老师们 新学期好！ 浙江省杭州市二中 孙惠华 电话：0571-86698111-510 邮编：310009 老师们 新学期好！ 浙江省杭州市二中 孙惠华 电话：0571-86698111-510 邮编：310009 E-mail: sunhuihua2003@163.com

对高一数学教学的几点反思 让学生在主体活动中感悟数学 自主发展 积极交流 欢迎指导 共同提高

[反思背景1] 上世纪90年代，著名数学家陈省身曾预言：“二十一世纪中国必将成为数学大国！”在华人数学界，这一预言被称为“陈省身猜想”．2004年12月在香港举行的第三届华人数学家大会上，许多数学家认为，“陈省身猜想”得到了证明———中国已经是一个数学大国．

[反思背景2] 数学是科学之母,数学落后必然导致基础研究落后,从而影响国家竞争力．我国国家发明一等奖连续6年空缺,国内至今没有人问鼎“菲尔茨奖”,继华罗庚、陈景润之后没有出现大师级数学家．中国数学的致命伤是缺乏原创性成果，中国数学家在国际一流刊物上发表的论文数量还不够多．

[反思背景3]英国剑桥大学至今已拥有80位诺贝尔奖得主，其中一个三一学院竟培养出了30多位诺贝尔奖得主，很多剑桥人戏言：这项傲人记录，也许和康河边悠闲自在、天马行空的下午茶、闲聊分不开．其实剑桥非常注重营造充分的交流使人开阔眼界和心胸，强调原创和非功利性，同时也时时让人感到挑战和竞争的校园文化氛围，这无疑会给人带来灵感和动力．

[反思背景4]1985年至今中国参加了20届IMO数学奥林匹克竞赛，共获得金牌86枚，银牌23枚，铜牌5枚的娇人成绩，而在世界数学家大会上能做1小时发言的中国数学家恰寥寥无几！据说，哈佛大学对中国的金牌选手就不太看好，浙江大学数学中心执行主任刘克峰说：“作为约束学生的一种手段,参加‘奥赛’班也许有一定的作用,但一旦强化了,物极必反．在哈佛、麻省等名校,我见过多位得过‘奥数’金奖的中国留学生,其中成功者寥寥,他们的主要问题是研究能力差．这是应试教育的一大弊端．”

[反思背景5] 数学界最高荣誉“菲尔兹”奖得主、美国哈佛大学教授丘成桐说：“与发达国家比,中国的学生缺乏创新能力．” “奥林匹克数学竞赛成就不了数学大国梦,数学不等于奥数,前者是做研究,后者是做题目,奥数做的是别人的题目,奥数班培养出来的只有应试能力,没有创新能力．”他说,“多读几部科学家传记比参加‘奥赛’训练要好得多,培养学生的兴趣太重要了．”他建议教育部门选择一些名人传记作为学生必读书．

[反思背景6]我国神州5号发射升空与之同行的一为军人，前苏联的阿波罗宇宙飞船登月及美国发现号航天飞机的发射，与之同行的都是科学家，尤其是发现号的返回困难重重，在这坎坷过程中体现出宇航员的科学的人文精神．

[反思背景7]有人说：中国的经济学家太少，是因为经济类的硕士、博士考试的数学太容易．我认为是有一定道理的，世界上获“诺贝尔”经济学奖的学者大多是应用了数学模型解决了经济学的理论问题，现代的金融数学成了热门学科．

[反思背景8]现在有一种不容忽视的社会现象，大学生毕业后几年都找不到合适的职业，高不成（专业能力欠缺），低不就（没有吃苦精神），这不得不为大学生就业竞争能力担忧．

[反思背景9]某中学数学教师在高三教学时，经过认真仔细分析后，向学生宣布：“今年高考中，正态分布与线性回归不会考的，因此也就不上了”．考完后，学生说：“我们的老师猜得真准”．

