淺談數學解題 左太政 /國立高雄師範大學數學系

數學中的問題解決 1980年4月, 以美國數學教師全國聯合會(NCTM)的名義，公佈了一份名曰《行動綱領 – 80年代數學教育的議程》的文件，首次提出必須把問題解決(problem solving)作為80年代中學數學的核心。

對「問題」的理解 美國著名數學家P.R.Halmos曾說：「問題是數學的心臟。」 美籍匈牙利著名數學教育家波利亞(G.Polya)在《數學的發現》一書中曾給出問題明確含義，並從數學角度對問題作了分類。他指出，所謂「問題」就是意味著要去尋找適當的行動，以達到一個可見而不立即可及的目標。 《牛頓大詞典》對「問題」的解釋是：指那些並非可以立即求解或較困難的問題(question)，那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動的問題。

對「問題」的理解 課題組主席奈斯 (M.Niss) 把「數學問題解決」中的「問題」具體分為兩類： 一類是非常規的數學問題； 另一類是數學應用問題。 這種界定現已經逐漸為人們所接受。

數學中的問題解決 問題,是數學的核心, 學習數學就是學習如何解決問題,包括那些可以轉換成數學題的各類問題(即外在連結)。 由於解題的態度和學習方法的不同,將影響其學習成效。

問題與習題的區別 問題是一種情境狀態。 所謂有問題的狀態，即這個人面臨著他們不認識的東西，對於這種東西又不能僅僅應用某種典範的解法去解答，因為一個問題一旦可以使用以前的算法輕易地解答出來，那麼它就不是一個問題了。

問題與習題的區別 問題解決中的「問題」，並不包括常規數學問題，而是指非常規數學問題和數學的應用問題。 這裡的常規數學問題，就是指課本中既已唯一確定的方法或可以遵循的一般規則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數學問題。

問題與習題的區別 問題情境狀態下，要對學生本人構成問題，必須滿足三個條件: (1)可接受性。指學生能夠接受這個問題，還 可表現出學生對該問題的興趣。 (2)障礙性。即學生當時很難看出問題的解法、程序和答案，表現出對問題的反應和處理的習慣模式的失敗。 (3)探索性。該問題又能促使學生深入地研究和進一步的思考，展開各種探究活動，尋求新的解題途徑，探求新的處理方法。

一個好問題的「標準」(一) 解決非單純練習題式的問題正是數學教育改革的一個中心論題。

一個好問題的「標準」(二) 一個好問題標準應具備以下三個方面： 一個好問題應該具有較強的探究性。    對於大多數學生而言，具有探索性或創造性的問題，可通過努力得到解決的。 在競賽中，「問題解決」在很大程度上所發揮的只是一種「篩子」的作用，這是與以「問題解決」作為數學教育的中心環節和根本目標有區分的。

一個好問題的「標準」(二) 一個好問題，應該具有啟發性和可發展空間。 一個好問題的啟發性指問題的解答中包含著重要的數學原理，對於這些問題或者能啟發學生尋找應該能夠識別的模式，或者通過基本技巧的某種運用很快地得到解決。 「問題解決」還能夠促進學生對於數學基本知識和技能的掌握，有利於學生掌握有關的數學知識和思想方法。 一個好問題的可發展空間是說問題並不一定在找到解答時就會結束，由此可以引出新的問題和進一步的結論。

一個好問題的「標準」(二) 一個好問題應該具有一定的「開放性」。 好問題的「開放性」，首先表現在問題來源的「開放」。 問題應具有一定的現實意義，與現實社會、生活實際有著直接關係。(外在連結) 問題的「開放性」，包括問題具有多種不同的解法，或者多種可能的解答，打破「每一問題都有唯一的標準解答」和「問題中所給的信息都有用」的傳統觀念，這對於學生的思考和創新能力的發揮具有極為重要的意義。

思考問題 已知梯形ABCD,上下底長不相等，試問需加上何種條件使得此梯形為等腰？

思考問題 已知梯形ABCD,上下底長不相等，試問需加上何種條件使得此梯形為等腰？ 分有輔助線及沒有輔助線二種情形

思考問題 已知A﹐B二城市之間相隔一個大池塘，無法直接測量，但為使能測量出A﹐B二城市之間的距離，請提出可行的方案。

例如相似三角形、作直角三角形、作特殊角三角形、平行四邊形或梯形。 已知A﹐B二城市之間相隔一個大池塘，無法直接測量，但為使能測量出A﹐B二城市之間的距離，請提出可行的方案。 可實施分組討論教學法，以幾何方法解決。 例如相似三角形、作直角三角形、作特殊角三角形、平行四邊形或梯形。

