第十一章 交变应力

第十一章 交变应力 §11-1 交变应力与疲劳极限 §11-2 影响持久极限的因数 目录

§11-1 交变应力 疲劳极限 动响应=Kd ×静响应 1、构件有加速度时动应力计算 （1）直线运动构件的动应力 （2）水平面转动构件的动应力 2、构件受冲击时动应力计算 （1）自由落体冲击问题 （2）水平冲击问题 目录

在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱。 交变应力的基本参量 在交变荷载作用下应力随时间变化的曲线，称为应力谱。 随着时间的变化，应力在一固定的最小值和最大值之间作周期性的交替变化，应力每重复变化一次的过程称为一个应力循环。 一个应力循环 t O 目录

一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为  的对称循环应力组合构成。 通常用以下参数描述循环应力的特征 应力比 r r = -1 ：对称循环 ； r = 0 ：脉动循环 。 r < 0 ：拉压循环 ； r > 0 ：拉拉循环 或压压循环。 (2)应力幅 (3)平均应力 一个非对称循环应力可以看作是在一个平均应力 m 上叠加一个应力幅为  的对称循环应力组合构成。 目录

以  为纵坐标，以N 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应力—寿命曲线即S-N 曲线如图（以40Cr钢为例） 疲劳极限 将若干根尺寸、材质相同的标准试样，在疲劳试验机上依次进行r = -1的常幅疲劳试验。各试样加载应力幅  均不同，因此疲劳破坏所经历的应力循环次数N 各不相同。 以  为纵坐标，以N 为横坐标（通常为对数坐标），便可绘出该材料的应力—寿命曲线即S-N 曲线如图（以40Cr钢为例） 注：由于在r =-1时，max = /2，故S-N 曲线纵坐标也可以采用max 。 10 4 5 6 7 8 550 650 750 850 N s max /MPa 目录

(1)对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅 。 10 4 5 6 7 8 550 650 750 850 N s max /MPa 从图可以得出三点结论： (1)对于疲劳，决定寿命的 最重要因素是应力幅 。 (2)材料的疲劳寿命N 随应力幅  的增大而减小。 (3)存在这样一个应力幅，低于该应力幅，疲劳破坏不会发生，该应力幅称为疲劳极限，记为 -1 。 目录

对于铝合金等有色金属，其S-N曲线没有明显的水平部分，一般规定 时对应的 称为条件疲劳极限，用 表示。 时对应的 称为条件疲劳极限，用 表示。 对低碳钢，其 其弯曲疲劳极限 拉压疲劳极限 目录

11-4. 影响持久极限的因数 1.构件外形的影响 构件外形的突然变化，例如构件上有槽、孔、缺口、轴肩等，将引起应力集中 有效应力集中因数 或 理论应力集中因数 目录

2.零件尺寸的影响——尺寸因数 光滑零件的疲劳极限 试样的疲劳极限 查看表11.1 尺寸因数 3.表面加工质量的影响——表面质量因数 查看表11.1 尺寸因数 3.表面加工质量的影响——表面质量因数 磨削加工（试样） 其他加工 一般情况下，构件的最大应力发生于表层，疲劳裂纹也多于表层生成。表面加工的刀痕、擦伤等将引起应力集中，降低持久极限。所以表面加工质量对持久极限有明显的影响。 看表11.2 不同表面粗糙度的表面质量因数 目录

第十三章 能量法 §13-1 概 述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。 第十三章 能量法 §13-1 概 述 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。 物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外位移上所做的功，即 =W

§13-2 杆件变形能计算 一、轴向拉伸和压缩

二、扭转

三、弯曲 纯弯曲： 横力弯曲：

13-3 变形能的普遍表达式 即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。

所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移 与整个力系有关，但与其相应的广义力 呈线性关系。

例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端B的挠度。 F 解：

例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。设EI为常数，试求梁的应变能。 解： ⑴ 弯矩方程 ⑵ 变形能 L F Me A B

⑶ 当F和M0分别作用时 L F M0 A B ⑷ 用普遍定理

§13-4 互等定理 F1 F2 F1 F1 荷载作用点 位移发生点 F2

F1 F2

功的互等定理: 位移互等定理:

例：求图示简支梁C截面的挠度。

F

例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 。

F

13-5 卡氏定理 若只给 以增量 ，其余不变，在 作用下，原各力作用点将产生位移 变形能的增加量：

略去二阶小量，则： 如果把原有诸力看成第一组力，把 看作第二组力，根据互等定理： 所以： 变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移 卡氏第二定理

推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构。 横力弯曲： 桁架杆件受拉压： 轴受扭矩作用：

13-6 单位载荷法 莫尔积分

莫尔定理 （莫尔积分）

例：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。

在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分： §13-7计算莫尔积分的图乘法 在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分： 对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分