[反思背景10]浙江省机器人大赛一等奖得主的学生家长，在儿子期末考试成绩不理想的情况下，毫不犹豫地封杀了玩机器人的活动．

[反思背景11]某数学观摩课堂，学生与老师就象演话剧一样把课堂营造成“生动活泼”，让人心动的气氛，深入调查，恍然大悟，原来已经演练了遍！在这种教学中到哪里去寻找直觉思维？更无顿悟与灵感可言了．

[反思背景12]在2005年的高考招生中，中国内地有11名高考状元被香港大学拒之门外，其原因是在能力面试中被认为没有活动能力，不能适应香港的社会需求．

我国科学家钱学森前不久感悟道：“一个有科学创造能力的人，不但要有科学知识，还要有文化艺术修养．没有这些是不行的”．认真反思我们的传统教育行为，似乎还存在较为严重的问题，尤其是要培养具有创造力的新人方面更需要对我们的教育理念重新思考．2003年2月，国家教委颁布了《高中数学课程标准》.

（1）义务教育阶段的数学课程突出基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，让人人学有价值的数学；人人都能获得必须的数学；不同的人在数学上得到不同的发展． （2）数学教育宗旨必须对人们的日常活动、思维活动、文化活动及创造活动起积极地推动作用．

（3）数学教育的内容必须是富有挑战性且具有现实意义的有利于学生进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等主体数学活动的开展． （4）数学教育活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础上，让学生在主体活动中感悟数学的意义、思想、方法和学习数学的经验．

（5）数学教育的评价目标是全面了解学生的数学学习历程，激励学生积极学和教师主动改，建立多元化的评价体系．要关注学习结果，更要关注学习过程；要关注学习水平，更要关注在数学活动中表现出来的情感和态度． （6）数学教育行为必须考虑现代信息技术发展给自身带来的影响，充分让信息技术在数学学习中有效地发挥作用，致力于合理改变学生科学的学习方式，使学生有更多的精力投入到现实的、探索的数学活动中去．

如果要让这些理念在日常的数学教育中得到很好的实施，关键是数学教师的教学行为是否对数学教育在现代社会生活中的实际意义有较为深刻的感悟，在教学设计中加强数学与日常生活的联系；注重几何直观性的展示方法和手段；多收集随机数学在现代工作生活中应用的精彩例子（数据统计、密码破译等）；重视估算和计算能力的培养；感悟向量坐标思想在几何问题解决中的应用意识；淡化陈旧的形式，让数学内容的呈现生动活泼、趣味可亲；努力给学生创造主动探索和积极交流的环境，让学生在主体活动中感悟数学的丰富内涵．

一、立足课程标准，发展学生能力。

1.从数学教学中培养学生辩证思维能力。

[例]对有限集合与无限集合的认识；对函数的连续性与间断性的认识等． （1）从数学概念教学中培养辩证认识问题的能力． [例]对有限集合与无限集合的认识；对函数的连续性与间断性的认识等．

（2）从数学问题的解决中培养学生的辩证思维的能力． [例]数学问题中充满静止与运动的矛盾，对静与动的合理把握正是培养学生的辩证思维的能力的好契机： 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， ，则实数m = ．

（3）培养学生合理运用辩证逻辑规律解决数学问题的意识． [例]排中律在选择题中的运用：下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ） （A） （B） （C） （D）

2.从数学教学中培养学生细致观察能力。

（1）数学文字符号阅读能力的培养． [例] 设数列 的首项 且 , 记 ，n ＝l，2，3，…．判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论．

（2）数学图表信息的观察和理解能力的培养． [例] 根据图表中的信息，研究一个对中国的土地荒漠化治理的可行性计划．

3.从数学教学中培养学生深刻思维能力。

[例]已知 中，三边长 成等差数列，且 ，求 的取值范围． （1）让学生在失败与成功中体验数学思维深刻性． [例]求函数 的值域． [例]已知 中，三边长 成等差数列，且 ，求 的取值范围．