開放型實例說明 如何平分任意一個已知角?請說明理由。 是否能只用一把可以量距離的直尺平分任意一個已知角?請說明理由。

開放型實例說明 如果沒有圓規，你會利用何種物品畫圓? 一圓沒畫圓心，請問以何種方式來決定圓心? 幾何知識之統整，答案有多種

問題解決的六個不同的概念 解決教科書中標題文字題，有也叫做練習題； 解決非常規的問題； 邏輯問題和「遊戲」； 構造性問題； 計算機模擬題； 現實生活」情境題。

問題解決的一部份是 實際生活中例子 從構造數學模型、設計求解模型的方法，再到檢驗與回顧等整個過程要由學生去發現、去設計、去創新、去完成，這是「問題解決」與創造性思維密切聯系之所在。 數學教師應創造更有利於問題解決的條件，在為所有年級編制出好的問題並傳授解決問題的技能、技巧的同時，盡力為學生的創造性思維提供良好的學習環境。

問題解決有兩種形式的探索途徑： 試誤式和頓悟式。 試誤式是對頭腦中出現的解決問題的各種途徑進行嘗試篩選，直至發現問題解決的合理途徑。 頓悟式是在長期不懈地思考而又不得其解時，受某種情境或因素的啟發，突然發現解決的方法和途徑或方式。 對中學生而言，這兩種探形式都是問題解決不可缺少策略。

數學問題解決的心理過程 問題解決實質上是運用: 已有的知識經驗(初始狀態 )， 通過思考探索新情境中問題結果 (中間狀態 )； 達到問題的目的狀態的過程 (目的狀態 )。

數學問題解決過程

「解題」的意義 「知識的表現」指解題者擁有特殊解決問題的學科知識，如幾何學、代數學； 「解題的表現」指解題者以已知一般的學科知識，以程序性的方式，如四則運算、畫圖等，靈活運用來解決問題。

數學解題的目的 要訓練、培養學生、使他們有能力與自信面對並解決非例行性的數學問題。 在建構理論的觀點下，教師是「佈題者」（problem poster），而不是「解題者」（problem solver）；是讓學生自行提出有效的解題活動，而非只是讓學生做一個模仿者。

教師宜避免下列事項發生 將解題(指定作業)當做是教師交代的任務,其結果是做過的題目會解(並非保證會),而沒做過的題目便不會解,並沒有學會解題。 解題時採取「題海戰術」,教師指定大量作業或學生作大量課外題,其結果是造成學生過重的負擔,不能使學生學會解題。

教師能依下列方式教導學生，將有助於數學的學習 能教導學生將解題視為是研究的觀點, 將所解的每一道題目,仔細加以研究, 在解題之前,必須探討其與已知的數學知識、方法及過去解題經驗之間的聯繫,從中找出一條或多條解題思路。

教師能依下列方式教導學生，將有助於數學的學習 解題之後,需再研究其多種不同的解法, 嘗試將題目條件的變化或推廣,進而產生新的題目。如果能這樣做,達到貫通數學知識和數學方法的目的,以提高學生解題能力及學習的成效。

數學的有效學習(一) 能將解題視為是研究的觀點,將所解的每一道題目,仔細加以研究, 在解題之前,必須探討其與已知的數學知識、方法及過去解題經驗之間的聯繫,從中找出一條或多條解題思路。

數學的有效學習(二) 解題之後,並不表示已完成任務,需再研究其多種不同的解法,以及將題目條件的變化或推廣,進而產生新的題目。

數學的有效學習(三) 如果能依上述這樣做,就能以少勝多,透過少量精選題的研究,達到貫通數學知識和數學方法的目的,以提高自己解題能力及學習的成效。

何謂能力 「能力」是表示人們的一種完成某種活動的心理特徵及效率,主要指進行某種特定活動的能力。

能力的種類 一般的能力--指人們在一般活動中應具備的能力,如觀察力、記憶力、想像力、思維力及實際操作能力等。 特殊的能力--指完成某種專業活動所具備的能力。例如數學學習領域中的計算能力等。

何謂數學能力 數學能力是一種特殊的能力,它是在學習數學的過程中所形成和發展的。 就整個數學學習的過程中,所提及的數學能力通常包括「一般能力」和「數學基本能力」。 數學基本能力就是課程綱要要求培養的計算能力、邏輯推理能力、平面與空間的概念和解決簡單的實際問題之能力。

數學能力的要素 「知識」和「技能」是構成能力的兩個基本要素, 知識和技能的掌握,則有助於能力的形成和發展。

數學能力 例如學生瞭解什麼是「直線方程式問題」,這是知識;而掌握了「直線方程式問題」的解題步驟,則是技能; 如能判斷什麼樣的題目應作為「直線方程式問題」去求解,更甚的是能將「直線方程式問題」的解題思路轉移至其他相關的問題上,這便是「能力」。

數學能力的培養 培養主動探索精神 培養觀察能力 培養理解能力 培養記憶能力 培養連結(應用)能力--能解決簡單實際問題的能力

數學能力的培養 培養計算能力 培養邏輯思維能力--比較能力、 分析及綜合能力、抽象及概括能力、判斷及推理(含歸納及演繹)能力 培養平面及空間想像能力 培養創造性思維能力

