商用統計學 Chapter 12 類別資料分析

12類別資料分析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 由於類別資料在實際生活上常常發生，而卡方檢定其方法亦簡單容 易，因此乃將無母數統計方法中的卡方檢定，獨立於本章說明。

12-1基本概念 . . .類別資料概述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂類別資料 (Categorical Data)，是指根據觀察值 ( 即個體 ) 的屬性，按照不同類別加以分類 ( 分組 )，而各分類 ( 分組 ) 的 個數，乃依計數 ( 或稱點計 ) 方式而得，故又稱為計數 ( 點計 ) 資料 (Count Data)。 如一份「罐裝烏龍茶消費行為」研究，其樣本300人，其部份變數， 如下表所示： 變　　數 項　　別 人　　數 百分比 口　　味 一般甜度 180 60% 低　　糖 120 40% 購買地點 販 賣 機 24 8% 便利超商 45 15% 大 賣 場 144 48% 雜 貨 店 69 23% 其　　他 18 6%

12-1基本概念 . . .類別資料概述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 在社會科學 ( 尤其是以問卷工具來搜集、整理的資料 ) 裡，我們 常見列表資料，有下列兩種方式： 1. 單分類列聯表 所謂單分類列聯表 (One-Way Contingency Table)，是指統計資料 只依單一變數加以分類，如： 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其中口味之受測者人數，如下表所示： 研究者可檢定： 假設： 口　味 一般甜度 低　　糖 人　數 180 120

12-1基本概念 . . .類別資料概述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其購買地點之受測者人數，如下表所示： 研究者可檢定： 假設： 購買地點 販賣機 便利超商 大賣場 雜貨店 其 他 人　數 54 45 114 69 18

12-1基本概念 . . .類別資料概述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 桂格公司在過去5年對嬰兒奶粉的消費型態調查如下，30% 為重度使用者，40% 為中度使用者，20% 為輕度使用者，10% 為非使用者，今為了解此消費型態是否有改變，乃調查300位嬰兒的使用量，其資料如下： 研究者可檢定： 假設： 使用型態 重度使用者 中度使用者 輕度使用者 非使用者 人　數 85 130 50 35

12-1基本概念 . . .類別資料概述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. 雙分類列聯表 所謂雙分類列聯表 (Two-Way Contingency Table)，又稱交叉分析 表 (Cross tabulated Table)，是指統計資料依兩變數加以分類， 如： 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其中性別與口味之受測者人數，如下表所示： 研究者可檢定： 假設： 口 味 性 別 一般甜度 低　　糖 男 100 80 女 75 45

12-1基本概念 . . .類別資料概述. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其中教育程度與促銷方式偏好之受測者人數，如下表所示： 研究者可檢定： 假設： 促銷方式 教育程度 折價券 贈　品 抽獎旅遊 大　　學 40 20 高　　中 30 國　　中 50 60

12-1基本概念 . . .卡方檢定的模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 就上述樣本資料觀察值加以分類所得之次數分配表，稱為列聯表 (Contingency Table)。表格中若為兩變數分類，包括r列與c行，則 稱為 列聯表或 交叉表。 我們在列聯表所搜集到的是樣本觀察次數，若我們想了解母體 ( 或 理論上母體 ) 的實際資料分配是否也是如此？或接近如此？換言 之，“樣本結果”與“期望結果”是否一致的檢定，即類別資料檢 定的主要內容，而其檢定方法，乃應用卡方檢定方法。 卡方檢定 的模式如下 ( 以單分類列聯表為例 )： 觀察次數：設隨機抽樣樣本大小為n，依某屬性將其分為k類，每類之觀察次數 (Observed Frequency) 設為 ，且 。

12-1基本概念 . . .卡方檢定的模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 理論次數：依機率 理論計算在下期望所發生的次數，設為 ，稱為期望次數 (Expected Frequency) 或理論次數 (Theoretical Frequency)，且 。其中 ( 為虛無假設 下之假設機率值 )。 3. 兩者之關係如下表所示：

12-1基本概念 . . .卡方檢定的模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 檢定統計量：以卡方統計量來表示全部觀察次數與期望次數之差 異，即 本式由統計學家Karl Pearson (1857～1936) 於西元1900 年所提出。 當樣本大小夠大時，本式的間斷 分配近似於連續 分配 ( 即 第9章之來自常態母體的 分配 )。所謂樣本大小夠大，是指每 一類別期望次數均大於等於5 ( 即 )，否則須與他組合 併，以滿足此條件。 註：若期望次數小於5 ，則卡方檢定無效率。