（2）给学生创造不同层次思维的数学主体活动的氛围． [例]求下列函数的定义域 ② ③ ④

4.从数学教学中培养学生信息获取能力。

（1）扩大信息量，疏通信息渠道． [例]给学生提供数学教育专业网站如：我形我数；K12数学教育网；21世纪数学教育网；戴先生高中数学教育网等．

（2）提高信息质量，培养学生对信息的辨别能力．

5.从数学教学中培养学生探究问题能力。

（1）在教学中有意识设计探究性数学问题 [例]不包括 且包含元素最少的非空实数集合A满足条件：若 ，则有 ． ②请你设计一个自己喜欢的数属于A，再求出A中的其他所有元素； ③通过上述过程，你有什么发现？能有数学理由吗？ ④如果把条件改为若 ，则有 ，会有同样的发现吗？

[例]已知 在第一象限，则 在第几象限？ 在第几象限？ 在第几象限？… 在第几象限？把各区域进行染色，你有什么发现？ [例]探究等差数列与等比数列的性质．

（2）定期给学生布置小组合作研究小课题的任务． [例]《函数概念的发展探究》、《集合思想对数学发展的影响》、《数列递归方法探究》、《正弦曲线与物理现象的关系》、《向量方法在高中数学中的应用》．

（3）认真做好研究性课题的教学． [例]高一（上）《数列在经济生活中的应用》；高一（下）《向量在物理中的应用》．

二、感悟教学大纲，充分把握数学内涵。

1.高一数学教材地位分析。

（1）要与时俱进地理解“双基”教学． （2）承上启下，用发展的理念设计高一的教学．

（3）高一内容在高考中所占的份量． 内容 集合与逻辑 函数 数列 三角函数 平面向量 合计 2004（文） 10 14 17 12 9 62 2004（理） 4 47 2005（文） 8 23 19 5 69 2005（理） 61

2.教学重点、难点分析。

（1）十大重点：1.二次不等式；2.函数的三要素；3.函数的三大性质；4.等差、等比数列的主要性质；5.数列通项与求和的常用方法；6.主要的三角变换方法；7.函数 的图象与性质；8.向量的坐标思想；9. 关于 的坐标运算和几何意义；10.研究性课题．

（2）十大难点：1. 简易逻辑在数学命题结构分析中的运用；2. 映射的概念；3. 反函数的概念；4. 等比求和对公比的讨论；5 （2）十大难点：1.简易逻辑在数学命题结构分析中的运用；2.映射的概念；3.反函数的概念；4.等比求和对公比的讨论；5.数学建模意识的培养；6.数列递归方法；7.三角变换；8.向量基本定理；9.函数图象信息在解题中的应用；10.函数思想方法在数列、三角问题中应用意识的培养．

3.努力夯实高中数学学习基础。

（1）三大思想和三大工具：集合思想；函数思想；向量思想；不等式；命题逻辑关系；向量方法． （2）丰富的数学思维方法：函数建模、三角换元、数形结合、数列递归、归纳演绎、综合与分析等．

三、解析浙江高考，准确把握教学导向。

1.2004-2005浙江数学高考试卷分析。

（1）突出知识主干考查，注重知识综合运用 高中数学的基础知识，是考生进入高校继续学习的基础，考查考生基础知识的掌握情况，是数学高考的重要目标．两年试题突出数学知识主干，以重点知识构建试题的主体．在代数部分着重考查函数、数列、不等式、三角函数等内容；立体几何着重考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系和距离、二面角；解析几何着重考查直线和圆锥曲线；新增内容则注意结合向量、概率、导数等内容．据统计，两年试题中仅函数与数列试题的分值约占总分的30%左右． 两年试题的另一个重要特征是，其中的大多数试题是综合性试题，且以知识网络的交汇点作为设计的起点与着力点，借以实现全面考查数学基础和数学素质的目标，如2004年理科（21）题，以双曲线为载体，涉及直线方程、点到直线距离公式、、不等式内容，综合性较强；2004理科（22）题，从特殊到一般，用数学递归方法，对抽象思维能力有较高要求；2005年理科（20）题主要考查导数应用、数列递归、解析几何、数学归纳法的综合应用能力，压轴题的难度有加大的趋势