國中小學九年一貫課程數學學習領域第五主題連結中的解題能力指標

連結分內部及外部連結 數學內部的連結可貫穿前述四個主題，來強調解題能力的培養 數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解題、溝通、評析諸能力的培養。 具備這些能力，一方面增進學生的數學素養，能適切地應用數學，來提高生活品質，另一方面也能加強其數學的思維，有助於個人在生涯中求進一步的發展。

連結的能力指標用三碼表示 第一碼表連結(C), 第二碼表察覺(R)、轉化(T)、 解題(S)、溝通(C)、評析(E)， 第三碼則是流水號

察覺 C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情 境。 C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。

轉化 C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。 C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。

解題 C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。 C-S-03 能熟悉解題的各種歷程

解題的各種歷程 蒐集 觀察與發現 臆測與歸納其規律性 檢驗 推演 驗證 論證等

解題的各種方法 分類 歸納 演繹 推理 推論 類比 分析 一般化、特殊化 模型化。

溝通 C-C-01 了解數學語言（符號、用語、圖表、非形式化演繹等）的內涵。 C-C-02 了解數學語言與一般語言的異同。

溝通 C-C-06 用一般語言及數學語言說明解題的過程。 C-C-07 用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。

評析 C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。 C-E-02 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。

數學學習 學習是學與習兩方面的結合, 「學」是著重在思,即感知與理解 「習」是著重在行,即鞏固與應用。 學習是依據教學目標的要求進行的,及獲得數學知識和經驗 而引起的行為變化。

從數學本質談數學學習 數學是否是真理? 已知長方形的面積,可推導出正方形、平行四邊形、梯形、三角形、圓等基本圖形的面積。

數學本質 一切從「猜想」開始,經由 「驗證」而得

範例說明 尤拉提出 是質數,其中 都成立。 質數的另一個猜想--質數有無限多個,由歐幾里德證明。 同理， 是質數，其中

有效的學習-可依下列方式進行: 觀察現象 發現問題（或提出問題） 如何使用已習知識（或概念） 歸納結果 說明理由

解題方法的三個層次 解題的具體方法和技巧如一元二次方程式的公式解等。 數學解題的一些通則--如歸納法和演繹法、直接證法和反證法、分析法和 綜合法、解析法等。 數學解題中的思考原則和策略

數學解題策略 瞭解問題-審查題意,發掘概念內涵;若題意不了解,不妨再閱讀二至三次, 直至了解題意。

數學解題策略 擬定計畫-分析問題及產生聯想,尋求解題途徑 (1) 儘可能畫出圖形或表格 (2) 檢查特例如令問題中整數取 1, 2, 3, 4, 5 等 代入,看看是否可歸納出規律來。 (3) 嘗試簡化問題如利用對稱性、採用『不妨假設』 而不失問題的一般討論方式。 (4) 保留任何解題的紀錄,以便先做別題後再回頭解本題時參考使用。 (5)將一個問題分成一系列子問題

數學解題策略 實行計畫-選擇策略及綜合運用知識去進行推理計算解決問題 回顧解答-驗證答案是否合理及思考結果或方法能否用於解其他問題,甚至於自己修改原問題或推廣其結論,形成另一個問題,亦可考慮作為專題研究之題目。第二章文獻探討.doc

3R解題策略 解題活動先從題目待答或待證明的地方著手(Request), 適時引進題目的已知條件及潛在的性質(Response), 最後導出結果(Result).這是所謂的「3 R」策略。

Schoenfeld的解題歷程 讀題、 分析、 探索、 計劃－執行、 驗證、 轉移等六階段 第二章文獻探討.doc

解題後的反思 一題多解 引申與題組(改變條件) 縱向及橫向的推廣

範例一 如果我有一個不準確的時鐘, 時針和分針相連兩次成一直線的間隔為66分鐘, 請問此鐘每小時的誤差為多少秒? 談數學解題.doc

常見的解題方法 演繹法與歸納法 倒推法 變換條件法 類比與推廣

數學證明 直接證明 間接證明 （1）反證法（歸謬證明） （2）窮舉法 先將結論否定後發現有不止一 種情況，要一一否定。 （3）幾何中的同一法

探索性的思維方法 觀察與試驗 不完全歸納法 （由特例而歸納出一般情形但未證明） 類比 猜想：例如 Goldbach conjecture.

如何尋找教學資源 搜尋國內外網路數學資源 蒐集網路國內外競賽試題 國內外競賽書籍及期刊雜誌 國內外大學數學系相關書籍

國外教學資源及競賽題庫網站 "www.cut-the-knot.org/content.html“ "www.unl.edu/amc/problems.html" (AMC Problems, Problems, Problems) "problems.math.umr.edu/index.html" (Index and Journal problems) "www.ualberta.ca/~ahsmc/links.html" (AHSMC Links for math contests) "olympiads.win.tue.nl/imo/" (International Mathematics Olympiad-IMO) AIME

媒體報導某校國小六年級段考題 已知ABCD是一個長4公尺，寬2公尺的長方形，以B為圓心，為半徑畫一扇形ABE，以D為圓心，為半徑畫一扇形ADF，試求塗色部分面積。

國小六年級段考題 在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是50平方公分，求圓面積。

數與量範例

想一想 能否用1,2,3,…,8,9這九個數字分別狗構造八個分數，經約分後分別可得:

神奇的數字 我們可用數字1,2,3,…,9這九個數字組成下列各單位分數:

神奇的數字（續）

神奇的數字（續）

想想看 上述結果如何得到? 是否還有其他的解?