12-1基本概念 . . .卡方檢定的模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. 自由度的計算：有兩種情況 (1) 。若期望次數可直接在 之假設下算出，則自由度 為 。因為k類，使用一條件式 ，所以自由度少一， 即 。 (2) ( 設m為由樣本觀察值估計之母體母數的數 目 )。若期望次數需要估計m個母體母數後才能算出，則 。 註：自由度之實際計算，我們會詳細在下節例子中說明。

12-1基本概念 . . .卡方檢定的模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. 決策：當 時，表示樣本觀察次數與期望次數差異大， 即樣本資料與 下之母體資料差異大，故拒絕 之假設。由於拒 絕域列於 分配的右尾，所以一律採右尾檢定。

12-1基本概念 . . .卡方檢定的模式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 常見的卡方檢定類型，可分為下列兩形態、四種類型，如下所示：

12-2適合度檢定(一) – 多項式母體比例的檢定 . . .多項式分配. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 所謂多項式母體，即是多項分配 (Multinomial Distribution)。我 們在第五章曾說明間斷分配，其中二項分配是指一實驗分兩類事件 獨立重複試行n次的機率分配，我們若將此觀念延伸，若一實驗分多 類事件獨立重複試行n次的機率分配，即多項分配。換言之，具有多 項實驗的機率分配，即為多項分配，多項實驗具有下列特性： 1. 試行n次且獨立重複實驗。 2. 每次試行皆屬k類中之一類。 3. 每次試行出現第i類的機率為 ，且固定不變，其中 。 4. 設 為n次試行中出現第i類的個數，其中 。 多項式分配之機率分配形態，如下所示：

例題一 巨大工廠生產的產品分A、B、C三級，所占之比例為1：2：1，今隨 機抽取10個，其中A級2個，B級5個，C級3個之機率為何？ ＊解 , ,

12-2適合度檢定(一) – 多項式母體比例的檢定 . . .多項式母體比例的檢定步驟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 多項式母體比例的檢定步驟，其導出過程，如下所示 ( 設顯著水準 為α)： 假設： 2. 樣本統計量：以卡方統計量來表示全部觀察次數與期望次數之差 異，即 式中 ，當n夠大時， 統計量近似卡方分配，其自由度 ，若 ( 期望次數 ) ，必須合併其他類別成為一個， 使其 。

12-2適合度檢定(一) – 多項式母體比例的檢定 . . .多項式母體比例的檢定步驟. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. 拒絕域： ( 一律採右尾檢定 )。 4. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。

例題二 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其中口味之受測者人數， 如下表所示： 試檢定消費者對罐裝烏龍茶飲料的偏好比率是否相同 ？ ＊解 試檢定消費者對罐裝烏龍茶飲料的偏好比率是否相同 ？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量： 口　味 一般甜度 低　　糖 人　數 180 120

例題二 拒絕域： ； (4) 計算： ； (5) 決策：∵　 ，差異顯著，∴　拒絕 ，即消費者對罐裝烏龍茶飲料的偏好比率不同，由資料可知，偏好一般甜度比低糖來的高。

例題二

例題三 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其購買地點之受測者人 數，如下表所示： 試檢定購買地點 ( 販賣機：便利超商：大賣場：雜貨店：其他 ) 之受測者人數比率是否為1：2：4：2：1 ？。 ＊解 假設： (2) 檢定統計量： 購買地點 販賣機 便利超商 大賣場 雜貨店 其　他 人　數 24 45 144 69 18

例題三 拒絕域： 計算：

例題三 (5) 決策：∵　 ，落在拒絕域，差異顯著，∴　拒絕 ，即購買地點 ( 販賣機：便利超商：大賣場：雜貨店：其他 ) 之受測者人數比率不為1：2：4：2：1。

例題四 桂格公司在過去5年對嬰兒奶粉的消費型態調查如下，30% 為重度使 用者，40% 為中度使用者，20% 為輕度使用者，10% 為非使用者， 今為了解此消費型態是否有改變，乃調查300位嬰兒的使用量，其資 料如下： 試檢定消費型態是否改變 ？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量： 使用型態 重度使用者 中度使用者 輕度使用者 非使用者 人　數 85 130 50 35