（2）重视思想方法考查，加大试题区分力度． 数学思想方法蕴含于数学基础知识，表现了数学观念，它们与数学知识的形成过程同步发展，同时又贯串数学知识的学习、理解和应用过程．考生在解题时，运用的思想方法不同，可体现不同的思维水平．两年试题比较注意问题信息的配置，考虑从不同角度运用不同的思想方法，创设多条解题途径，使不同思维层次的考生都有表现的机会，从而有效地区分不同数学能力的考生．

（3）深化能力立意思想，展现创新意识空间． 数学高考，作为一项限时解答数学问题的专门活动，是个体的思维能力作用于数学活动的心理过程，同样表现为思维过程．以能力立意命题，是数学的学科特点和考试目标所决定的．纵观2年试题，除了通过不同的数学知识载体，全面考查思维能力、运算能力和空间想象能力之外，着重从数学关系和几何形体变化中去研究问题，从运动的角度考查考生的探索能力．但能使考生能在新的情景中实现知识迁移，创造性地解决问题，真正考查出考生的学习潜力的试题较少，难以找到很有创新意识，令人耳目一新的好试题．

（4）注意理论联系实际，树立数学应用意识． 解答数学应用问题，是分析问题和解决问题能力的高层次表现，能反映考生的创新意识和实践能力，高考试题应注意数学应用问题的考查．但浙江省的两年试题中没有创设的背景材料贴近教材，贴近生活、贴近生产实际的应用性题型．

（5）加强新增内容考查，支持课程教材改革． 2004年（文）新增内容考查39分，2005年（文）37分；2004年（理）新增内容43分，2005年（理）44分，基本上接近30℅．

（6）试题类型保持稳定，试题难度达到期望．

表1 2004--2005年浙江数学试卷解答题的考点分布 导数、解几、数列综合 概率统计 立体几何 解析几何 函数不等式 三角求值 2004（理） 解几数列综合应用 导数应用 概率 数列 2005（文） 三角 2004（文） 六 五 四 三 二 一 表1 2004--2005年浙江数学试卷解答题的考点分布

31 23 65 2005年（理） 10 28 89 2005年（文） 34 30 21 2004年（理） 12 83 2004年（文） 选修内容 解析几何 立体几何 代数必修 表2 2004--2005年浙江数学高考各主干知识分值结构

2004--2005年浙江数学高考难度分析 2004年是浙江省使用新教材后的第一次高考，新教材中增加了导数、概率、统计、线性规划、向量5个方面的内容．理科试卷新增内容有43分，约占试卷分值的30%，基本符合新增加内容的课时数所占比例．2004年高考数学浙江卷整体难度系数是文科0.568，理科0.666，全省理科平均分为99.85分，文科平均分为85.17分．考生在知识能力上显露出不足：数学基础知识、能力、数学思想和方法等掌握不够牢固；空间想象能力、运算能力比较薄弱；数学表达规范程度不够；新增知识内容掌握不到位；数学实际应用能力较弱，分析和解决问题能力有待加强．  

2005年高考数学浙江卷文科、理科试卷整卷难度系数均为0 2005年高考数学浙江卷文科、理科试卷整卷难度系数均为0.63．文理科各试题难度见表3，由表3和表4可见，2005年试题难度控制比较成功，基本符合命题期望，符合“平稳过渡、适度创新”的原则．

0.54 10 0.47 0.65 9 0.70 0.64 8 0.89 0.13 20 0.71 7 0.36 0.60 0.55 19 0.81 6 0.45 0.92 0.44 18 0.94 5 0.50 0.90 17 0.82 4 0.51 0.74 16 3 0.88 15 0.96 2 0.68 0.95 11-14 1 0.48 难度系数 题号 理科 文科 表3 2005年高考数学浙江卷试题难度系数

表4 2005年高考数学浙江卷试题难度分布 0.6~0.65 0.1 0.5 0.4 比例 命题期望 0.09 0.39 0.58 14 59 87 分值 0.63 20 8，9，10，11-14，18，19 1，2，3，4，5，6，7，15，16，17 题号 理科 0.55 0.36 82 54 7，10，11-14，15，17，18，19 1，2，3，4，5，6，8， 9，16 文科 整卷难度 难度系数 表4 2005年高考数学浙江卷试题难度分布

