《勾股定理》的教学研究 2011年11月

对本章整体思考 回归到对《课程标准》的研究， 对教学目标的设定做重新的思考.. 教师应激发学生学习的积极性， 向学生提供充分从事数学活动的机会， 从而提高学生的数学能力.

对本次备课，总体目标定位 体验勾股定理的探索过程 会运用勾股定理解决简单问题

聚焦以下几个问题 【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 【问题三】 勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？

【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 关于“勾股定理”的引入 方案一: 从图片欣赏引入.

朋友家的地砖 【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 毕达哥拉斯(公元前572—前492),古希腊著名的哲学家,数学家,天文学家.

引入的意义： 1. 传播传统文化; 2. 提供探究依据; 3. 激发探究愿望; 4. 生活中处处有数学. 【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 引入的意义： 1. 传播传统文化; 2. 提供探究依据; 3. 激发探究愿望; 4. 生活中处处有数学.

方案二：从问题引入. 【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 如图，要登上8米高的建筑物AC，为了安全需要，需使梯子底端到建筑物的距离BC为6米，至少需要多长的梯子？ A 8m C B 6m

让学生自己画出几个直角三角形，利用直尺测量三条边长，并记录数据；用计算器计算边长的平方值，并猜想三边平方之间的数量关系，从而引入课题. 【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 方案三：从操作活动引入. 让学生自己画出几个直角三角形，利用直尺测量三条边长，并记录数据；用计算器计算边长的平方值，并猜想三边平方之间的数量关系，从而引入课题.

【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 引入的意义： 1. 弘扬民族文化; 2. 突显认知规律.

让学生准备四个全等的直角三角形，问能否拼成一个正方形？ 【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 方案四：从拼图引入. 让学生准备四个全等的直角三角形，问能否拼成一个正方形？

【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？

【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 引入的意义： 1.体现动手操作，发现规律; 2.体会数形结合，感受数学之美.

【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 方案五：从学生查阅有关“勾股定理”的 数学史资料引入.

【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 引入的意义： 1. 激发学习积极性; 2. 培养自主学习能力.

做系统化的思考，从整体上设计，引入的内容引起学生的兴趣后，要为勾股定理证明的探索过程引起学生更大的兴趣做好前期准备. 【问题一】 勾股定理引入的教学，如何引入更恰当有效？ 【本问题小结】 做系统化的思考，从整体上设计，引入的内容引起学生的兴趣后，要为勾股定理证明的探索过程引起学生更大的兴趣做好前期准备.

【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 关于勾股定理比较典型的证明方法

【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 证法1：赵爽弦图 以边长为C的正方形

【高考中的弦图】（2007北京高考） 13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 的值等于

【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 证法2 构造以（a+b）为边长的正方形.

通过两个图形的对比，不用通过式子的推导， 而是直接由图形就可以得到勾股定理. 【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 证法3： 毕达哥拉斯 通过两个图形的对比，不用通过式子的推导， 而是直接由图形就可以得到勾股定理.

【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 证法4：美国总统 以（a+b）为高，a、b为底的直角梯形.

【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 证法5 青朱出入图 利用巧妙的“出入相补”原理．

【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ A B C

思考题2： 图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成。记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的 面积分别 ， 面积分别 ， 若 ，则 的值是        。

【关于拼图】(人教版教师用书) 如图是一张长为6.5cm、宽为2cm 的纸片，参考弦图，请你将它分割为 6块，再拼成一个正方形. （要求：先画出分割线，再画出拼成 的正方形并标明相应数据）

【高考中的拼图】 （2002全国高考文22题） （Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；

【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 【对定理证明的感想】 如果我是学生， 在证明定理过程中，我的收获是什么？ （1）我有了由未知向已知转化的体验； （2）我体验了研究； （3）我体验了数形结合； （4）我对勾股定理记忆更清晰；

【一到竞赛题看数形结合】 已知正实数x,y,z，求证： 变式为： 墙角三条线分别作为直角三角形的三条边x,y,z,求证：

【问题二】 勾股定理证明的教学，如何定位和把握？ 【本问题小结】 把握教材，抓住典型方法的证明，抓住证法之间的内在联系，引导学生从活动体验能够到达理性思考，再到深度反思的研究思路，让学生确实能够从不太熟悉的“面积法”的证明过程中留下点记忆深刻的东西.

勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 【问题三】 勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 例1 求下列图形中未知边的长度. (3) (1) (2) 注：（1）勾股定理的使用条件是“在直角三角形中”； （2）勾股定理的应用是求线段长度. （3）勾股定理存在两种应用形式，知二求一和列方程.

勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 【问题三】 勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 例2 根据下列条件求线段长度. （1）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=2， 求b. （2）在Rt△ABC中，∠B=90°，a=1，c=2， 求b. （3）在Rt△ABC中，∠C=90°，若c=10，a：b=1：3，求a. （4）在Rt△ABC中，∠C=90°, 若∠A=60°，BC=2，求c. （5）直角三角形的两直角边长分别为3cm、5cm，求斜边长. （6）直角三角形的两边长分别是3cm、5cm， 求第三边的长. 注：画图，标图，确定直角和斜边(数形结合) 方程思想 分类讨论

勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 【问题三】 勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 例3 如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为 （5，5），B点坐标为(-3，2)，则线段AB的长为 . 注：构造直角三角形, 利用勾股定理求线段长.

【问题三】 勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ * 学生问题：求线段长时，不会找合适的直角三 角形，利用勾股定理列方程求解。 解决方案： 设计问题串引导学生 标图 解题后反思 图形的变式与拓展, 举一反三

勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 【问题三】 勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 例5 已知如图，将矩形的一边BC沿CE折叠， 使得点B落在AD边的点F处，已知AB=8，BC=10,求BE的长. 问题1 你有没有把当前已知量与未知量标在图上？ 问题2 根据矩形的性质，由AB=8，BC=10,你还可以标出哪些线段长？ 问题3 根据轴对称的性质，设BE=x，你还可以标出哪些线段长？ 问题4 根据矩形的性质，∠D=90°，你可以求得DF的长吗？ 问题5 由DF的长，你还可以哪条线段长？ 问题6 你在哪个直角三角形，应用勾股定理构建方程？ 问题7 图中共有几个直角三角形？每一个直角三角形的作用是什么？

【本问题小结】 典型问题的设计有层次，有梯度， 步步深入.这样的设计，从某一个 视角，回答了聚焦学情的问题， 【问题三】 勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 【本问题小结】 典型问题的设计有层次，有梯度， 步步深入.这样的设计，从某一个 视角，回答了聚焦学情的问题， 让不同程度的孩子能有适当的收获.

图① 图② 图③ 【问题三】 勾股定理应用的教学，如何选择和设计例题？ 例6 将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点, 顶点C、A分别在轴和y轴上.在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠. （1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为 ； （2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时， 过点E作EG∥轴交CD于点H， 交BC于点G. 求证：EH＝CH； （3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式 ； （4）如图③，将矩形OABC变为正方形，OC＝10，当点E为AO中点时，点O落在正方 形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度. 图① 图② 图③

【本节课的思考】 （2）数形结合思想的渗透；（图形 公式） （3）类比联想思想的渗透；由 联想到正方形或直角三角形的面积； （1）落实《新课程标准》的要求，让学生经历动手操作与思考的过程. （2）数形结合思想的渗透；（图形 公式） （3）类比联想思想的渗透；由 联想到正方形或直角三角形的面积；

第二部分 对高效课堂的理解 1.对比现行的高效课堂的模式； 2.高效课堂的含义； 3.课标的要求； 4.高效课堂的主体；

对比成型的高效课堂的模式 1.杜郎口模式 ——10+35 即教师10分钟用于分配学习任务和予以点拨引导，学生35分钟“自学+合作、探究”。 2.昌乐二中模式——“271” 10+30+5课上操作要求：前10分钟为预习；课堂中段30分钟，教师针对各小组提出的问题迅速进行整理并结合自己已准备好的新授课的教学设计，进行点拨、引导、分析、讲解；课堂后段5分钟，学生迅速整理本节课的知识结构及知识要点。