是否可能辦到? 用0,1,2,3,4,…,9填入下列空格內，每個空格只能填一個數字:

正整數與其數字的關係 設 a, b, c 為三個都不是零的數字,試問用 a, b, c 三個數字能組成若干個三位數？並說明這些三位數的和與 a, b, c 的關係。

參考解答

應用問題 設 a, b, c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3185, 試問這六個三位數中最大的是多少? (Ans: 763)

參考解答 設此三位數為 由上題及題意知， 故　　　　　　滿足題意

練習題 設 a, b, c 均為異於零的三個不同的數字，共可組成六個相異的三位數,已知其中五個三位數的和是 3194, 試問這六個三位數中最大的是多少? (Ans: 853)

類題 114 這個數有一特點:將114 的各位數字的數字和乘以 19 就得到 114.試問是否還有這樣的三位數嗎?如果有,請找出所有這樣的三位數。 你能否觀察出本問題何以需乘以 19?是否可以改為乘以其他數而有類似結果呢? 　

參考解答 設此三位數為 由上題及題意知，

整數與其數字的關係 試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的平方和加上 1,例如 及 等,是否還有其它解? 只有此二解35,75

整數與其數字的關係 （難題） 試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的三次方的和，例如 1=1, 153= , 370, 371, 407等五個數,是否還有其它解?試說明理由。 （難題）

可以這樣提問 老師給二個正整數 ，使得 亦是整數， (1)小明稱 必可b 被的任一質因數所整除，試證小明的觀點是正確的。 老師給二個正整數 ，使得 亦是整數， (1)小明稱 必可b 被的任一質因數所整除，試證小明的觀點是正確的。 (2)小明稱 ，試問他的觀點是否正確？

數論:卡布列克怪數 卡布列克(L. D. Kaprekar,印度數學家)怪數是類似(30+25) =3025 這樣的數:即一個 2n 位數,把前 n 位數當作一個數加上這個數的後n 位數,它們之和的平方正好等於這個 2n 位數。 試問四位數中有那些卡布列克怪數? 類題:能否找出所有卡布列克怪數?

數論:卡布列克怪數 提示:四位數中共有三組解-即 2025, 3025, 9801, 巴納德找出:1, 81, 52881984,60481729, 試問如何求出其他位數? 例如:六位數只有兩個數:494209, 998001.

卡布列克怪數 如何引進未知數 其中 (提示:共有三組解-2025, 3025, 9801, 巴納德找出:1, 81, 52881984,60481729,試問如何求出其他位數?例如六位數只有兩個數:494209, 998001.)

整數與其數字的關係 試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的平方和加上 1,例如 及 等,是否還有其它解?

整數與其數字的關係 試找出所有正整數 a 使得 a 恰好等於它的所有數字的三次方的和，例如 1=1, 153= , 370, 371, 407等五個數,是否還有其它解?試說明理由。

猜年齡 小明今年的年齡的三次方是一個四位數,而四次方正好是一個六位數,又這兩個數的所有數字正好是這十個數字組成,試問小明今年幾歲?

猜年齡 提示:設今年年齡為 x 歲,則由題意可求得 x=18, 19, 20 , 21;再判斷求得 x=18.

趣味數論 試問是否存在正整數n，使得n 的各個位數 的數字都相異， 的各個位數的數字都相 異， 的各個位數的數字都相異，且所有 的數字都相異， 的各個位數的數字都相 異， 的各個位數的數字都相異，且所有 數的數字正好是由這十個數字所組成？試 說明理由。

趣味數論範例:質數問題 能否將 1 到 27 這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數? 適合學生共同討論解題

趣味數論 能否將 1 到 27 這27個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數? 答:不可能;為什麼?

趣味數論 類題: 能否將 1 到 20 這20個正整數,填寫在一圓周上,使得任何相鄰二數的和均為質數?(適合學生共同討論解題) 提示:可以辦到，是否有解題策略? 能否推廣?