2.六年新教材高考给教学的启示。

（1）重视基础教学，形成准确知识体系． 综观新教材六年试题，给数学教学的重要启示是，必须十分重视基础知识教学，形成准确知识体系．在对概念、性质、定理等基础知识教学中，不能走“过场”，赶进度，把知识炒成“夹生饭”，而应在“准确、系统、灵活”上下功夫．在高考阅卷中发现，很多考生出现的错误，究其原因，就是对基础知识的理解掌握不准确、不熟练、不系统． 准确掌握数学基础知识是顺利解答数学问题的前提，在教学过程中 ，应注意知识的不断深化，新知识应及时纳入已有的知识体系，特别要注意数学知识之间的关联，逐步形成和扩充数学知识结构系统，使学生能在大脑记忆系统中构建数学认知结构，形成一个条理化、网络化、熟练化的有机体系，这样，在解题时，就能由题目提供的信息，从记忆系统里检索出相关信息，选取与题目的要求构成最佳组合的信息，寻找解题途径，优化解题过程．

（2）强化解题思维过程，提高学生思维能力． 数学教学与数学解题紧密相关，而数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量．因此，在数学教学中应强化解题思维过程，解题教学要增加交互性，充分调动和展示学生的思维过程，沿着学生思维轨迹因势利导．解题后要注意反思，研究问题解决过程中不同思维层次，要把数学教学过程转化为数学思维活动过程，从而提高学生理性思维能力，善于从一个问题的多个解题方向中选取其中简捷的思维路径，得到问题的最优解法，从而不断总结经验，使能力培养真正落到实处．

（3）改进数学教学方式，引导学生主动学习． 六年试题是能力型、综合型和应用型的试题，要求我们重新审视传统的教学方式，教师和学生应更加清楚地认识到数学教学不是老师简单地照本宣科或者学生机械地接受知识和知识的简单堆积．而是要通过学习数学知识学会观察、分析和解决问题的方法,锻炼能力，要为学生营造自主探索和合作交流空间，善于从教材实际和社会生活中提出问题，开设研究性课程，让学生自主学习、讨论、交流，在解决问题的过程中，激发兴趣，树立信心，培养钻研精神，同时提高数学表达能力和数学交流能力．

（4）不断更新教学观念，增强学习创新意识． 高考改革的基本指导思想是深化能力立意，突出考查能力与素质的导向，促进和支持实施素质教育．六年试题，总是试图创设新颖的情境．考查考生在具体情境中应用知识的能力，正是这种指导思想的具体体现，这对中学数学教学将起很大促进作用．要求教师更新教学观念，处理好知识与能力的关系，树立强烈的能力观念，同时，要增强学习创新意识，学习教育的各种理论，关注课程教材改革．深刻领会“能力立意”的内涵，在教学中要有强烈的创新意识，切忌墨守成规，以自己原有经验左右新的教学，在教学中要与时俱进，开拓创新．

四、突出主体活动，精心优化教学设计。

1.教学设计必须以学生为主体，活动为平台，多给学生创造感悟数学的机会。

[教学案例]《等差数列的性质》． 设计理念1：以教师设计的问题为中心，让学生充分交流探讨，体验形成对等差数列性质的认识． 设计理念2：在充分理解等差数列定义的基础上，让学生进行开放性地探究、挖掘等差数列的性质．

2.教学设计必须淡化功利性，增强人文性，处处有利于人的素质发展。

[教学案例]《函数概念的发展》． 设计理念：以教师设计以函数概念的发展历史为线索，引导学生查阅相关的数学史资料，理解和掌握函数在集合论下的映射定义，让学生充分感受数学发展的人文性，虽然功利性不强，但有利于学生能力的发展．

3.教学设计必须充分应用现代教育教学手段，让学生在现代社会环境中感悟数学的魅力。

[教学案例]《用几何画板研究函数图象与性质》． 设计理念：让学生掌握几何画板的操作规则，实现高中数学与信息技术的整合，如遇到探究形如 ， 等函数的性质时，学生能借助几何画板进行研究。

