性質 設A、B、C為三個矩陣，並設其加法與乘法的運算均能符合定義要求。 (1) A(BC) = (AB)C　結合律 (2) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC　分配律(distributive property) (3)若 A 為 m  n 矩陣，則 AIn = Im A = A 這裡單位矩陣在矩陣乘法運算中所扮演的角色與實數中的 1 相同。

Ex. 9 加法法則亦是一致

Ex. 10

Ex. 11

1-5 若以一實數 r 乘以矩陣 A = [aij]，則矩陣 rA 可由 A 中每一元素乘以 r 而得。這種運算，稱之為純量乘法運算(scalar multiplication)。 設 A = [aij] 為 m  n 矩陣，則矩陣 AT = [aji] 為 n  m 矩陣，稱為 A 的轉置矩陣(transpose of A)。 1-6

Ex. 12

純量乘法性質 設 r、s 為實數，A、B 為同階矩陣，則 1-3 純量乘法性質 設 r、s 為實數，A、B 為同階矩陣，則 (1) r (sA) = (rs)A ------- 結合律 (2) (r + s) A = rA + sA --------分配律 (3) r (A + B) = rA + rB (4) A (rB) = r (AB) = (rA) B (5) oA = O (6) rO = O 注意，此處o是實數，而O是零矩陣，當r=-1時，(-1)A可寫成-A，稱為A的負矩陣，故矩陣減法運算，A-B=A+(-B)

Ex. 13

Ex. 14

矩陣轉置性質 設 r 為一實數，A、B 為矩陣，則 (1) (AT)T = A (2) (A + B)T = AT + BT 1-4 矩陣轉置性質 設 r 為一實數，A、B 為矩陣，則 (1) (AT)T = A (2) (A + B)T = AT + BT (3) (AB)T = BTAT (4) (rA)T = rAT

Ex. 16

設 AT = A，則矩陣 A 稱為對稱矩陣(symmetric matrix)。 值得注意的是，對稱矩陣必為一方陣，且aij = aji。 1-7 設 AT = A，則矩陣 A 稱為對稱矩陣(symmetric matrix)。 值得注意的是，對稱矩陣必為一方陣，且aij = aji。

1-4 基本列運算 聯立方程式(1-1)若以矩陣符號表示，則可寫成 AX = b (1-3) 其中 1-4 基本列運算 聯立方程式(1-1)若以矩陣符號表示，則可寫成 AX = b　　　　　　　　　　　(1-3) 其中 稱為係數矩陣(coefficient matrix)。

Ex. 17 對角矩陣必為對稱矩陣。

1-4 基本列運算 X = [x1, x2, ……xn ]T 為 n  1 矩陣，而 b = [b1, b2, …… bn]T 為 m  1 矩陣，又 稱為擴張矩陣(augmented matrix)。 實際上，消去法就是在擴張矩陣上，施以一連串的列運算，這些運算可區分為三種。

對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱為基本列運算(elementary row operations)。 1-8 對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱為基本列運算(elementary row operations)。 (1)交換矩陣中的第 r 列與第 s 列(以符號 Rr  Rs 表之)。 (2)將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c (以符 號 cRr 表之)。 (3)將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c 後， 再加到第 s 列上(以符號 cRr + Rs 表之)。

若矩陣 A，經過一連串的基本列運算後變成矩陣 B，則稱矩陣 A 和 B 為列同義(row equivalent)。可寫成 A ~ B。 1-9 若矩陣 A，經過一連串的基本列運算後變成矩陣 B，則稱矩陣 A 和 B 為列同義(row equivalent)。可寫成 A ~ B。

Ex. 18 Ex. 1中聯立方程式之擴張矩陣為： Ex. 1消去法求解過程，若以基本列運算表示，寫為：

Ex. 18

Ex. 18

若矩陣滿足下列的條件，則稱為簡化列梯形矩陣。 1-10 若矩陣滿足下列的條件，則稱為簡化列梯形矩陣。 (1)任何一列的第一個不為零元素必須是1，而且含有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。 (2)每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列第一個不為零元素的右側。 (3)若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣的最下端。

Ex. 19

1-11 若 A 為 m  n 矩陣，矩陣 C 為 A 經過一連串基本列運算後所得之簡化列梯形矩陣，則 C 中不全為零的列的個數，稱為矩陣A 的秩(rank)，以 r (A)表示。

Ex. 20 Ex. 1中矩陣 之秩等於3， 因為簡化列梯形矩陣不全為零的列有三個，而r(A)亦等於3。

習作解答

習作解答

習作解答 (1)任何一列的第一個不為零元素必須是1，而且含有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。 (2)每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列第一個不為零元素的右側。 (3)若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣的最下端。