例題四 拒絕域： 計算： ； 決策：∵　 ，落在接受域，差異不顯著，∴　接受 ，即此消費型態沒有改變。

12-3適合度檢定(二) – 母體分配型態的檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 我們在作數量資料的統計推論，常須確立母體資料為某一分配型 態，然後隨機抽樣，再針對此一分配型態之母數作推論，尤其是要 確定母體是否為常態分配。若母體不是為常態分配，則必須使用其 他統計方法。 母體分配型態之檢定，其導出過程，如下所示(設顯著水準為 )： 假設： 2. 樣本統計量：

12-3適合度檢定(二) – 母體分配型態的檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 式中 ，當n夠大時， 統計量近似卡方分配，其自由度 ，若 ( 期望次數 ) ，必須合併其他類別成為一 個，使其 【詳見例題6】。 3. 拒絕域： (1) 。若期望次數可直接在 之假設下算出，則自由度 為 。因為k 類，使用一條件式 ，所以自由度少一， 即 。 (2) ( 設m為由樣本觀察值估計母體母數的數目 )。 若期望次數需要估計m個母體母數後才能算出，則 【詳見例題9】。

12-3適合度檢定(二) – 母體分配型態的檢定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 母體分配型態的檢定之自由度，常見的情況，茲整理如下表所示 4. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。

例題五 擲一個骰子200次，其出現點數次數之資料如下： 試檢定上述資料是否服從於分立均等分配 ？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量： 點 數 試檢定上述資料是否服從於分立均等分配 ？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量： 點　數 1 2 3 4 5 6 次　數 40 44 34 32 24 26

例題五 拒絕域： (4) 計算：

例題五 (5) 決策：∵　 ，落在接受域，差異不顯著， 　　　∴　接受 ，即資料服從於分立均等分配。 註：分立均等分配，其型態為 。

例題六 玩具商調查100個家庭，設家中子女有10歲以下男孩的個數為X，其 資料如下所示： 試檢定此資料是否符合 、 之二項分配 ？ ＊解 試檢定此資料是否符合 、 之二項分配 ？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量： X 1 2 3 家庭個數 18 40 30 12

例題六 拒絕域： 計算： (A) (B) (C)

例題六 (D) (5) 決策：∵　 ，落在接受域，差異不顯著，∴　接受 ，即資料是服從於 ， 之二項分配。

例題七 家樂福士林店每日銷售電視機的數量 ( 共50天 )，其資料如下所 示： 試檢定此資料是否符合卜瓦松分配？ ＊解 假設： (2) 檢定統計量： 銷售量 1 2 3 4 5或以上 天　數 25 15 8

例題七 (3) 拒絕域： ( ，見以下說明 ) 計算： ，以 代替未知母數 。查表如下 ：

例題七 ∵ 、 、 皆小於5，故與鄰近合併一組；由上表知，共有 3組，即 ，又∵ 以一個估計統計量 代替 ，∴ 。 ∵　 、 、 皆小於5，故與鄰近合併一組；由上表知，共有 3組，即 ，又∵　以一個估計統計量 代替 ，∴　 。 (5) 決策：∵　 ，落在接受域，差異不顯著，∴接受 ，即資料是服從於卜瓦松分配。

例題八 某調查顯示：全家便利商店台中市月營業額如下 ( 單位：萬 )： 試檢定此資料是否符合，之常態分配？ ＊解 假設： 營業額 店 數 店　數 50以下 50～60 24 60～70 64 70～80 120 80～90 73 90～100 19 100以上

例題八 檢定統計量： 拒絕域： (4) 計算：

例題八 (A) ； (B) ……其他類推。 (C) (5) 決策：∵ ，落在拒絕域，差異顯著，∴ 拒絕受 (5) 決策：∵　 ，落在拒絕域，差異顯著，∴　拒絕受 ，即資料不服從於 ， 之常態分配 ( 讀者可以第二章長條圖表示，本資料呈左偏型態。)。 註：由於本題已知母數，∴　 ，若未知母數，則必須以樣本估計 與 ，即計算 與S，此時 。

12-4列聯表檢定(一) – 獨立性檢定 . . .雙分類列聯表的意義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 設從一母體隨機抽出n個樣本資料，該樣本資料可依A、B兩變數 ( 或標準 ) 加以分類，如下的次數分配表，稱為雙分類列聯表，又 稱 列聯表。