4.教学设计必须正确理解传统的题海观念，立足于提高学生解决数学问题的能力。

[教学案例]《如何解决函数的最值问题》． 设计理念：对数学问题的解决方法的体验与反思是提高数学问题解决能力的最有效的途径，要放弃题海战术，就必须注重学法指导，加强对数学问题的感悟能力的培养．

5.教学必须注重探究性与研究性问题的设计，培养学生探究问题的良好意识。

[教学案例]《数列知识在经济生活中的应用》． 设计理念：教师是组织者和评价者，学生是研究活动的主体，是课题的研究者与合作参与者．

五、高一数学教学的几点反思。

1.从高中数学的教学整体把握高一数学的教学任务。

（1）注重工具性、思想性内容的教学． （2）淡化替补性、过度性内容的要求．

2.正确控制作业量，分层次，分对象处理是大有益处的。

（1）提高布置作业的质量． （2）控制作业的数量，注重作业的订正与反思． （3）适当布置一些弹性作业．

3.注重培养学生的运算思维能力，正确引导学生对计算器的使用。

（1）培养学生进行运算检验的习惯，形成一遍算对的能力． （2）注重运算方法的培养． （3）必须掌握计算器的使用方法，但在数学问题的解决过程中基本上不用计算器．

4.重视学生书写规范与作图规范的训练，严格把好作业与考试的书面表达关。

（1）对学生的作业书写与作图严格要求． （2）必要时，在考试卷面书写上有分值的体现． （3）用阅卷中由于书写问题失分的典型例子及美学观点教育感染学生．

5.要认真落实研究性课题的教学。

（1）研究性课题的教学关键是教师的态度与意识． （2）教师必须积累相关的课题研究资料． （3）对学生的评价主要是参与的态度和研究的过程． （4）淡化对研究结果的高要求，重在培养学生的探究意识．

6.教学中要增加数学文化价值的成份，注重渗透学法指导。

（1）要合理运用数学史的文化内涵引导学生理解数学，感悟数学学习方法． （2）要恰当渗透现代数学在现代社会发展中的作用，激发学生学习数学的兴趣． （3）要自然结合数学在人的素质能力的发展中所起的作用，提高学生学习数学必要性的认识．

7.教学中要做例题选择与设计的有心人。

（1）根据教学需要教师必须学会选择、改编和独创符合教育目标的例题． （2）高一数学例题的选择与设计要注意：基础性；规范性；巩固性；层次性；典型性；方法性；发展性；开放性；人文性；研究性．

8.要认真研究大纲，灵活、批判地把握和处理教材。

（1）要认真研究教材（基础、重点、难点、发展性、工具性）． （2）要在大纲的框架内灵活地处理教材（合理性、学生个性）． （3）要敢于批判地运用和处理教材（错误、不合理性）．

9.经常细致科学地收集和分析学生对数学教学的反馈信息。

（1）考卷分析是对学生数学学习情况的最有效的把握． （2）作业更是日常检验教学效果的主要手段． （3）设计表格调查学生对数学教学的情感态度等非智力因素也是非常必要的． （4）对两极学生的面对面的交流更是必不可少的调查环节．

10.把发展学生的潜在素质作为首要的教育目标，把应试能力作为教育任务的一个部分。

（1）数学教师应把发展学生的潜在素质作为首要的教育目标． （2）数学教师应最大可能地发挥数学教育对人的可持续发展的作用． （3）数学教师应面对现实地把应试能力作为教育任务的一个部分． （4）数学教师努力寻找素质教育与应试教育的平衡点，把握好度，做一个与时俱进的合格的数学教师．

有志者，事竟成！有心者，事更成！只要我们坚持做一个数学教育的有心人，处处从学生未来的发展着想，充分让学生在主体活动中感悟数学，那么中国离数学强国的日子一定不会太远！ 与老师们共勉

以上纯属个人观点，不妥之处，欢迎批评、交流。 E: sunhuihua2003@163.com T: 86698111-510

祝各位老师 事业与家庭双赢!

身体健康,万事如意! 再见！