对比现有的高效课堂的模式 1.杜郎口模式 ——10+35 2.昌乐二中模式——“271” 3.兖州一中——“循环大课堂” “35+10”，即“展示+预习”。 4. “自学•交流”学习模式 、大单元教学 、整体教学系统 、自主式开放型课堂 、“网络环境下的自主课堂” 、五环大课堂

“让学生动起来、让课堂活起来、让效果好起来”， 其共性： “让学生动起来、让课堂活起来、让效果好起来”， 1.让学生自己的事情自己做；把课堂还给学生上，发挥学生的主体性、主动性和创造性； 2. 有成型的模式；课堂教学要“有法可依”，这个所谓的“法”就是模式，模式既规范“教的方式”，也规范“学的行为”； 3.能让学生学会、会学的课才是好课；以学评教，围绕“学”构建教育教学评价系统。什么是好课？什么样的才是好教师？好的教师要从尊重差异出发，既要让学生学会、会学，还有让学生体验到学习的快乐，

其共性： 1.让学生自己的事情自己做； 2.有成型的模式； 3.能让学生学会、会学的课才是好课； 4.自上而下； 5.导学案的功能发挥的好； 6.学习小组功能强；

高效课堂的含义？ 从学生角度来讲，高效课堂应具备以下两个条件： 一是学生对三维教学目标的达成度要高。 二是在实现这种目标达成度的过程中，学生应主动参与并积极思考。 ——从这个角度来说，高效课堂就是学生主动学习、积极思考的课堂，是学生充分自主学习的课堂，是师生互动、生生互动的课堂，是学生对所学内容主动实现意义建构的课堂。

高效课堂的含义？ 从教师角度来说，高效课堂应具备以下三个条件： 一是目标合理、具体。 二是教学的过程必须是学生主动参与的过程。 三是教学中适时跟进反馈，以多种方式巩固学生的学习成果，使三维教学目标的达成度更高。

听来的忘得快， 看到的记得住， 动手做学得会 课标要求 新课标对探究性学习有明确的要求：“这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”. 听来的忘得快， 看到的记得住， 动手做学得会

新课程标准强调结论与过程的统一 重结论、轻过程的教学只是一种形式上走捷径的教学，把形成结论的生动过程变成了单调刻板的条文背诵，它从源头上剥离了知识与智力的内在联系. 无论对哪一门学科而言，学科的探究过程和方法论都具有重要的教育价值，学科的概念原理体系只有在相应的探究过程及方法论结合起来，才能使学生的理智过程和整个精神世界获得实质性的发展与提升. 学生通过不断"学"的实践，才能学会学习.把老师的感受告诉学生，不如让学生获取自己的体验.

高效课堂的主体——学生 自主学习、合作学习、探究学习

高效课堂的表现 学生学会。 让学生享受“学”的过程，并生成学习的能力。

高效课堂的学习主张。 方法—过程—结果—能力”

高效课堂来自自主学习 ——让学生动起来 课堂要有所改变； 用好导学案； 兵教兵——小组合作学习； 落实; 纠错;

导学案功能 提高学生学习的内动力； 提升教师整体业务水平； 全面提升教学质量；

小组合作学习的特征： 近十几年最重要和最成功的教学改革。 建立固定合作小组；以异质小组为基本组织形式； 有目标；以教学目标为导向； 有小组间竞赛活动； 以教学各动态因素的互动合作为动力资源； 有激励；以团体成绩为奖励依据； 被誉为： 近十几年最重要和最成功的教学改革。

小组合作学习的优势——双赢 “为不同层次的学生发展服务， 让优秀者更优秀，让平凡者不平凡”

建议 改变自己； 抓学生学习观念的转变，让学生充分认识到学习是自己的事 ； 发挥小组合作学习功能； 发挥导学案的功能； 抓好纠错；

尝试 探究的学习过程 第一步，学案自学；找出学习困惑；教师“一查”自学进度效果； 第二步，兵教兵；围绕困惑对学、群学； 第三步，小组展示；以小组为单位，在组长组织下，“展示”学习成果；教师“二查”展示过程中暴露的问题； 第四步，小组解决不了的拿到全班；教师根据小展示暴露出来的近共性问题，组织全班“大展示”； 第五步，点评；学生归位，整理学案、整理纠错本、测评。

谢谢 您的倾听！