12-4列聯表檢定(一) – 獨立性檢定 . . .雙分類列聯表的意義. . . . . . . . . . . . . . . . . 12-4列聯表檢定(一) – 獨立性檢定 . . .雙分類列聯表的意義. . . . . . . . . . . . . . . . . 上表中： 1. 表示樣本資料含有 與 兩變數特性的個數。 2. 邊際次數： (1) 列邊際次數： 表示含樣本資料有 特性的次數。 (2) 行邊際次數： 表示含樣本資料有 特性的次數。

12-4列聯表檢定(一) – 獨立性檢定 . . .雙分類列聯表的檢定步驟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 雙分類列聯表的檢定步驟，其導出過程，如下所示 ( 設顯著水準 為 )： 假設： 2. 檢定統計量： 式中 上式中當樣本大小n夠 大時， 統計量近似卡方分配。

12-4列聯表檢定(一) – 獨立性檢定 . . .雙分類列聯表的檢定步驟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 註：∵　當 成立 ( 即A變數與B變數相互獨立 )，則下式成立： (機率乘法法則，詳見第四章) ， 。 3. 拒絕域： ， 自由度。 註：自由度 ，∵　每一列都受到的條件式的限制，∴　自由度喪失r，同理就行而言，喪失c，但其中有一自由度重覆計算 ( 列行交相處 )；故加1。

12-4列聯表檢定(一) – 獨立性檢定 . . .雙分類列聯表的檢定步驟 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. 決策： (1) 若 值落在拒絕域，表示差異顯著，則拒絕 ，接受 。 (2) 若 值落在接受域，表示差異不顯著，則接受 。

12-4列聯表檢定(一) – 獨立性檢定 . . .注意事項. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 各方格的期望次數不應小於5，否則會影響卡方檢定的效果。若 有小於5之方格時，可以將此方格與鄰近組合併。 在 列聯表中，若有一方格之期望次數小於5，則需作Yate‘s的連續性修正 (Yate’s Correction for Continuity)，因為其自由度為1，無法與鄰組再合併，否則自由度為0，無法計算。Yate‘s修正公式為 【詳見例題10】 3. 當樣本數非常大 ( 每方格依同比率變大 ) 時，卡方檢定的結果，總易拒絕 、接受 ，因此結論並不可靠【詳見例題11】。

例題九 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其中性別與口味之受測者 人數，如下表所示： 試檢定性別與口味偏好是否有關 ？ ＊解 假設： 試檢定性別與口味偏好是否有關 ？ ＊解 假設： 口 味 性 別 一般甜度 低　　糖 男 100 80 女 75 45

例題九 檢定統計量： 拒絕域： (4) 計算： 口 味 性 別 一般甜度 低 糖 合 計 男 100(105) 80(75) 180 女 (4) 計算： 口 味 性 別 一般甜度 低　　糖 合　計 男 100(105) 80(75) 180 女 75(70) 45(50) 120 175 125 300

例題九 : : : (5) 決策：∵　 ，落在接受域，差異不顯著，∴　接 受 ，即性別不同與口味偏好無關。

例題九

例題十 承上題，若性別與口味之受測者人數，如下表所示： 試檢定性別與口味偏好是否有關 ？ ＊解 假設： 口 味 性 別 一般甜度 低 糖 男 試檢定性別與口味偏好是否有關 ？ ＊解 假設： 口　味 性　別 一般甜度 低　　糖 男 25 4 女 15 6

例題十 檢定統計量： 拒絕域： (4) 計算： 口 味 性 別 一般甜度 低 糖 合 計 男 25(23.2) 4(5.8) 29 女 (4) 計算： 口　味 性　別 一般甜度 低　糖 合　計 男 25(23.2) 4(5.8) 29 女 15(16.8) 6(4.2) 21 40 10 50

例題十 ∵　 ，∴　使用Yate‘s修正公式 (5) 決策：∵　 ，落在接受域，差異不顯著， 　　　∴　接受 ，即性別不同與口味偏好無關。

例題十一 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其中性別與口味之受測者 人數，如下表所示： 試檢定性別與口味偏好是否有關？ 註：本題為【例題9】之樣本數增加5倍。 ＊解 假設： 口　味 性　別 一般甜度 低　　糖 男 500 400 女 375 225