考慮聯立方程式 AX = b，A 為 m  n 矩陣， 1-5 考慮聯立方程式 AX = b，A 為 m  n 矩陣， (1)若 r (A) = r ([A  b]) = n 則 AX = b有唯一解 (2)若 r (A) = r ([A  b]) < n 則 AX = b有無限多解 (3)若 r (A) < r ([A  b])，則 AX = b 無解 在解聯立方程式 AX = b 時，進行一連串的基本列運算，將 [A  b] 轉換成與其列同義的矩陣[C  d] 或 CX = d，因此 AX = b 與 CX = d 具有相同的解。

Ex. 21 解聯立方程式 x1+2x2+4x3=6 x2+2x3=3 x1+x2+2x3=1 解其擴張矩陣為：

Ex. 21 由定理1-5與r(A)=2<3=r([Ab])，得知此聯立方程式無解。又最後的簡化列梯形矩陣所對應之聯立方程式為： 第3個方程式為矛盾方程式，故無解。 1x1+ 0 x2+ 0 x3=0 0x1+1  x2+2  x3=3 0x1+ 0 x2+ 0 x3=1

Ex. 23 解聯立方程式 解：

Ex. 23 若聯立方程式(1-3)中的 b 為零向量，即 b = 0， AX = 0　　　　　　　　　　　(1-4) 為齊次線性聯立方程式(homogeneous system of linear equations)。 若 b  0，則稱(1-3)為非齊次線性聯立方程式(nonhomogeneous system of linear equations)，顯然 x1 = 0, x2 = 0, ……, xn = 0 必為(1-4)的解，稱之為自然解(trivial solution)。

Ex. 23 聯立方程式

Ex. 24 解聯立方程式：

設 A 為 m  n 矩陣。若 m < n，則齊次線性聯立方程式 AX = 0必有無限多解。 1-6 設 A 為 m  n 矩陣。若 m < n，則齊次線性聯立方程式 AX = 0必有無限多解。

1-5 反矩陣 首先考慮聯立方程式 假設有一矩陣 B，可使得 BA = In，則在 AX = b 兩邊的前端同時乘以 B，可得 1-5 反矩陣 首先考慮聯立方程式 AX = b，A 為 n 階方陣。 假設有一矩陣 B，可使得 BA = In，則在 AX = b 兩邊的前端同時乘以 B，可得 BAX = Bb InX = Bb 或　 X = Bb 換言之，聯立方程式 AX = b 的解即為 X = Bb。對於這個 B 矩陣，稱它為 A 的反矩陣。

1-12 設 A 為一 n 階方陣。若存在一 n 階方陣 B，使得AB = BA = In，則稱 A 為非奇異矩陣(nonsingular matrix)或可逆矩陣(invertible matrix)，並稱 B 為 A 的反矩陣。 反之，若沒有這種B矩陣的存在，則稱 A 為奇異矩陣(singular matrix)或不可逆矩陣(noninvertible matrix)。

因此 B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C。 習慣上，可用符號 A1 表示 A 的反矩陣。 1-7 若矩陣 A 有反矩陣，則僅有一個反矩陣。 證明：設 B 與 C 皆為 A 的反矩陣，則 BA = AB = In CA = AC = In 因此 B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C。 習慣上，可用符號 A1 表示 A 的反矩陣。 即　　AA1 = A1 A = In

Ex. 25

Ex. 26 利用Ex. 25的結果，解聯立方程式 x1+2x2=0 4x1+9x2=1 解：若以矩陣表示，可寫成：

若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In；反之，若 A ~ In，則 A 必為非奇異矩陣。 矩陣 A 與 A1 應滿足關係式 1-8 若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In；反之，若 A ~ In，則 A 必為非奇異矩陣。 矩陣 A 與 A1 應滿足關係式 AA1 = In (1-5) 若將 A1 及 I 分別用行向量表示成 [X1,……,Xn] 及 [E1,……,En]

其中 則(1-5)式可改寫成 AX1 = E1,……, AXn = En　　　　　　(1-6)

也就是 X1, X2, ……, Xn 分別是下列 n 組聯立方程式的解 AX= E1, AX = E2, ……, AX = En (1-7) 這 n 個聯立方程式的擴張矩陣為 [A  E1], [A  E2], …… , [A  En] (1-8) 若利用基本列運算和定理1-8及(1-6)，可將(1-8)化成列同義的擴張矩陣 [In  X1], [In  X2],~…… ,[In  Xn] (1-9)