趣味數論 已知 =0.1666…, 試求滿足條件 =0. … 的所有異於零的數字 與 的值。

趣味數論 已知 =0.1666…, 試求滿足條件 =0. … 的所有異於零的數字 與 的值。 答:

AMC 數學競賽範例 一個正整數正好等於其四個最小正因數的平方和。試問可以整除該正整數的最大質數為何？

AMC 數學競賽範例 一個正整數正好等於其四個最小正因數的平方和。試問可以整除該正整數的最大質數為何？ 答: 13

從一道競賽題談起 問題： 三角形之三邊長為 ，其中 .給定 值，試求滿足所有條件之所有可能的這樣之三角形個數，並求其規律。

ㄧ般特殊化 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ : 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25

可歸納為： （1） （2） 的公式為

操作題 已知三個數 ,進行下面一次的操作:首先任取其中的二個數求其和，再除以 ；另外，求這二數的差再除以 ，而得到新的二個數。試問：能否經過若干次上述的操作，最後得到 ？試說明理由。

參考解答 設三數分別為 ,經過一次操作後得 到新的三數 : 因為 即每操作一次，仍保持此三數的平方和不變。 但 ，故不可能辦到。

從鐘面數談起-將整數分組的概念 問題： 已知鐘面上有 12 個數分別為 1, 2, 3,…,12. 今將這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？

從鐘面數談起-將整數分組的概念 問題： 已知鐘面上有 12 個數分別為 1, 2, 3,…,12. 今將這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？ 思考:可先考慮正負號整數和相等。

從鐘面數談起-將整數分組的概念 問題： 試求所有可能正整數n使得1,…,n能被分成三組且每組之數的和相同? 思考:可先考慮三組個數相同。

從鐘面數談起-將整數分組的概念 將 這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？

從鐘面數談起-將整數分組的概念 已知有 128 個數分別為 今將這些數分為四組,使每組皆有 32 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?

參考解法(分組方式) A 組 B 組 C 組 D 組 試問:依上述作法，如何完成分組?

從鐘面數談起-將整數分組的概念 類題: 已知有 81 個數分別為 今將這些數分為三組,使每組皆有 27 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?

從鐘面數談起-將整數分組的概念 推廣 已知有m 個數分別為 今將這m些數分為n 組,其中n 為m之因數,使每組皆有 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法？

趣味性題材 有 7 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。 (1) 規定每一次運動時，正好翻動其中任意四個，試問經過若干次 運動後，全部杯口是否都會朝下? (2) 同上，規定每一次運動時，正好翻動其中任意六個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?(提示：可考慮從杯子數少時如 2, 3, 4, 5, 6 個分別討論並記錄其結果)

趣味性題材 有 8 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意七個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下? 如何推廣上述問題?即什麼情形下可以做到,什麼情形下不可以做到?

翻動紙杯(硬幣)問題 推廣: 如果有 n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?

翻動紙杯(硬幣)問題 如果有 n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下? 除了n為奇數，k為偶數外其餘皆可辦到。 提問:如果可以，至少翻動幾次? 。

代數試題

代數題 已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是 637, 669, 794, 915, 919, 951, 1040, 1072, 1197,試求原來的五個數。

代數題 已知有五個正整數,如果將這五個數中任意相異的二數相加,所得到的結果正好是 637, 669, 794, 915, 919, 951, 1040, 1072, 1197,試求原來的五個數。 (提示:這五個數中任意相異的二數相加的結果可能有十個數,由題意知有 9 種可能的和,因此這五個數必相異且有三個奇偶性質相同。由此可解得這五個數分別是 256, 538, 381, 413, 659)

不等式（Iterate sequence） 設 試證: (1). (2). (3).如何推廣上述問題?

範例一 試解不定方程 (參考解答)因為 故解為

三、商高三角形 求方程式 的所有可能正整數解的幾何意義就是求邊長都是整數的直角三角形，此種三角形稱為「商高三角形」。

三、商高三角形(續) 問題1.試證: 商高三角形的面積一定不是整數的平方。

三、商高三角形(續) 問題2.設 試證:必有一個 商高三角形其一股長正好是 。

四、費瑪大定理 (Fermat's Last Theorem):

四、費瑪大定理 (Fermat's Last Theorem): 最著名即為方程式 ( )沒有正整數解 ( ),當時稱為「費瑪最後問題」。關於此方程式的一些研究:

費瑪大定理(續) （1）當 時,此方程式有無限多組正整數解。 （2）當 時,即為商高定理的方程式,有無限多組正整數解

費瑪大定理(續) (3)當 時,由近代偉大數學家歐拉 (Euler, 1707-1783)證明沒有正整數解。

費瑪大定理(續) (4)當 時,由阿貝爾 (Abel, 1802-1829)證明沒有正整數解。

費瑪大定理(續) 1993 年 6 月 23日由美國普林斯頓大學數學系 Wiles(1953- )教授在英國劍橋大學牛頓學院發表一系列有關費瑪最後問題的證明。

費瑪大定理(續) 但當他正式發表時,上有少許內容被質疑有漏洞,他又花了一年時間研究,其間幾乎想放棄證明,直到 1994 年 9 月 19日終於完成。

費瑪大定理(續) 於 1995年他證明費瑪最後定理的文章題目為"Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem",正式被登在著名數學期刊"Annals of Mathematics" 上,費瑪最後問題歷經三百多年正式被解決。