直杆的M0(x)图必定是直线或折线。

顶点 顶点 二次抛物线

例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 解（1）求自由端的挠度 F L F

(2) 求自由端的转角 F m=1

例：试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。 q 解（1）简支梁的最大挠度 M

（2）求最大转角 最大转角发生在两个支座处

例：试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。 CL12TU34

解：

例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 CL12TU35

解：

例：试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。 CL12TU36

解：

例：图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求： (1)集中力作用端挠度为零时的X值； F CL12TU37

F 解：(1)

(2)

例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。 CL12TU38

解：

例：图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移 θAB 和沿P力作用线方向的相对线位移 ΔAB 。 CL12TU39

解：

例：用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。 CL12TU40

解：

例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 ΔAH 和转角θA 。 CL12TU41

解：

第十四章 超静定结构

第十四章 超静定结构 14-1 超静定结构概念 14-2 用力法解超静定结构 14-3 对称及反对称性质的利用 目录

14-1 超静定（静不定）结构概述 外力超静定系统和内力超静定系统。 外力超静定： 支座反力不能全由平衡方程求出； 在超静定系统中，按其多余约束的情况，可以分为： 外力超静定系统和内力超静定系统。 外力超静定： 支座反力不能全由平衡方程求出； 内力超静定： 支座反力可由平衡方程求出，但杆件 的内力却不能全由平衡方程求出. 目录

例如 目录

解除多余约束，代之以多余约束反力然后根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。 我们称与多余约束对应的约束力为多余约束力。 求解超静定系统的基本方法是： 解除多余约束，代之以多余约束反力然后根据多余约束处的变形协调条件建立补充方程进行求解。 解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统的基本静定系统或相当系统。 （本章主要学习用力法解超静定结构） 目录

再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。 §14-2 用力法解超静定结构 在求解超静定结构时， 一般先解除多余约束， 代之以多余约束力， 得到基本静定系， 再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。 我们把这种以“力”为未知量，求解超静定的方法 称为“力法”。 目录

该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁 例如： 该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁 解除多余支座B，并以多余约束X1代替 若以 表示B端沿竖直方向的位移，则： 是在F单独作用下引起的位移 是在X1单独作用下引起的位移 目录

对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力“1”的X1倍，故 也是 的X1倍，即有 所以（*）式可变为： 若： 于是可求得 目录

例14.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆 EI=常数。 解： 目录

例14.2：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，设梁的抗弯刚度 为EI，不计轴力影响，求梁中点的挠度。 解： 目录

例14.3：求图示刚架的支反力。 解： 目录

那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？ 上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！ 那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？ 目录

变形协调条件 ： 表示 作用点沿着 方向的位移 由叠加原理： 同理 目录

力法正则方程： 矩阵形式： 表示沿着 方向 单独作用时所产生的位移 表示沿着 方向 单独作用时所产生的位移 表示沿着 方向载荷F单独作用时所产生的位移 目录

引起的弯矩为 设： 引起的弯矩为 载荷F引起的弯矩为 则 ： 目录

对称结构：若将结构绕对称轴对折后， 结构在对称轴两边的部分将完全重合。 14-3 对称及反对称性质的利用 对称性质的利用： 对称结构：若将结构绕对称轴对折后， 结构在对称轴两边的部分将完全重合。 目录

对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷完全重合（即对折后载荷的作用点和作用方向重合，且作用力的大小也相等）。 目录

反对称载荷：将对称结构绕对称轴对折后，对称轴两边的载荷作用点重合、作用力大小相等、但是作用方向相反。 目录

目录

当对称结构上受对称载荷作用时， 对称结构在对称载荷作用下的情况： 用图乘法可证明 在对称面上反对称内力等于零。 可得： 于是正则方程可化为 目录

对称结构在反对称载荷作用下的情况： 同样用图乘法可证明 当对称结构上受反对称载荷作用时， 在对称面上对称内力等于零。 可得： 于是正则方程可化为 目录

例14.4:平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求C处的约束力及A、B处的支座反力。 解：

例14.5：等截面平面框架的受力情况如图所示。试求最大弯矩及其作用位置。 解：载荷关于对角线AC和BD反对称 由平衡条件可得：

附录I 平面图形的几何性质

附录I平面图形的几何性质 §I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径

§I—1 静矩和形心 1.静矩

形心坐标：

静矩和形心坐标之间的关系：

例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。

解：

例：确定图示图形形心C的位置。

解：

例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。

解：

§I-2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩 ρ

工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径

二、极惯性矩

例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。

解：

例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。

惯性积

如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。

几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。 (3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。 (4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

附录I 平面图形的几何性质

附录I 平面图形的几何性质 §I-3 平行移轴公式 §I-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩

§I-3 平行移轴公式

平行移轴公式：

例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy

解： CL6TU11

§I-4 转轴公式 主惯性轴和主惯性矩

转轴公式：

主惯性轴方位：

主惯性矩公式： 或简写成：

求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤： 1）找出形心位置； 2）通过形心c建立参考坐标 ， 求出 。 3）求

例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小。

解：