今將(1-8)與(1-9)中各矩陣，以更精簡符號表示，可得 [A  In] ~ [In  A1] 　　(1-10) 因此，若能利用基本列運算將矩陣 [A  In] 轉換成 [In  B] 的型式，則 B 必為 A 的反矩陣。

Ex. 27 在Ex. 25中， ，試求A-1。

Ex. 28 R1+R3

Ex. 28 (-9)R2+R3 (-1)R3+R2

1-9 (1)若 A 為非奇異矩陣，則 A1 亦為非奇異矩陣， 且(A1) 1 = A。 (2)若 A，B 皆為非奇異矩陣，則 AB 亦為非奇異矩陣，且(AB) 1 = B 1A 1 。 (3)若 A 為非奇異矩陣，則 AT 亦為非奇異矩陣，且(AT) 1 = (A1) T。

Ex. 29

Ex. 29 (Another method)

Ex. 29

1.6 行列式 若 為一 n 階方陣，則其行列式為一實數，記為 |A| 或det(A)。

1-13 (1)若 A 為一階方陣，即 A = [a11]，則定義 |A| = a11。 (2)若 A 為二階方陣，即 ，則定義 |A| = a11a22  a12a21。

1-14 若 A = [aij] 為 n 階方陣，令 Mij 為 A 中除去第 i 列及第 j 行後的 n1 階子矩陣，則子矩陣 Mij 的行列式 |Mij| 稱為元素 aij 的子行列式(minor)。而 Aij = (1)i + j |Mij| 則稱為 aij 的餘因式(cofactor)。 Mij

若 A = [aij] 為 n 階方陣，則行列式 (1-11) 1-15 若 A = [aij] 為 n 階方陣，則行列式 (1-11) 定義1-15中的行列式 |A|，可視為依第 i 列將 n1 階餘因式展開的結果。亦即，先固定某一列 i，對第 i列中元素求取對應之 Aij , j = 1,2 …, n，乘上 aij後再加總起來。當然也可以先固定某一行 j，對第 j 行中各元素求取 Aij，乘以 aij 後，再依 i = 1, ……, n 相加起來。故 (1-12)

Ex. 30 故藉由列或行的展開，即公式(1-11)或(1-12)，求得的|A|都完全 一樣。

Ex. 31

設 A = [aij] 為 n 階方陣。 (1)若 A 中某一行或某一列的元素全為零，則 |A| = 0。 1-10 設 A = [aij] 為 n 階方陣。 (1)若 A 中某一行或某一列的元素全為零，則 |A| = 0。 (2)若 A 中有兩行或兩列的元素完全相同，則 |A| = 0。 (3)若 A 為三角矩陣，則 |A| = a11a22 ……ann。 (4)若將 A 的某兩列(或行)相互對調而得矩陣 B，則 |B| = |A|。

1-10 (5)若 A 中某一列(或行)乘上實數 c 後而得矩陣 B，則 |B| = c |A|。 (6)若 A 中某一列(或行)乘以實數 c 後，加到另一列(或行)上，而成矩陣 B 時，則 |B| = |A|。 (7)若 B 亦為 n 階方陣，則 |AB| = |A||B|。 (8) |AT| = |A|。 (9)若A為非奇異矩陣，則|A|  0，且 。 上述定理的結論(9)，可由(3)(7)及 A1A = In 而得。

若 A = [aij] 為 n 階方陣，則 當 i  k 時， 當 j  k 時， 1-11 若 A = [aij] 為 n 階方陣，則 當 i  k 時， ai1 Ak1 + ai 2 Ak2 + …… + ain Akn = 0　　 (1-13) 當 j  k 時， a1j A1k + a2j A2k + …… + anj Ank = 0　　 (1-14)

1-16 若 A = [aij] 為 n 階方陣，則矩陣 adj A = [Aij]T 稱為 A 的伴隨矩陣(adjoint matrix of A)。 伴隨矩陣 adj A 可以用來求 A 的反矩陣。

若 A 為 n 階方陣，|A|  0，則 A 為非奇異矩陣，且 1-12 若 A 為 n 階方陣，|A|  0，則 A 為非奇異矩陣，且 若 A 為 n 階方陣，則齊次線性聯立方程式 AX = 0 有不為零的解之充要條件是 |A| = 0。 1-13

1-14 Cramer’s rule 設有聯立方程式

且係數矩陣 A = [aij] 的行列式 |A|  0，則此聯立方程 式有唯一解，其解為 其中 即 Ai 為 A 中的第 i 行以行向量 b = [b1, b2 ,……,bn]T 取 代後的矩陣。 