範例二（推廣） 試求不定方程式 滿足 的所有正整數解 (參考解答) 如果 為方程式的正整數解，則 滿足 的所有正整數解 (參考解答) 如果 為方程式的正整數解，則 為方程式 的本原解，因此 為一奇一偶。不妨設 為偶數，故

參考解答（續） 式中 互質，且 為奇數。由最後一式得知 亦是 二次不定方程式 的本原解。 若 為偶數，則 其中 滿足 為奇數。因此

參考解答（續） 故不定方程式 滿足 的所有正整數解 有下列二種形式： 其中 且 為奇數。

費瑪最後定理 (Fermat's Last Theorem) 十七世紀法國一位大數學家費瑪 (Fermat, 1601-1665) 過世後,他兒子在整理他的遺稿時發現了許多數學的猜想,其中最著名即為方程式 ( )沒有正整數解 ( ),當時稱為「費瑪最後問題」。

當 時 方程式有無限多組正整數解。

當 時 即為勾股定理的方程式,有無限多組正整數解 至少有基本畢氏數組,即 其中 為互質的正整數。 類題:試求 的所有可能有理數解

當 時 由近代偉大數學家歐拉 (Euler, 1707-1783)證明沒有正整數解。

當 時 由阿貝爾 (Abel, 1802-1829)證明沒有正整數解。

費瑪大定理 其後一直未能完全解決本問題, 直至 1993 年 6 月 23日由美國普林斯頓大學數學系 Wiles(1953- )教授在英國劍橋大學牛頓學院發表一系列有關費瑪最後問題的證明。 但當他正式發表時,尚有少許內容被質疑有漏洞,他又花了一年時間研究,其間幾乎想放棄證明,直到 1994 年 9 月 19日終於完成。 於 1995年他證明費瑪最後定理的文章題目為"Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem",正式被登在著名數學期刊"Annals of Mathematics" 上,費瑪最後問題歷經三百多年正式被解決。

特殊與一般的轉化 The Largest Known Primes News note: GIMPS found: 為7816230位數， the 42nd known Mersenne! Announced February 26, 2005. 參考網址http://primes.utm.edu/largest.html

特殊與一般的轉化 若 為質數，則 必為質數。 (利用反證法)

轉化範例 設 都是正數，試證：必存在以三數 , , 為三角形的三邊長，並求此三角形的面積。

思考策略 轉化成幾何問題 構造以a+b 及c+d 為邊長的長方形 觀察此三數所代表的長度

範例一 試証：任意 個正方形，經過適當的切割（只能用圓規、直尺和剪刀）後，必可重拼成一個大正方形。 （參考解答）利用數學歸納法，

(1) 若二個正方形大小相同：

(2)若二個正方形大小不同： Ⅰ.

（逆命題）一個大正方形是否可切成個小正方形？（不能拼） 才可以← Prove ! 多3個 解： 回目錄

探索思考題 試問一個鈍角三角形至少可以分割成多少個銳角三角形？（提示：至少七個） 試問一個直角三角形至少可以分割成多少個銳角三角形？（提示：至少七個） 試問是否可將一個正方形分割成若干個銳角三角形？若可以，試求其分割方法；若不能，試說明理由。

實驗幾何問題 將長方形 的邊 及 各取一點 ，以 為折線，使得頂點 落到 之中點 ，如果 ，試求

實驗幾何問題 在長方形 中， ，若將此長方形折疊使點 與點 重合，則折線 的長度為何?

實驗幾何問題 (推廣) 將一張長方形紙張作折疊，使得這長方形的一個頂點落在與該頂點不相鄰的邊上。試問需如何折方能使摺痕為最長? 最短?

實驗幾何問題 在長方形 中，連接 ，將 折向 與 重合，得一折線 ，其中 為 上的點，若 ，試求 及

三角板趣題 一套三角板裡有二個不同度數的三角板:一個三角板的三內角分別是 另一個三角板的三內角分別是 試問使用此二個三角板上的內角能畫出多少個不同角度的角來?

三角板趣題 試問如何作一個正方形使其面積正好等於此二個三角板的面積和？ （勾股定理的折半證明之聯想） 如何用一付三角板求 和 的三角函數值？ 如何用一付三角板求 和 的三角函數值？ 註：如何發展成科展題材﹖

我的名字是路易士，我的爸爸已經為我做好一個L型的生日蛋糕。他說，我只能切一刀將蛋糕切成三塊（如圖：切法可參考前二種切法，但第三種切法不可以），如此我的哥哥、姊姊也各有一塊蛋糕。爸爸說我必須有禮貌，讓哥哥、姊姊二人先選蛋糕，但我知道他們非常貪吃，只會留下最小塊的蛋糕給我。所以我想要切這塊蛋糕，使得我這最小塊的蛋糕儘可能的大。假使我這樣做，我的這塊蛋糕最大是多少平方公分？(Ans: 80)