例題十一 檢定統計量： 拒絕域： (4) 計算： 口 味 性 別 一般甜度 低 糖 男 500(525) 400(375) 900 女 (4) 計算： 口　味 性　別 一般甜度 低　　糖 男 500(525) 400(375) 900 女 375(350) 225(250) 600 875 625 1,500

例題十一 :

例題十一 (5) 決策：∵　 ，落在拒絕域，差異顯著，∴　拒絕 、接受 ，即性別不同與口味偏好有關 ( 註：∵　樣本數增加5倍，導致卡方值變大，拒絕 ，這是卡方檢定在使用上的一個限制 )。

例題十二 一份「罐裝烏龍茶飲料消費行為」研究，其中教育程度與促銷方式 偏好之受測者人數，如下表所示： 試檢定教育程度與促銷方式偏好是否有關？ ＊解 假設： 促銷方式 教育程度 折價券 贈　品 抽獎旅遊 大　　學 40 20 高　　中 30 國　　中 50 60

例題十二 檢定統計量： 拒絕域： (4) 計算： 促銷方式 教育程度 折價券 贈品 抽獎旅遊 合計 大 學 40(26.67) 20(30) (4) 計算： 促銷方式 教育程度 折價券 贈品 抽獎旅遊 合計 大　　學 40(26.67) 20(30) 40(43.33) 100 高　　中 20(18.67) 20(21) 30(30.33) 70 國　　中 20(34.67) 50(39) 60(56.33) 130 80 90 300

例題十二 (5) 決策：∵　 ，落在拒絕域，差異顯著，∴　拒絕 ，即教育程度與促銷方式偏好有關 ( 由樣本資料可知，大學程度之受測者偏愛折價券 (40人 )，而國中程度之受測者較偏愛贈品與抽獎旅遊 (50人與60人 ) )。

例題十三 今自台北市、台中市與高雄市各隨機抽樣200人，詢問「是否贊成健 保費調漲」，資料如下： 試檢定台北市、台中市與高雄市居民對「是否贊成健保費調漲」比 例是否相同？ ＊解 本題乃先確立自台北市、台中市與高雄市各抽出200人，其邊際次數 已事先固定，並且從台北市、台中市與高雄市各抽出200人是來自不 同的母體，以檢定贊成與反對比例是否一致，故為齊一性檢定。 地　區 贊成與否 台北市 台中市 高雄市 合　計 贊　　成 82 120 95 297 反　　對 118 80 105 303 合　　計 200 600

例題十三 (1)假設： (2)檢定統計量： 拒絕域： (4) 計算： 地 區 贊成與否 台北市 台中市 高雄市 合 計 贊 成 82(99) (4) 計算： 地　區 贊成與否 台北市 台中市 高雄市 合　計 贊　　成 82(99) 120(99) 95(99) 297 反　　對 118(101) 80(101) 105(101) 303 合　　計 200 600

例題十三 (5) 決策：∵　 ，落在拒絕域，差異顯著，∴　拒絕 ，即台北市、台中市與高雄市對「是否贊成健保費調漲」比例並不相同 ( 由樣本資料可知，而台北市與高雄市贊成比例較低，但台中市贊成比例較高。)

例題十四 聯強公司為了解收入高低與手機品牌偏好是否有關，乃針對高收入 者300人，低收入者300人進行調查，資料如下： 設 ，試檢定高低收入者在這四種品牌偏好比例是否相同？ ＊解 本題乃先確立自高收入者與低收入者各抽出300人，其邊際次數已事 先固定，並且從高收入者與低收入各抽出300人是來自不同的母體， 以檢定手機品牌偏好是否一致，故為齊一性檢定。 品　牌 收　入 A B C D 高收入者 70 50 60 120 低收入者 110

例題十三 (1)假設： (2)檢定統計量： 拒絕域： (4) 計算： 品 牌 收 入 A B C D 合 計 高收入者 70(90) (4) 計算： 品　牌 收　入 A B C D 合　計 高收入者 70(90) 50(60) 60(55) 120(95) 300 低收入者 110(90) 70(60) 50(55) 70(95) 合　　計 180 120 110 190 600

例題十四 (5) 決策：∵　 ，落在拒絕域，差異顯著，∴　拒絕 ，即高收入者與低收入者在這四種品牌偏好比例並不相同 ( 由樣本資料可知，低收入者較偏好A品牌，而高收入者較偏好D品牌 )。