如下二圖，試將圖（a）切割成三個圖形，並重拼成圖（b），並請說明理由。

參考解答

從鐘面數談起-將整數分組的概念 問題： 已知鐘面上有 12 個數分別為 1, 2, 3,…,12. 今將這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？

從鐘面數談起-將整數分組的概念 問題： 已知鐘面上有 12 個數分別為 1, 2, 3,…,12. 今將這些數中間用加號或減號連起來，使結果為零，試問應如何填法？共有幾種不同填法？ 思考:可先考慮正負號整數和相等。

從鐘面數談起-將整數分組的概念 問題： 試求所有可能正整數n使得1,…,n能被分成三組且每組之數的和相同? 思考:可先考慮三組個數相同。

從鐘面數談起-將整數分組的概念 將 這些數中間用加號或減號連起來，試問其結果為最小的非負正整數為多少？

從鐘面數談起-將整數分組的概念 已知有 128 個數分別為 今將這些數分為四組,使每組皆有 32 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?

從鐘面數談起-將整數分組的概念 已知有 81 個數分別為 今將這些數分為三組,使每組皆有 27 個數且每組的數之和都相等,試問應如何分法?

從鐘面數談起-將整數分組的概念 已知有m 個數分別為 今將這m些數分為n 組,其中n 為m之因數, 使每組皆有 個數且每組的數之和 使每組皆有 個數且每組的數之和 都相等,試問應如何分法？

趣味性題材 有 7 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。 (1) 規定每一次運動時，正好翻動其中任意四個，試問經過若干次 運動後，全部杯口是否都會朝下? (2) 同上，規定每一次運動時，正好翻動其中任意六個，試問經過若干次運動後，全部杯口是否都會朝下?(提示：可考慮從杯子數少時如 2, 3, 4, 5, 6 個分別討論並記錄其結果)

趣味性題材 有 8 個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意七個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下? 如何推廣上述問題?即什麼情形下可以做到,什麼情形下不可以做到?

翻動紙杯(硬幣)問題 推廣: 如果有 n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下?

翻動紙杯(硬幣)問題 如果有 n個紙杯（或硬幣等）開口都朝上。每一次運動時，正好翻動其中任意k個,試問經過若干次運動後,全部杯口是否都會朝下? 除了n為奇數，k為偶數外其餘皆可辦到。 提問:至少翻動幾次? 。

一般特殊化的能力 歸納的能力

從一則題目談數列 一個2×1的長方形骨牌是將兩個正方形以邊對邊的方式相連接。我們打算用八片骨牌舖滿2×8的棋盤，每片骨牌可以水平或垂直的方式放置，如圖 : 試問共有多少種不同的舖蓋方式？

費伯納希數列 費伯納希（Fibonacci,1170-1250,Italy）於1202年提出此數列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…, 問題:設有十級階梯(自樓板面算起),今要求上樓時每一步走一階或二階,試問共有少種不同的上樓方式?如何推廣其結果?

費伯納希數列 設有大小形狀都相同的一堆硬幣,今打算將這些硬幣依下列規則來排列成若干橫排: (1) 每一橫排中的所有硬幣必須彼此相切(即 外切); (2) 除最底部的一列外,每一橫排中的任何一個硬幣必須與下一排的兩個硬幣相切(即上一排中硬幣的個數少於下一排硬幣的個數)。 設 表示 個硬幣所有可能排法的個數,試求 .並問如何推廣上述結果?

費伯納希數列 同上題,設 表示將若干個硬幣依上題規則排列之所有可能排法的個數,但最底部的一列必須是個硬幣, 試求 ;並觀察 與 的關係。 同上題,設 表示將若干個硬幣依上題規則排列之所有可能排法的個數,但最底部的一列必須是個硬幣, 試求 ;並觀察 與 的關係。 如何推廣上述結果?

費伯納希數列的一般項 Fibonacci 數列的第 項為: …. (本公式最早由Euler在1765年發表，其後在1843年由Binet再重整理發表。) 試證: 為正整數, ….同時,試證： ….

Lucas 數列 Lucas 數列的第 項為: …. 試證: 為正整數, ….

可以這樣提問 老師給二個正整數 ，使得 亦是整數， (1)小明稱 必可b 被的任一質因數所整除，試證小明的觀點是正確的。 老師給二個正整數 ，使得 亦是整數， (1)小明稱 必可b 被的任一質因數所整除，試證小明的觀點是正確的。 (2)小明稱 ，試問他的觀點是否正確？

操作題 已知三個數 ,進行下面一次的操作:首先任取其中的二個數求其和，再除以 ；另外，求這二數的差再除以 ，而得到新的二個數。試問：能否經過若干次上述的操作，最後得到 ？試說明理由。

參考解答 設三數分別為 ,經過一次操作後得 到新的三數 : 因為 即每操作一次，仍保持此三數的平方和不變。 但 ，故不可能辦到。

轉化範例 設 都是正數，試證：必存在以三數 , , 為三角形的三邊長，並求此三角形的面積。

思考策略 轉化成幾何問題 構造以a+b 及c+d 為邊長的長方形 觀察此三數所代表的長度

實作範例 試將下列表格分割成相同的四個部分，且使各部分空格內的整數之和都是34。 1 9 16 7 12 5 4 11 8 15 10 2 13 6 3 14

實作範例 下圖為一個直角梯形，試在此梯形的內部劃一條直線將此梯形分割成二個形狀相同且面積相等的圖形。

轉圈數問題 如圖，有兩個各邊完全相等的正方形和正五邊形。若正五邊形按逆時針方向開始旋轉，而它上面的正方形按順時針方向一邊對著一邊開始旋轉，則直到正五邊形的AE邊和正方形的c邊重合為止，正方形旋轉的圈數為多少圈?(5圈)

實作範例 下圖為一個正六邊形，試過一頂點再此正六邊形的內部化二條直線，將此正六邊形分割成三個面積相等的圖形並說明理由。

如何摺出正方體？ （探索實驗） 請問如何製作一個長為7單位，寬為1單位的長方形?是否能在不剪段此長方形的情形下摺成邊長為1 單位的正方體？試說明理由。

如何摺出正方體？ （探索實驗） 請問如何製作出一個正方形有 9個小正方形格子摺痕?試問如何利用剪刀剪最少的情形下折成一個正方體使得此正方形紙張的同一面是所摺成的正方體的表面？

探索實驗 能否利用12根長為1公分的牙籤拼成面積分別為2,3,4,5,6 平方公分的圖形？

探索實驗 面積為6平方公分的圖形

利用12根長為1公分的牙籤拼成圖形 面積為5平方公分的圖形

利用12根長為1公分的牙籤拼成圖形 面積為4平方公分的圖形

利用12根長為1公分的牙籤拼成圖形 面積為3平方公分的圖形(不止二種)

利用12根長為1公分的牙籤拼成圖形 面積為2平方公分的圖形

古中國遊戲-七巧板 1813年最早出現在中國書籍內，但問題早於此年代即有 如何利用一張正方形紙張製作七巧板? 七巧板教學: 創意 思考 造型 幾何知識..\..\趣味數學\七巧板

探索思考題 試問一個鈍角三角形至少可以分割成多少個銳角三角形？（提示：至少七個） 試問一個直角三角形至少可以分割成多少個銳角三角形？（提示：至少七個） 試問是否可將一個正方形分割成若干個銳角三角形？若可以，試求其分割方法；若不能，試說明理由。

實驗幾何問題 將長方形 的邊 及 各取一點 ，以 為折線，使得頂點 落到 之中點 ，如果 ，試求

實驗幾何問題 在長方形 中， ，若將此長方形折疊使點 與點 重合，則折線 的長度為何?

實驗幾何問題 (推廣) 將一張長方形紙張作折疊，使得這長方形的一個頂點落在與該頂點不相鄰的邊上。試問需如何折方能使摺痕為最長? 最短?

實驗幾何問題 在長方形 中，連接 ，將 折向 與 重合，得一折線 ，其中 為 上的點，若 ，試求 及

數學歸納法的範例 試證: 任意 n 個正方形經過適當的切割成數個圖形後,可重拼成一個大正方形,其中 n 為任意正整數。 其逆敘述部分成立：

皮亞諾(Peano)的第五公設 令 若 (1) (2) 則

數學歸納法的第一型 令 是與 有關的命題， 若 (1) (2) 假設 則 均成立， (2)

數學歸納法的第二型 令 是與 有關的命題， 若 (1) (2) 假設 則 均成立， (2)

範例 直角 中, 為二股長,且 為斜邊長,試證: 其中 =3, 4, 5,…

範例 直角 中, 為二股長,且 為斜邊長,試證: 其中 =3, 4, 5,… 提示:可請學生先用畢氏數組分別代入檢驗

範例 中,三邊長分別為 , 若 試判斷 為何種三角形?

探究性問題 將一個籃球放在球場地面上，當陽光(或燈光)斜射照在籃球上，我們知道它的投影是一個橢圓。那麼籃球與地面的接觸點在此橢圓的何位置上?

探究性問題(繼續) 為什麼籃球的投影一定是橢圓? 能否求出此橢圓的長軸與短軸長、離心率等? 還有哪些有關此投影的問題可供研究?

三角板趣題 一套三角板裡有二個不同度數的三角板:一個三角板的三內角分別是 另一個三角板的三內角分別是 試問使用此二個三角板上的內角能畫出多少個不同角度的角來?

三角板趣題 試問如何作一個正方形使其面積正好等於此二個三角板的面積和？ 如何用一付三角板求 和 的三角函數值？ 註：如何發展成科展題材﹖

創造力範例(操作題) 如何利用六張大小相同紙張使得一瓶礦泉水離開桌面越高越好且能支撐此瓶礦泉水的時間愈長愈好? 需考慮創意、造型